專題232解直角三角形（舉一反三）（滬科版）（原卷版）

專題23.2解直角三角形【十大題型】【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1直角三角形中直接解直角三角形】 1【題型2構(gòu)造直角三角形解直角三角形】 2【題型3網(wǎng)格中解直角三角形】 3【題型4坐標(biāo)系中解直角三角形】 5【題型5四邊形中解直角三角形】 6【題型6利用解直角三角形求不規(guī)則圖形的面積】 7【題型7解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問題】 8【題型8解直角三角形的應(yīng)用之俯角仰角問題】 10【題型9解直角三角形的應(yīng)用之方向角問題】 12【題型10解直角三角形的應(yīng)用之實物建模問題】 13【知識點(diǎn)解直角三角形】已知條件圖形解法對邊鄰邊斜邊對邊鄰邊斜邊ACBb已知斜邊和一個銳角已知兩直角邊已知斜邊和一條直角邊【題型1直角三角形中直接解直角三角形】【例1】（2023秋·上海青浦·九年級?？计谥校┤绻鸄D是Rt△ABC的斜邊BC上的高，BC=a，∠B=βA．a(chǎn)sinβcosβ B．a(chǎn)cos2【變式11】（2023秋·陜西西安·九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠B=90°，E是BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作ED⊥AC，垂足為D，AB=4

【變式12】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°

(1)若D運(yùn)動到某個位置時，∠CDB=60°，CD=10(2)若點(diǎn)D運(yùn)動到某個位置時，∠CDB=45°，AD=6【變式13】（2023秋·廣西梧州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，sinB=45，D為線段

【題型2構(gòu)造直角三角形解直角三角形】【例2】（2023秋·廣西梧州·九年級統(tǒng)考期末）已知在△ABC中，AB=122，AC=13，cosB=A．7 B．8 C．8或17 D．7或17【變式21】（2023秋·上海靜安·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知將△ABC沿角平分線BE所在直線翻折，點(diǎn)A恰好落在邊BC的中點(diǎn)M處，且AM=BE，那么∠

【變式22】（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點(diǎn)得到△ABC，則tan∠ACB

【變式23】（2023秋·上海靜安·九年級上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)校考期中）如圖，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，BD⊥AC于點(diǎn)D，將△BCD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角的大小與∠CBA相等，如果點(diǎn)C、D

【題型3網(wǎng)格中解直角三角形】【例3】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模）如圖是由小正方形組成的8×8網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，A，C兩個點(diǎn)是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．(1)在圖中，點(diǎn)B是格點(diǎn)，先畫線段AB的中點(diǎn)D，再在AC上畫點(diǎn)E，使AD=

(2)在圖中，點(diǎn)B在格線上，過點(diǎn)C作AB的平行線CF；

(3)在圖中，點(diǎn)B在格線上，在AB上畫點(diǎn)G，使tan∠

【變式31】（2023秋·江蘇蘇州·九年級統(tǒng)考期中）如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為．【變式32】（2023秋·福建泉州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A、B、C、D是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，AB、CD交于點(diǎn)O，則cos∠BOD【變式33】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是由小正方形組成的8×6網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC

(1)在圖（1）中，D，E分別是邊AB，AC與網(wǎng)格線的交點(diǎn)．先將點(diǎn)C繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到點(diǎn)F，畫出點(diǎn)F；再在邊AB上畫點(diǎn)G，使EG∥(2)在圖（2）中，在邊AB上找一點(diǎn)P，使PA=PC；再在線段AC上找一點(diǎn)Q【題型4坐標(biāo)系中解直角三角形】【例4】（2023·河南洛陽·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABOC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，∠BOC=60°，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,3)，y=kx的圖象與菱形對角線AO交于點(diǎn)

A．-23 B．-33 C．【變式41】（2023·廣東湛江·嶺師附中校聯(lián)考一模）如圖，在△ABO中，AB⊥OB，AB=3，OB=1，把△ABO繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)120°

【變式42】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱市第十七中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖：已知一次函數(shù)圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B．OB=3，tan

(1)求直線AB的解析式；(2)若點(diǎn)C在x軸上方的直線AB上，△AOC的面積為15，求tan【變式43】（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級校考開學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=kx+6k交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)

(1)如圖1，求k的值；(2)如圖2，點(diǎn)H在AB上，點(diǎn)F在OB上，連接FH、OH，且FH=OH，過點(diǎn)F作AB的垂線，垂足為點(diǎn)S，設(shè)點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為t，-3<t<-1，線段SH的長為d(3)如圖3，在（2）的條件下，將線段OH繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段OE，連接AE并延長交x軸于C，連接HC，點(diǎn)K是HC的中點(diǎn)，連接EK，當(dāng)tan∠SHF=【題型5四邊形中解直角三角形】【例5】（2023·海南儋州·海南華僑中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，點(diǎn)E為對角線BD上一點(diǎn)，連接AE，過點(diǎn)E作EF⊥AE交BC于點(diǎn)F．連接AF交BE于點(diǎn)O，若AB=AE，則線段AF與

【變式51】（2023秋·陜西渭南·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且EC平分∠BED，AB=3，∠ABE=30°

A．1 B．2 C．3 D．2【變式52】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知菱形的一個內(nèi)角為60°，一條對角線的長為43，則另一條對角線的長為【變式53】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E為BC邊上一點(diǎn)，連接AE、DE，若AD=DE，AE=DC，BE=4【題型6利用解直角三角形求不規(guī)則圖形的面積】【例6】（2023春·江蘇·九年級專題練習(xí)）在△ABC中，∠B＝45°，AC＝4，則△ABC面積的最大值為（

）A．42 B．42＋4 C．8 D．82+8【變式61】（2023秋·上?！ぞ拍昙壣虾Ｍ鈬Z大學(xué)附屬大境初級中學(xué)?？计谥校┮阎喝鐖D，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8

(1)試求cosB(2)試求△BCD【變式62】（2023春·福建漳州·九年級統(tǒng)考期中）閱讀下列材料：如圖1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，可以得到：S證明：過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ABD中，sinB∴AD∴S同理：SSΔABC∴S（1）通過上述材料證明：a（2）運(yùn)用（1）中的結(jié)論解決問題：如圖2，在ΔABC中，∠B=15°，（3）如圖3，為了開發(fā)公路旁的城市荒地，測量人員選擇A、B、C三個測量點(diǎn)，在B點(diǎn)測得A在北偏東75°方向上，沿筆直公路向正東方向行駛18km到達(dá)C點(diǎn)，測得A在北偏西45°方向上，根據(jù)以上信息，求A、B、C三點(diǎn)圍成的三角形的面積．（本題參考數(shù)值：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，2≈1.4，結(jié)果取整數(shù)）【變式63】（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）已知在△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝8，D、E分別是邊BC、AB上的一點(diǎn)，若tan∠DEA＝2，DE＝5，S△DEB＝4，求四邊形ACDE的面積．【題型7解直角三角形的應(yīng)用之坡度坡比問題】【例7】（2023·山西陽泉·校聯(lián)考模擬預(yù)測）根據(jù)山西省人民政府辦公廳印發(fā)的《山西省推進(jìn)分布式可再生能源發(fā)展三年行動計劃（20232025年）》，從2023年開始，每年選擇23個左右鄉(xiāng)鎮(zhèn)，利用各類村閑置集體土地開發(fā)建設(shè)分散式風(fēng)電幫扶小鎮(zhèn)，新增發(fā)電裝機(jī)100萬千瓦左右．如圖1，是某地山坡上新建的一臺風(fēng)力發(fā)電機(jī)，數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)為測量這臺發(fā)電機(jī)AB的高度，如圖2，在C處測得發(fā)電機(jī)底端B的仰角為15°，沿水平地面前進(jìn)30m到達(dá)D處，測得發(fā)電機(jī)頂端A的仰角為53°，若AB⊥DC于點(diǎn)E，圖中點(diǎn)A，B，C，D，E

(1)求斜坡BD的長；(2)求這臺風(fēng)力發(fā)電機(jī)AB的高度（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°【變式71】（2023秋·廣西柳州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，某地下車庫的入口處有斜坡AB，它的坡度為i=1:2，斜坡AB的長為65m，斜坡的高度為AHAH⊥

(1)求車庫的高度AH；(2)求點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97【變式72】（2023·河北滄州·統(tǒng)考二模）某場地的跑道分為上坡、平地、下坡三種類型．一架無人機(jī)始終以每分0.2km的速度在離水平地面500m的高度勻速向右飛行，在運(yùn)動員的正上方進(jìn)行跟蹤拍攝．如圖為無人機(jī)飛行以及運(yùn)動員運(yùn)動路徑的圖像．已知OA=103km，AB=1km

(1)求坡面OA的垂直高度h；(2)求直線BC的函數(shù)解析式，并求運(yùn)動員在下坡路段的速度；(3)通過計算說明運(yùn)動員在O-A-【變式73】（2023·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，堤壩AB長為10m，坡度i為1:0.75，底端A在地面上，堤壩與對面的山之間有一深溝，山頂D處立有高20m的鐵塔CD．小明欲測量山高DE，他在A處看到鐵塔頂端C剛好在視線AB上，又在壩頂B處測得塔底D的仰角α為26°35'．求堤壩高及山高DE．（sin26°35'

【題型8解直角三角形的應(yīng)用之俯角仰角問題】【例8】（2023春·湖南永州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，建筑物AB后有一座小山，∠DCF=30°，測得小山坡腳C點(diǎn)與建筑物水平距離BC=25米，若山坡上E點(diǎn)處有一涼亭，且涼亭與坡腳距離CE=20米，某人從建筑物頂端A點(diǎn)測得E點(diǎn)處的俯角為48°．求建筑物AB的高（精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin48°≈0.7，cos48°≈0.6，

【變式81】（2023·河南鄭州·?？既＃┖幽鲜〉欠馐芯硟?nèi)的嵩岳寺塔是中國現(xiàn)存年代最久的佛塔，堪稱世界上最早的筒體建筑．某校數(shù)學(xué)社閉的同學(xué)利用所學(xué)知識來測量嵩岳寺塔的高度，如圖，CD是嵩岳寺塔附近不遠(yuǎn)處的某建筑物，他們在建筑物CD底端D處利用測角儀測得嵩岳寺塔頂端B的仰角為60°，在建筑物CD頂端C處利用測角儀測得嵩岳寺塔底端A的俯角為35°，已知建筑物CD的高為15米，AB⊥AD，CD⊥AD，點(diǎn)A，D在同一水平線上，求嵩岳寺塔AB的高度．（結(jié)果精確到

【變式82】（2023春·山東菏澤·九年級統(tǒng)考期中）某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度CD，如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行60米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30°．線段AM的長為無人機(jī)距地面的垂直高度，點(diǎn)M，C，D在同一條直線上，其中tanα=3，MC

(1)求無人機(jī)的飛行高度AM；（結(jié)果保留根號）(2)求河流的寬度CD．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3【變式83】（2023秋·河南新鄉(xiāng)·九年級統(tǒng)考期末）二七紀(jì)念塔位于鄭州市二七廣場，是獨(dú)特的仿古聯(lián)體雙塔．學(xué)完解直角三角形的知識后，某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的王華和張亮決定用自己所學(xué)到的知識測量二七紀(jì)念塔AB的高度．如圖，CD是紀(jì)念塔附近不遠(yuǎn)處的某建筑物，他們在建筑物CD底端D處測得二七紀(jì)念塔頂端B的仰角為60°，在建筑物CD頂端C處測得二七紀(jì)念塔底端A的俯角為28°，已知建筑物CD的高為19米，AB⊥AD，CD⊥AD，求二七紀(jì)念塔【題型9解直角三角形的應(yīng)用之方向角問題】【例9】（2023·重慶·九年級專題練習(xí)）五一節(jié)日到來，重慶又一次成為全國火熱城市，小明和小亮兩人相約去觀賞洪崖洞夜景，小明從A地出發(fā)，小亮從B地出發(fā)，相約到C地觀景．在A處測得C在A的北偏東45°方向上，在B處測得C在B的正北方向上，且B在A的北偏東75°方向上．小明小亮同時分別從A、B兩地出發(fā)，他們約定先在AC上的D處匯合，小明沿著AC方向慢跑，小亮沿著北偏西60°以150m/min的速度跑了2分鐘到達(dá)D（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，

(1)求AB的長度（結(jié)果保留根號）；(2)他們在D處匯合的時間恰好為18：58，若他們匯合之后立即沿DC方向同行的速度為200m/min（匯合時間忽略不計）則他們能在19：00【變式91】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）宿遷駱馬湖兩岸風(fēng)光如畫，大家都喜歡坐游船游覽觀光．如圖，在某兩段平行航道（不考慮其他因素），甲游船由西向東慢速航行，同時乙游船由東向西航行．喜愛數(shù)學(xué)的小華在甲游船到達(dá)點(diǎn)A處時測得C處的乙游船在甲游船的北偏東67.4°方向，向前行駛156m到點(diǎn)B處測得行駛到D處的乙游船在甲游船的北偏東37°方向，CD=240m，求第二次測量時甲、乙兩游船之間的距離．（參考數(shù)據(jù)sin22.6°≈513，cos22.6°≈1213【變式92】（2023春·安徽合肥·九年級校考開學(xué)考試）如圖，某巡邏艇在海上例行巡邏，上午10時在C處接到海上搜救中心從B處發(fā)來的救援任務(wù)，此時事故船位于B處的南偏東25°方向上的A處，巡邏艇位于B處的南偏西28°方向上1260米處，事故船位于巡邏艇的北偏東58°方向上，巡邏艇立刻前往A處救援，已知巡邏艇每分鐘行駛120米，請估計幾分鐘可以到達(dá)事故船A處．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73，sin53°≈45，【變式93】（2023秋·河北石家莊·九年級統(tǒng)考期末）期中測試臨近學(xué)生都在緊張的復(fù)習(xí)中，小甘和小西相約周末去圖書館復(fù)習(xí)，如圖，小甘從家A地沿著正東方向走900m到小西家B地，經(jīng)測量圖書館C地在B地的北偏東15°，C地在A地的東北方向．(1)求AC的距離：(2)兩人準(zhǔn)備從B地出發(fā)，實然接到疾控中心通知，一名確診的新冠陽性患者昨天經(jīng)過了C地，并沿著C地南偏東22°走了1800m到達(dá)D地，根據(jù)相關(guān)要求，凡是確診者途徑之處800m區(qū)域以內(nèi)都會劃為管控區(qū)，問：小西家會被劃為管控區(qū)嗎？請說明理由（參考數(shù)據(jù)：3≈1.73,【題型10解直角三角形的應(yīng)用之實物建模問題】【例10】（2023·河南南陽·校聯(lián)考三模）如圖1是某工廠生產(chǎn)的某種多功能兒童車，根據(jù)需要可變形為滑板車或三輪車，圖2、圖3是其示意圖，已知前后車輪半徑相同，車桿AB的長為60cm，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，前支撐板DE=30cm，后支撐板EC=40cm，車桿AB與

(1)如圖2，當(dāng)支撐點(diǎn)E在水平線