專題918矩形（直通中考）（提升練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.18矩形（直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023·西藏·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，和相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，于點(diǎn)G，則的值是（

）

A．2.4 B．2.5 C．3 D．42．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，有一張矩形紙片．先對(duì)折矩形，使與重合，得到折痕，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕﹐同時(shí)得到線段，．觀察所得的線段，若，則（

）

A． B． C． D．3．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，對(duì)角線的垂直平分線分別交，于點(diǎn)，．若，，則的長為（

）

A． B．3 C． D．4．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊作矩形．動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿向終點(diǎn)移動(dòng)．當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，的值為（

）

A． B． C． D．5．（2022·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M為BC的中點(diǎn)，H為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CG∥AB，交HM的延長線于點(diǎn)G，若AC＝8，AB＝6，則四邊形ACGH周長的最小值是（）

A．24 B．22 C．20 D．186．（2022·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D是AB的中點(diǎn)，延長CB至點(diǎn)E，使，連接DE，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，連接BF.若，，則BF的長為（

）A．5 B．4 C．6 D．87．（2022·浙江寧波·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，D為斜邊的中點(diǎn)，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為中點(diǎn)．若，，則的長為（

）A． B．3 C． D．48．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接．點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．9．（2022·遼寧營口·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)M在邊上，把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，連接，過點(diǎn)B作，垂足為F，若，則線段的長為（

）A． B． C． D．10．（2019·河北·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于題目：“如圖1，平面上，正方形內(nèi)有一長為、寬為的矩形，它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)（即平移或旋轉(zhuǎn)）的方式，自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放，求正方形邊長的最小整數(shù).”甲、乙、丙作了自認(rèn)為邊長最小的正方形，先求出該邊長，再取最小整數(shù)．甲：如圖2，思路是當(dāng)為矩形對(duì)角線長時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取．乙：如圖3，思路是當(dāng)x為矩形外接圓直徑長時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取n＝14．丙：如圖4，思路是當(dāng)為矩形的長與寬之和的倍時(shí)就可移轉(zhuǎn)過去；結(jié)果取．下列正確的是（）A．甲的思路錯(cuò)，他的值對(duì)B．乙的思路和他的值都對(duì)C．甲和丙的值都對(duì)D．甲、乙的思路都錯(cuò)，而丙的思路對(duì)填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2022·青海·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，若，，則圖中陰影部分的面積為．12．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，D是AC延長線上的一點(diǎn)，．M是邊BC上的一點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合），以CD、CM為鄰邊作．連接并取的中點(diǎn)P，連接，則的取值范圍是．

13．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊，分別在軸、軸正半軸上，點(diǎn)在邊上，將矩形沿折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

14．（2023·湖南湘西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，，則的長為．

15．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是線段上的點(diǎn)．若，則的長為．

16．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形中，，．在邊上取一點(diǎn)E，使，過點(diǎn)C作，垂足為點(diǎn)F，則的長為．17．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為2的等邊的兩個(gè)頂點(diǎn)分別在兩條射線上滑動(dòng)，若，則的最大值是．

18．（2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)B和D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E和F；②作直線EF分別與DC，DB，AB交于點(diǎn)M，O，N．若DM＝5，CM＝3，則MN＝．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，，垂足分別為E、F．求證：．20．（8分）（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，將邊長為4的等邊三角形紙片沿邊上的高剪成兩個(gè)三角形，用這兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形．

（1）畫出這個(gè)平行四邊形（畫出一種情況即可）；（2）根據(jù)（1）中所畫平行四邊形求出兩條對(duì)角線長．21．（10分）（2023·山東煙臺(tái)·統(tǒng)考中考真題）【問題背景】如圖1，數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動(dòng)，老師要求大家對(duì)矩形進(jìn)行如下操作：①分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，，作直線交于點(diǎn)，連接；②將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)處，作射線交于點(diǎn)．

【問題提出】在矩形中，，求線段的長．【問題解決】經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個(gè)方案如下：方案一：連接，如圖2．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段的長；方案二：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至處，如圖3．經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段的長．請(qǐng)你任選其中一種方案求線段的長．22．（10分）（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）在中，，D為內(nèi)一點(diǎn)，連接，，延長到點(diǎn)，使得（1）如圖1，延長到點(diǎn)，使得，連接，，若，求證：；（2）連接，交的延長線于點(diǎn)，連接，依題意補(bǔ)全圖2，若，用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明．23．（10分）（2022·海南·統(tǒng)考中考真題）如圖1，矩形中，，點(diǎn)P在邊上，且不與點(diǎn)B、C重合，直線與的延長線交于點(diǎn)E．（1）當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，求證：；（2）將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在矩形的內(nèi)部，延長交直線于點(diǎn)F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，求周長的最小值；③如圖2，交于點(diǎn)H，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．24．（12分）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐問題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，將以為對(duì)稱軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，．”小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn)，給出與的長，就可求出的長．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過探究后提出問題1，請(qǐng)你回答：

問題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長．問題解決：小明經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：若將問題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問題進(jìn)一步拓展．問題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長．參考答案：1．A【分析】連接，利用矩形的性質(zhì)可得，，，即，再利用面積可得，，結(jié)合，可得，問題隨之得解．解：連接，如圖，

∵四邊形是矩形，，，∴，，，，∴，，即，∵，，∴，，∵，∴．∴，∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形的面積等知識(shí)，靈活利用面積得出，是解答本題的關(guān)鍵．2．C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得到，在中，由特殊銳角的三角函數(shù)可求即可．解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，，，，∴∵四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，∴，∴∴，在中，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)撥】此題考查了矩形的性質(zhì)，折疊軸對(duì)稱，掌握折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，以及直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．A【分析】依據(jù)題意，連接，記與交于點(diǎn)，先證，從而得，再由線段垂直平分從而，又在中可得的值，從而再在中可求得．解：由題意，連接，記與交于點(diǎn)．

線段垂直平分，，．四邊形是矩形，．．又，．．在中，．在中可得，．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)，解題時(shí)要熟練掌握并理解是關(guān)鍵．4．D【分析】根據(jù)題意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．解：連接、

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊作矩形．∴，則，依題意，，∴，則，∴∴，∴，∵，∴故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理求兩點(diǎn)坐標(biāo)距離，矩形的性質(zhì)，求得的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】通過證明△BMH≌△CMG可得BH＝CG，可得四邊形ACGH的周長即為AB+AC+GH，進(jìn)而可確定當(dāng)MH⊥AB時(shí)，四邊形ACGH的周長有最小值，通過證明四邊形ACGH為矩形可得HG的長，進(jìn)而可求解．解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四邊形ACGH的周長＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴當(dāng)GH最小時(shí)，即MH⊥AB時(shí)四邊形ACGH的周長有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四邊形ACGH為矩形，∴GH＝8，∴四邊形ACGH的周長最小值為14+8＝22，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，確定GH的值是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得的長度；結(jié)合題意知線段是的中位線，則．解：在中，，，，．又為中線，．為中點(diǎn)，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，則．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形斜邊上的中線，利用直角三角形的中線性質(zhì)求出線段的長度是解題的關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)三角形中位線可以求得AE的長，再根據(jù)AE＝AD，可以得到AD的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系，可以求得BD的長．解：∵D為斜邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE中點(diǎn)，DF＝2，∴AE＝2DF＝4，∵AE＝AD，∴AD＝4，在Rt△ABC中，D為斜邊AC的中點(diǎn)，∴BD＝AC＝AD＝4，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角線斜邊上的中線和斜邊的關(guān)系、三角形的中位線，解答本題的關(guān)鍵是求出AD的長．8．C【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得，，通過證明四邊形是平行四邊形，可得，則，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，則，點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為．解：四邊形是矩形，，，點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，，，，，，，，又，四邊形是平行四邊形，，，如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)M，連接，，

則，當(dāng)點(diǎn)B，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，在中，，，，的最小值，故選C．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想．9．A【分析】先證明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，從而可得AD=BC=，最后求得AE的長．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC，∴∠DEC=∠FCB，∵，∴∠BFC=∠CDE，∵把沿直線折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，∴BC=EC，在△BFC與△CDE中，∴△BFC≌△CDE（AAS），∴DE=CF=2，∴，∴AD=BC=CE=，∴AE=ADDE=，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形中的折疊問題．10．B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出矩形的對(duì)角線長，即可判斷甲和乙，丙中圖示情況不是最長．解：甲的思路正確，長方形對(duì)角線最長，只要對(duì)角線能通過就可以，但是計(jì)算錯(cuò)誤，應(yīng)為n=≈14；乙的思路與計(jì)算都正確，n=≈14；丙的思路與計(jì)算都錯(cuò)誤，圖示情況不是最長，n=（12+6）×=≈13．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．6【分析】結(jié)合矩形的性質(zhì)證明，可得與的面積相等，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為的面積進(jìn)行求解即可．解：∵四邊形是矩形，，∴，，，∴，又∵，在和中，，∴，∴，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、全等三家形的判定與性質(zhì)，根據(jù)證明三角形全等，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為矩形面積的一半是解題的關(guān)鍵．12．【分析】過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，分析可知為的最大值，為的最小值，據(jù)此即可求解．解：過點(diǎn)B作交的延長線于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，如圖所示：

由題意得：點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合）故：為的最大值，為的最小值∵∴∵∴∵且∴∵P為的中點(diǎn)∴∵P為的中點(diǎn)∴為的中點(diǎn)∴∵∴故∵點(diǎn)M與點(diǎn)B、C不重合∴的取值范圍是故答案為：【點(diǎn)撥】本題綜合考查了勾股定理、動(dòng)點(diǎn)軌跡問題．根據(jù)題意確定動(dòng)點(diǎn)軌跡是解題關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，在中，勾股定理求得，進(jìn)而得出，在中，勾股定理建立方程，求得的長，即可求解．解：∵四邊形是矩形，∴，∵折疊，∴，在中，∴，∴設(shè)，則，∵折疊，∴，在中，，∴，解得：，∴，∴的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．14．【分析】利用矩形的性質(zhì)和勾股定理求出，進(jìn)而求出，然后在中利用勾股定理求出，最后利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可求解．解：在矩形中，，∴，，，∴，∴，∴，∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題15．【分析】過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，等面積法證明，進(jìn)而證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．解：如圖所示，過點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，

∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴∴設(shè)在中，∴∴，∴∴解得：∴在中，，在中，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16．【分析】利用矩形的性質(zhì)、勾股定理求出，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．解：∵矩形中，，，∴，，又，∴，∴，∵，，∴，，∴，在和中，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．17．/【分析】如圖所示，取的中點(diǎn)D，連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，再由可得當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最大值為．解：如圖所示，取的中點(diǎn)D，連接，∵是邊長為2的等邊三角形，∴，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，最大值為，故答案為：．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，正確作出輔助線確定當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值是解題的關(guān)鍵．18．【分析】作輔助線，利用垂直平分線的性質(zhì)得出的值，OB＝OD，由矩形的性質(zhì)、勾股定理得出，的值，進(jìn)而得出，的值，根據(jù)全等三角形的判定（角邊角）得出△MDO≌△BNO，最后利用全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．解：如圖，連接BM．由作圖可知MN垂直平分線段BD，∴BM＝DM＝5．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，CD∥AB．∴BC＝＝＝4．∴BD＝＝＝．∴OB＝OD＝．∵∠MOD＝90°，∴OM＝＝＝．∵CD∥AB，∴∠MDO＝∠NBO．在△MDO和△NBO中，∴△MDO≌△BNO（ASA）．∴OM＝ON＝．∴MN＝．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，作圖—基本作圖，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等的理解與運(yùn)用能力．線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等；兩全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．在一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方．掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．19．證明見分析【分析】根據(jù)定理證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．解：證明：四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）4或，或2，【分析】（1）根據(jù)題意畫出拼接圖形即可；（2）利用等邊三角形的性質(zhì)求得，分情況分別利用平行四邊形和矩形的性質(zhì)和勾股定理求解即可．（1）解：如圖①或②或③，

，（2）解：∵等邊邊，∴，∴，如圖①所示：可得四邊形是矩形，則其對(duì)角線長為；如圖②所示：，連接，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，則可得四邊形是矩形，∴，，則；如圖③所示：，連接，過點(diǎn)A作交延長線于點(diǎn)E，可得四邊形是矩形，由題意可得：，，故．【點(diǎn)撥】本題考查圖形的剪拼，涉及等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和矩形性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造直角三角形求解是解答的關(guān)鍵．21．線段的長為．【分析】方案一：連接，由翻折的不變性，知，，證明，推出，設(shè)，在中，利用勾股定理列式計(jì)算求解即可；方案二：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至處，證明，推出，設(shè)，同方案一即可求解．解：方案一：連接，如圖2．

∵四邊形是矩形，∴，，由作圖知，由翻折的不變性，知，，，∴，，又，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得，∴線段的長為；方案二：將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至處，如圖3．

∵四邊形是矩形，∴，，由作圖知，由旋轉(zhuǎn)的不變性，知，，，則，∴共線，由翻折的不變性，知，∴，∴，設(shè)，則，，在中，，即，解得，∴線段的長為．【點(diǎn)撥】本題考查了作線段的垂直平分線，翻折的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．22．（1）見分析；（2）；證明見分析【分析】（1）先利用已知條件證明，得出，推出，再由即可證明；（2）延長BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，先證，推出，通過等量代換得到，利用平行線的性質(zhì)得出，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到．解：（1）證明：在和中，，∴，∴，∴，∵，∴．（2）解：補(bǔ)全后的圖形如圖所示，，證明如下：延長BC到點(diǎn)M，使CM＝CB，連接EM，AM，∵，CM＝CB，∴垂直平分BM，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，垂