專題21直線與圓的位置關(guān)系（全章知識梳理與考點分類講解）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（浙教版）

專題2.1直線與圓的位置關(guān)系（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】直線與圓的位置關(guān)系（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與⊙O相交;直線l與⊙O相切;直線l與⊙O相離.【知識點二】切線的判定和性質(zhì)（1）.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。如右圖中，OD垂直于切線?！局R點三】切線長定理（1）.切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。（2）.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。（3）.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對角互補。(4).三角形的內(nèi)切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。如圖圓O是△A＇B＇C＇的內(nèi)切圓。三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心?！究键c目錄】【考點1】直線圓的三種位置關(guān)系；【考點2】切線的證明；【考點3】切線的性質(zhì)定理；【考點4】切線的判定定理；【考點5】切線性質(zhì)定理與判定定理綜合；【考點6】切線長定理；【考點7】三角形的內(nèi)切圓.專題2.1直線與圓的位置關(guān)系（全章知識梳理與考點分類講解）【知識點一】直線與圓的位置關(guān)系（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與⊙O相交;直線l與⊙O相切;直線l與⊙O相離.【知識點二】切線的判定和性質(zhì)（1）.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。如右圖中，OD垂直于切線?！局R點三】切線長定理（1）.切線長：在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。（2）.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。（3）.圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點共圓的判定條件）圓內(nèi)接四邊形對角互補。(4).三角形的內(nèi)切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。如圖圓O是△A＇B＇C＇的內(nèi)切圓。三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角平分線的交點，它叫做三角形的內(nèi)心?！究键c目錄】【考點1】直線圓的三種位置關(guān)系；【考點2】切線的證明；【考點3】切線的性質(zhì)定理；【考點4】切線的判定定理；【考點5】切線性質(zhì)定理與判定定理綜合；【考點6】切線長定理；【考點7】三角形的內(nèi)切圓.【考點一】直線圓的三種位置關(guān)系【例1】（2023上·九年級課時練習(xí)）如圖，在中，，為邊上一點（不與點重合）．若的半徑為，當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時，直線與相離、相切、相交？【答案】當(dāng)時，直線與相離；當(dāng)時，直線與相切；當(dāng)時，直線與相交【分析】作于點D，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行解答即可．解：作于點D，如圖所示：

∵，，∴，.∵，∴，若與直線相離，則有，即，解得，∴；若與直線相切，則有，即，解得；若與直線相交，則有，即，解得，∴；綜上可知：當(dāng)時，直線與相離；當(dāng)時，直線與相切；當(dāng)時，直線與相交．【點撥】本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形的性質(zhì)得出．【舉一反三】【變式1】（2023上·河北廊坊·九年級?？计谥校┤鐖D，是的直徑，交于點，于點，要使是的切線，還需補充一個條件嘉嘉說：“這個條件可以是”；淇淇說：“滿足條件也可以判定是的切線”；對于他們的說法，下列判斷正確的是（

）

A．嘉嘉正確，淇淇錯誤 B．嘉嘉錯誤，淇淇正確C．他們都正確 D．他們都錯誤【答案】C【分析】本題考查的是切線的判定；根據(jù)，連接，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可以得到點是的中點，是的中位線，，然后由，得到，可以證明是的切線．根據(jù)，，得到，可以證明是的切線．解：當(dāng)時，如圖：連接，

是的直徑，，，，是的中位線，，，，是的切線．當(dāng)時，，．是的切線．故選：C．【變式2】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點O為圓心、r為半徑作．若對于符合條件的任意實數(shù)k，一次函數(shù)的圖像與總有兩個公共點，則r的最小值為．【答案】2【分析】由的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，可知，由過定點，可知當(dāng)圓經(jīng)過時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點，進(jìn)而可得r的最小值是2．解：∵的圖像經(jīng)過第一、二、四象限，∴，隨的增大而減小，∵過定點，∴當(dāng)圓經(jīng)過時，由于直線呈下降趨勢，因此必然與圓有另一個交點，∴r的臨界點是2，∴r的最小值是2，故答案為：2．【點撥】本題考查了一次函數(shù)圖像，直線與圓的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．【考點二】切線的證明【例2】（2023上·貴州六盤水·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，．延長到O，使，以O(shè)為圓心，長為半徑作交延長線于點D，連結(jié)．（1）求扇形的面積．（2）判斷所在直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；（2）所在直線與相切，見分析【分析】（1）求出，得出是等邊三角形，求出，，利用扇形的面積公式求得即可；（2）由等邊三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而求出，得出，即可證得是的切線．解：（1）在中，，∴，．

∴．∵，∴是等邊三角形．

∴．

∴．（2）所在直線與相切．理由：∵是等邊三角形，∴．

∵，∴．∴．

∴，即．

∵為的半徑，∴所在直線與相切．【點撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定扇形的面積，切線的判定，證明是等邊三角形，掌握切線的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2010·四川南充·中考真題）如圖，直線，與和分別相切于點和點．點和點分別是和上的動點，沿和平移．的半徑為，．下列結(jié)論錯誤的是（

）．A． B．若與相切，則C．若，則與相切 D．和的距離為【答案】B【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識，逐一判斷．解：A、平移使點與重合，，，解直角三角形得，正確；B、當(dāng)與圓相切時，，在左側(cè)以及，在，右側(cè)時，或，錯誤；C、若，連接并延長交于點，則，故，，故上的高為，即到的距離等于半徑．正確；D、，兩平行線之間的距離為線段的長，即直徑，正確．故選：B．【點撥】本題考查了直線與圓相切的判斷方法和性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線間的距離，熟練掌握直線與圓相切的判斷方法和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·九年級課時練習(xí)）如圖，以的邊為直徑的恰好過的中點，過點作于點，連接，，有下列結(jié)論：①；②；③；④是的切線；⑤．其中正確結(jié)論的序號是．

【答案】①②③④⑤【分析】三角形的中位線定理，判斷①；圓周角定理和中點，得到是的中垂線，得到，判斷②③；根據(jù)，得到，判斷④；等角的余角相等，判斷⑤．解：∵為的中點，為的中點，∴為的中位線，∴，故①正確；∵為的直徑，∴，∵為的中點，∴為線段的中垂線，∴∴，故②③正確；∵，∴，又為的半徑，∴是的切線；故④正確；∵，∴，∵，，∴，∴，故⑤正確；綜上：正確的是①②③④⑤；故答案為：①②③④⑤．【點撥】本題考查三角形的中位線定理，中垂線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，切線的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，是解題的關(guān)鍵．【考點三】切線的性質(zhì)定理【例3】（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形中，過A點作，且經(jīng)過，，三點，而的切線交的延長線于點，若，求的長．【答案】1【分析】連接，則，由平行四邊形的性質(zhì)得，則，所以，由切線的性質(zhì)得，則，所以，則，所以，則．解：連接，則，四邊形是平行四邊形，，，是等邊三角形，，與相切于點，，，，，，，，，，的長為1．【點撥】本題考查切線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．【舉一反三】【變式1】（2023上·北京西城·九年級北京鐵路二中?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，，，的圓心為點，半徑為1．若是上的一個動點，線段與軸交于點，則面積的最大值是（

）

A．2 B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：由題意可得當(dāng)與相切時，面積最大，然后連接，由切線的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理，可求得的長，易證得，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易求得的長，繼而求得面積的最大值．解：由圖可知：當(dāng)與相切時，面積最大，連接，

則，，，的圓心為點，半徑為1，，，，，，，，即，，，．故選：C．【變式2】（2023上·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）已知拋物線，M是拋物線上一動點，以點M為圓心，1個單位長度為半徑作．當(dāng)與x軸相切時，點M的坐標(biāo)為．【答案】或或【分析】本題考查切線的性質(zhì)，拋物線的性質(zhì)，解一元二次方程，根據(jù)當(dāng)?shù)陌霃绞?，與x軸相切，則M的縱坐標(biāo)是1或即可求解．解：∵與x軸相切，∴M到x軸的距離為1，當(dāng)時，，解得：，∴；當(dāng)時，，解得：，∴點M坐標(biāo)為或；故答案為：或或．【考點四】切線性質(zhì)定理與判定定理綜合【例4】（2023·廣東深圳·廣東省深圳市鹽田區(qū)外國語學(xué)校校考模擬預(yù)測）如圖，內(nèi)接于，是的直徑，E是長線上一點，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求線段的長．【答案】（1）見分析；（2）3【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得出，再由各角之間的等量代換得出，利用切線的判定證明即可；（2）根據(jù)（1）可知，，再由正切函數(shù)的定義得出，利用勾股定理求解即可．解：（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵是的直徑，即是半徑，∴是的切線；（2）由（1）知，，在和中，∵，，∴，∴，在中，，，∴，解得（負(fù)值舍去），即線段的長為．【點撥】題目主要考查切線的判定和性質(zhì)，正切函數(shù)的定義，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·河北張家口·九年級張北縣第三中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．相等的圓心角所對的弧相等C．經(jīng)過圓的半徑外端的直線是圓的切線 D．圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑【答案】D【分析】根據(jù)圓的切線、圓心角和垂徑定理進(jìn)行判斷即可．解：A、平分弦的直徑不一定垂直于弦，是假命題，故本選項不符合題意；B、在等圓或同圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，是假命題，故本選項不符合題意；C、經(jīng)過圓的半徑的外端的直線不一定是圓的切線，是假命題，故本選項不符合題意；D、圓的切線垂直于過切點的半徑，是真命題，故本選項符合題意；故選：D．【點撥】本題考查了圓相關(guān)知識點，熟練掌握圓的切線、圓心角和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·黑龍江綏化·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為的直徑，與相切于點，弦．若，則．

【答案】/【分析】利用切線的性質(zhì)得，利用直角三角形兩銳角互余可得，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，即可得到答案．解：∵與相切于點，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點撥】本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，并且熟練運用兩直線平行，同位角相等是解題的關(guān)鍵．【考點五】切線長定理【例5】（2023上·北京西城·九年級北京師大附中?？计谥校┤鐖D，在，，點D在邊上，以為直徑的與直線相切于點E，連接，．（1）求證：；（2）連接，若，求的半徑．【答案】（1）見分析；（2）【分析】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，切線長定理，等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理．（1）先證明為的切線，則根據(jù)切線長定理得到平分，則，再利用得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到的度數(shù)；（2）設(shè)的半徑為r，利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到，然后在中利用勾股定理得到，于是解方程可得到的半徑．解：（1）∵，∴，∴為的切線，∵為的切線，∴平分，∴，∵，∴，∴，∵，即，∴；（2）如圖，設(shè)的半徑為r，由（1）知，在中，∵，∴在中，，解得，即的半徑為．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東聊城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，為半圓的直徑，，分別切于，兩點，切于點，連接，，下結(jié)論錯誤的是（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查了圓的切線的性質(zhì)、切線長定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的面積計算等知識與方法，連接，由分別切于兩點，切于點，根據(jù)切線長定理得，，則，可判斷正確；由是的直徑得，，則，于是有，由切線長定理得，，則，因此，可判斷正確；根據(jù)“”可分別證明，，則，可判斷正確；先由，，證明，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得到，故錯誤；正確作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．解：如圖，連接，

∵分別切于兩點，切于點，∴，，∴，故正確；∵是的直徑，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，故正確；∵是的半徑，∴，∴，，在和中，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故正確；∵，，∴，∴，∴，故錯誤；故選：．【變式2】（2023上·河南濮陽·九年級?？计谥校┤鐖D，切線、分別與相切于點、，切線與相切于點，且分別交、于點、，若的周長為，則線段的長為．【答案】【分析】本題考查的是切線長定理，通過切線長定理將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出三角形的周長等于是解題的關(guān)鍵．解：∵都是的切線，∴，同理，，∴的周長，∴；故答案為：3．【考點六】三角形的內(nèi)切圓【例6】（2023上·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是的平分線，是射線上一點，．動點從點出發(fā)，以的速度沿水平向左作勻速運動，與此同時，動點從點出發(fā)，也以的速度沿豎直向上作勻速運動．連接，交于點．經(jīng)過三點作圓，交于點，連接．設(shè)運動時間為，其中．（1）求的值；（2）當(dāng)時，求出內(nèi)切圓的半徑；（3）求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)題意分別表示出，用含的式子表示出來相加即可求解；（2）如圖，作內(nèi)切圓，切點分別為，連接，求解，證明四邊形是正方形，，可得，從而可得結(jié)論；（3）根據(jù)圓周角定理可得，是等腰直角三角形．進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計算即可求解．（1）解：由題意可得，，．（2）當(dāng)時，，，

如圖，作內(nèi)切圓，切點分別為，連接，，，四邊形是正方形，，，，，即內(nèi)切圓的半徑為1．（3），是圓的直徑．．，，是等腰直角三角形，，，．在中，．四邊形的面積，．四邊形的面積為．【點撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，求解三角形的內(nèi)切圓的半徑，切線長定理的應(yīng)用，正方形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用圓的基礎(chǔ)知識與切線長定理求解是解本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·河北邢臺·九年級校聯(lián)考期中）已知是的內(nèi)心，，為平面上一點，點恰好又是的外心，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了三角形的內(nèi)心和三角形外心的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)得分別是的角平分線，進(jìn)而求出的大小，再利用三角形外心的性質(zhì)得出等于的一半，即可得出答案，牢記以上知識點得出各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．解：連接，

∵是的內(nèi)心，，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵點又是的外心，∴，故選：．【變式2】（2023上·河北廊坊·九年級統(tǒng)考期中）如圖，點D是的內(nèi)心，的延長線和的外接圓相交于點E，連接，，且；（1）的度數(shù)為；（2）的度數(shù)為．【答案】【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)心的定義，圓的基本性質(zhì)；掌握性質(zhì)，理解三角形內(nèi)心的定義：“三角形的內(nèi)角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心”是解題的關(guān)鍵．解：由圖得：四邊形有外接圓，，；點D是的內(nèi)心，平分，，，；故答案：，．【考點七】圓的綜合題【例7】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考一模）如圖，已知四邊形是矩形，把沿對角線翻折得到，交于點，是的外接圓．

（1）利用尺規(guī)作出的外接圓（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）求證：；（3）若，試判斷與直線的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見分析；（2）見分析；（3）直線是的切線，理由見分析【分析】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，銳角三角函數(shù)，求出是解本題的關(guān)鍵．（1）先作出，的垂直平分線，找出圓心，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，即可得出結(jié)論；（3）先求出，進(jìn)而依次求出，，，再判斷出，進(jìn)而求出，判斷出是等邊三角形，即可得出結(jié)論．（1）解：如圖，為所求作的圖形．

（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊知，，∴，∴．（3）解：直線是的切線，如圖，連接，，

∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，由（2）知，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵點在上，∴直線是的切線．【舉一反三】【變式1】（2023上·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，點A，B在上，P為外一點，且，，連接OP，OP與相交于點C，與AB交于點D，連接，，有下列結(jié)論：①；②；③C為中點；④四邊形為菱形；⑤O，A，B，P四點共圓，其中一定成立的有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由P為外一點，且，，可得，然后依據(jù)可證明，可判斷①；進(jìn)而可證明，可判斷②，根據(jù)，得到，可判斷③，要使得四邊形為菱形，即必須成立，即必須成立，即必須成立，顯然，只有當(dāng)時，這些前提才