專題51二次函數(shù)（全章知識梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊全章復(fù)習(xí)與專題突破講與練（蘇科版）

專題5.1二次函數(shù)（全章知識梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識點(diǎn)一】二次函數(shù)有關(guān)概念（1）定義：一般的，形如（a、b、c是常數(shù)，）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，自變量x的取值范圍為全體實(shí)數(shù).（2）、bx、c分別稱作二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，、b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù).【知識點(diǎn)二】二次函數(shù)的解析式（1）三類解析式一般式：（a、b、c是常數(shù)，）；頂點(diǎn)式：（），二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k）；交點(diǎn)式：（），其中x1，x2是圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．（2）待定系數(shù)法求解析式①巧設(shè)二次函數(shù)的解析式（給頂點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式，給交點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)式，其余情況設(shè)一般式）；②根據(jù)已知條件，得到關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）；③解方程（組），求出待定系數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式.【知識點(diǎn)三】二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)開口方向a>0時，開口向上；a<0時，開口向下.對稱軸y軸y軸x=hx=h頂點(diǎn)與最值（0，0）（0，k）（h，0）（h，k）a>0時，頂點(diǎn)是最低點(diǎn)，此時y有最小值，最小值為0（或k或）；a<0時，頂點(diǎn)是最高點(diǎn)，此時y有最大值，最大值為0（或k或）.增

減

性a>0x<0（h或）時，y隨x的增大而減小；x>0（h或）時，y隨x的增大而增大。即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而減?。辉趯ΨQ軸的右邊，y隨x的增大而增大。a<0x<0（h或）時，y隨x的增大而增大；x>0（h或）時，y隨x的增大而減小。即在對稱軸的左邊，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右邊，y隨x的增大而減小。對稱性1.圖象是軸對稱圖形；2.拋物線上y值相等的兩點(diǎn)，其中點(diǎn)必在對稱軸上；3.拋物線上到對稱軸距離相等的點(diǎn)，y值必定相等.【知識點(diǎn)四】二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系（1）的正負(fù)決定開口方向：，拋物線開口向上；，拋物線開口向下.的大小決定開口的大?。涸酱螅瑨佄锞€的開口越?。辉叫?，拋物線的開口越大.（2）、b的符號共同決定對稱軸的位置當(dāng)時，，對稱軸為y軸；當(dāng)a、b同號時，，對稱軸在y軸左邊；當(dāng)a、b異號時，，對稱軸在y軸右邊．（簡記為“左同右異”）（3）c決定拋物線與軸的交點(diǎn)的位置當(dāng)c＞0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸上；當(dāng)c＝0時，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；當(dāng)c＜0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上.【知識點(diǎn)五】二次函數(shù)圖象的變換（1）圖象的平移：任意拋物線y＝a（x－h(huán)）2＋k可以由拋物線y＝ax2經(jīng)過平移得到，在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”．概括成八個字“左加右減，上加下減”．具體平移方法如下：（2）圖象的對稱：化成頂點(diǎn)式，結(jié)合圖像，求出對稱后的頂點(diǎn)和開口方向，再寫出對稱后的解析式.【知識點(diǎn)六】二次函數(shù)與一元二次方程二次函數(shù)（）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一元二次方程的根.（1）當(dāng)b2－4ac＞0時，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)；（2）當(dāng)b2－4ac＝0時，拋物線與x軸有一個交點(diǎn)；（3）當(dāng)b2－4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn).【知識點(diǎn)七】二次函數(shù)與不等式（1）拋物線在x軸上方圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為正，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集；（2）拋物線在x軸下方圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為負(fù)，所對應(yīng)的x的所有值就是不等式的解集.【知識點(diǎn)八】二次函數(shù)的應(yīng)用（1）最大利潤問題：求解最值時，一定要考慮頂點(diǎn)橫坐標(biāo)（對稱軸）的取值是否在自變量的取值范圍內(nèi).（2）面積問題：籬笆問題，鉛錘法求面積.（3）類拋物線問題：拱橋、投橋、噴泉問題.（4）與幾何圖形結(jié)合：與三角形、圓等幾何圖形結(jié)合，考查最大面積或最小距離等問題【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】二次函數(shù)???有關(guān)概念【考點(diǎn)2】二次函數(shù)???待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式【考點(diǎn)3】二次函數(shù)???二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【考點(diǎn)4】二次函數(shù)???二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系【考點(diǎn)5】二次函數(shù)???二次函數(shù)圖象的變換【考點(diǎn)6】二次函數(shù)???二次函數(shù)與一元二次方程【考點(diǎn)7】二次函數(shù)???二次函數(shù)與不等式【考點(diǎn)8】二次函數(shù)???實(shí)際問題與二次函數(shù)【考點(diǎn)9】二次函數(shù)???二次函數(shù)綜合問題【考點(diǎn)一】二次函數(shù)???有關(guān)概念【例1】（2023上·九年級課時練習(xí)）如圖所示，用長為21米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10米），圍成中間隔有一道籬笆的矩形花圃，為便于進(jìn)出，開了3道寬均為1米的門．設(shè)花圃的一邊為米，面積為平方米，求與之間的函數(shù)解析式，并求自變量的取值范圍．

【答案】【分析】注意實(shí)際場景中數(shù)量間關(guān)系，得，且，求解得自變量取值范圍，根據(jù)矩形面積公式求函數(shù)關(guān)系式．解：由題意，，，且，解得，，于是，∴．【點(diǎn)撥】本題考查列二次函數(shù)關(guān)系式，不等式組的求解，由幾何圖形及實(shí)際場景確定數(shù)量間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·廣西河池·九年級統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義對各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可，注意兩項(xiàng)化簡完后再判斷．解：A、是一次函數(shù)，不符合題意；B、中，x的次數(shù)是3，不是二次函數(shù)，不符合題意；C、可化為是一次函數(shù)，不符合題意；D、可化為，是二次函數(shù)，符合題意．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)的定義，一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)，熟練掌握其定義是解決此題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）若是關(guān)于的二次函數(shù)，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第象限．【答案】四【分析】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及一次函數(shù)的圖像，由二次函數(shù)的定義得出即可得到答案．解：由于是關(guān)于的二次函數(shù)，且，，故一次函數(shù)的解析式為，故一次函數(shù)過一、二、三象限，故答案為：四．【考點(diǎn)二】二次函數(shù)???待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式【例2】（2023上·江西贛州·九年級統(tǒng)考期中）已知一拋物線與軸的交點(diǎn)是，，且經(jīng)過，求該拋物線的解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】，【分析】考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入解析式，求出的值即可，再將解析式化為頂點(diǎn)式即可得到答案．解：拋物線與軸的交點(diǎn)是，，設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，將點(diǎn)代入解析式，解得：，這個二次函數(shù)的解析式為，即，，這個函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【舉一反三】【變式1】（2023上·云南昆明·九年級云南省昆明市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是且經(jīng)過點(diǎn)，則該拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，即可求解．解：設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，得解得：∴解析式為，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·北京朝陽·九年級?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)在軸上，，將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)120度至的位置，則經(jīng)過、、三點(diǎn)的拋物線的解析式為．

【答案】【分析】如圖所示，過點(diǎn)B作軸于D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，則，再由，即可利用待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式．解：如圖所示，過點(diǎn)B作軸于D，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)拋物線解析式為，把代入得，∴，∴拋物線解析式為，故答案為：．

【點(diǎn)撥】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確求出點(diǎn)B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】二次函數(shù)???二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例3】（2023上·天津靜?！ぞ拍昙壭？茧A段練習(xí)）已知拋物線．（1）寫出這個二次函數(shù)圖象的開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸；（2）判斷點(diǎn)是否在此拋物線上；（3）求出此拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）開口方向向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線；（2）不在此拋物線上；（3）或【分析】（1）根據(jù)解析式是頂點(diǎn)式直接寫出開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸即可．（2）把點(diǎn)代入解析式，即可判斷；（3）把代入解析式，即可求解．（1）解：∵，∴，∴二次函數(shù)圖象的開口方向向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線．（2）解：把代入，得∴點(diǎn)不在此拋物線上；（3）解：把代入，得，解得：，，∴拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)的坐標(biāo)或．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，函數(shù)解析式與圖象上的點(diǎn)之間的關(guān)系：點(diǎn)在圖象上，則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)解析式；反之，不在函數(shù)圖象上則點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足函數(shù)解析式．【舉一反三】【變式1】（2023上·安徽宣城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線（）與軸交于、兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為、（其中），若，都有，下列說法一定正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)對于任意的，都有，可知：，且，，進(jìn)而可知：時，，或時，，或時，，逐一進(jìn)行判斷即可．根據(jù)對于任意的，都有，得到拋物線開口向下，且與軸的兩個交點(diǎn)都在負(fù)半軸上，是解決本題的關(guān)鍵．解：由對于任意的，都有，可知：，且，，∴時，；或時，；或時，，∵二次函數(shù)與x軸交于、兩點(diǎn)，∴二次函數(shù)的對稱軸為：；A、當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，選項(xiàng)不一定正確，不符合題意；B、當(dāng)時，∵，∴，選項(xiàng)錯誤，不符合題意；C、當(dāng)時，∵，∴，選項(xiàng)正確，不符合題意；D、當(dāng)時，∵，∴，選項(xiàng)錯誤，不符合題意．故選：C．【變式2】（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的點(diǎn)A在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，拋物線的頂點(diǎn)為E，且經(jīng)過點(diǎn)A、B．若為直角三角形，則．

【答案】/【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離，勾股定理，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先把拋物線化成頂點(diǎn)式，寫出E、A、B的坐標(biāo)，再分別求出，，的長度，再根據(jù)勾股定理列出方程求出答案即可．解：拋物線的頂點(diǎn)為E，且經(jīng)過點(diǎn)A、B，拋物線的對稱軸是直線，且A，B關(guān)于直線對稱，即，，，，，，為直角三角形，，即，解得：（負(fù)值舍去），故答案為：．【考點(diǎn)四】二次函數(shù)???二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系【例4】（2022上·安徽蚌埠·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知拋物線的圖象如圖所示．

（1）判斷、、及的符號；（2）求的值；（3）給出下列結(jié)論：①；②；③，其中正確的有．（填序號）【答案】（1），，，；（2）；（3）①③【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系求解，即可得到答案；（2）由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，，代入即可得到答案；（3）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及不等式的性質(zhì)求解，即可得到答案．（1）解：拋物線開口向上，，對稱軸在y軸右側(cè)，、異號，，拋物線與y軸負(fù)半軸相交，，當(dāng)時，，；（2）解：由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，，；（3）解：由（1）可知，，，，①結(jié)論正確；，，，，，，②結(jié)論錯誤；當(dāng)時，，當(dāng)時，，，，，③結(jié)論正確；故答案為：①③．【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2023上·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期中）拋物線圖象如圖所示，根據(jù)圖象，拋物線的解析式可能是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，正確根據(jù)所給二次函數(shù)圖象，確定出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的符號是解題的關(guān)鍵．解：設(shè)拋物線解析式為∵拋物線開口向上，∴，∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，∴，∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴，∴，∴四個選項(xiàng)中只有A選項(xiàng)中的解析式符合上述情況，故選A．【變式2】（2023上·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習(xí)）拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，其對稱軸在y軸右側(cè)，有下列結(jié)論：①拋物線經(jīng)過點(diǎn)；②開口向下；③方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；④．其中，正確結(jié)論為．【答案】②③④【分析】將點(diǎn)，代入解析式得到，，從而得到，結(jié)合對稱軸在y軸右側(cè)得到，，即可判斷②，當(dāng)時得到即可判斷①，根據(jù)最高點(diǎn)大于3，平移即可判斷③，根據(jù)及過點(diǎn)即可判斷④，解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，∴，，∴，∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴，，故②正確，當(dāng)時，故①錯誤，∵拋物線過，開口向下，∴拋物線最大值大于3，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確，當(dāng)時，，∵，∴，∵，∴，故④正確，故答案為：②③④；【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的大小，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱軸及所過點(diǎn)判斷出，．【考點(diǎn)五】二次函數(shù)???二次函數(shù)圖象的變換【例5】（2023上·江蘇南京·九年級統(tǒng)考期中）如圖是二次函數(shù)的大致圖象．

（1）求該圖象頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）該圖象經(jīng)過怎樣的平移可以得到函數(shù)的圖象？（3）將該圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，直接寫出所得圖象對應(yīng)的表達(dá)式．【答案】（1）；（2）先向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度；（3）【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，圖象的平移，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)式的計(jì)算方法，圖形平移的規(guī)律，二次函數(shù)圖象繞等知識是解題的關(guān)鍵．（1）運(yùn)用配方法將二次函數(shù)一般式變?yōu)轫旤c(diǎn)式即可求解；（2）運(yùn)用函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減（橫軸），上加下減（縱軸）”即可求解；（3）二次函數(shù)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則開口相反，頂點(diǎn)坐標(biāo)變?yōu)樵瓉碜鴺?biāo)的相反數(shù)，由此即可求解．（1）解：∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)是．（2）解：∵，∴先向左平移1個單位長度得到，再向上平移4個單位長度得到，∴向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度．（3）解：∵，即，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴該圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，則，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴旋轉(zhuǎn)后所得圖象對應(yīng)的表達(dá)式為．【舉一反三】【變式1】（2023上·河南安陽·九年級?？茧A段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再向下平移個單位，所得圖象的解析式為，則，的值為（

）．A．B． C． D．【答案】C【分析】由題意易得新拋物線的頂點(diǎn)，根據(jù)平移轉(zhuǎn)換可得原拋物線頂點(diǎn)，根據(jù)頂點(diǎn)式及平移前后二次項(xiàng)的系數(shù)不變可得原拋物線的解析式，展開即可得到，的值．解：由題意可得新拋物線的頂點(diǎn)為，∴原拋物線的頂點(diǎn)為，設(shè)原拋物線的解析式為,代入得：，∴，∴，故選：．【點(diǎn)撥】此題考查了函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線平移不改變二次項(xiàng)的系數(shù)的值，兩個二次函數(shù)的圖象的平移問題，只需看頂點(diǎn)坐標(biāo)是如何平移得到的即可．【變式2】（2023上·安徽蕪湖·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為P，連接，．

（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為．（2）若點(diǎn)M在PC的垂直平分線上，且在第一象限內(nèi)，當(dāng)是等腰直角三角形時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【答案】【分析】（1）由題意可得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可進(jìn)行求解；（2）設(shè)拋物線的對稱軸與，x軸分別交于點(diǎn)E，D，由題意易得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1，然后可證，進(jìn)而問題可求解．解：（1）∵拋物線的函數(shù)解析式為，令，解得，；令，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為．∵拋物線的對稱軸為直線，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故答案為；（2）∵的垂直平分線為拋物線的對稱軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1．如圖，設(shè)拋物線的對稱軸與，x軸分別交于點(diǎn)E，D，

∴．當(dāng)是等腰直角三角形時，且只有以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)時，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)六】二次函數(shù)???二次函數(shù)與一元二次方程【例6】（2023上·安徽滁州·九年級統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)．（1）求證：無論k取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)圖象與軸總有交點(diǎn)；（2）若圖象與軸僅有一個交點(diǎn)，當(dāng)時，求y的取值范圍．【答案】（1）見分析；（2）y的取值范圍為【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，判別式，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)：（1）令，則，說明此方程的即可；（2）利用該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，得到，解關(guān)于k的方程求得k值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．解：（1）證明：因?yàn)閯t，∴無論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根，即無論k取任何實(shí)數(shù)，該函數(shù)的圖象與x軸總有交點(diǎn)；（2）解：∵該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點(diǎn)，∴．解：，∴∴該二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，∴當(dāng)，函數(shù)取得最小值0；因?yàn)殡x對稱軸為遠(yuǎn)，離對稱軸為近，所以當(dāng)時，則，即函數(shù)取得最大值9，∴y的取值范圍為．【舉一反三】【變式1】（2023上·湖北武漢·九年級統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)和，則的值等于（

）A．0 B． C．2023 D．【答案】A【分析】本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，由二次函數(shù)圖象過兩點(diǎn)和，得到a，b是方程的兩根，根據(jù)方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系得到，，即可求出答案．解：∵二次函數(shù)的圖象上有兩點(diǎn)和，∴a，b是方程的兩根，∴，∴，∴，故選：A．【變式2】（安徽省蚌埠G5教研聯(lián)盟20232024學(xué)年九年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若關(guān)于的函數(shù)的圖象與x軸只有1個交點(diǎn)，則k的值是．【答案】0【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與x軸只有一個交點(diǎn)，則對應(yīng)的一元二次方程只有一個實(shí)數(shù)根，據(jù)此利用一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可．解：∵關(guān)于的函數(shù)的圖象與x軸只有1個交點(diǎn)，∴關(guān)于的方程只有一個實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答案為：．【考點(diǎn)七】二次函數(shù)???二次函數(shù)與不等式【例7】（2023上·廣東江門·九年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)B．

（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）的解集是________；（3）若點(diǎn)M為拋物線上一動點(diǎn)，連接MA、MB，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到某一位置時，△ABM面積為△ABC的面積的倍，求此時點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】（1）；；（2）；（3）或或或．【分析】（1）先根據(jù)已知條件確定A點(diǎn)、C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再代入拋物線即可求解即可；然后令即可確定點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)和函數(shù)圖像即可解答；（3）先設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個三角形的面積關(guān)系列方程即可解答即可求解．（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，∴，∵拋物線經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，∴，解得，∴拋物線解析式為．當(dāng)時，．解得．所以B點(diǎn)坐標(biāo)為．答：拋物線解析式為；B點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解：觀察圖象可知：的解集是．故答案為．（3）解：設(shè)，∵．∴，∴．∴或，∴或．∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或．答：此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)撥】本題主要考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)等知識點(diǎn)，綜合運(yùn)用相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】（2021上·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，把整理得，由拋物線與直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)確定直線在拋物線上方時x的取值范圍．解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，通過圖象求解．解：依題意，因?yàn)樗砸驗(yàn)閽佄锞€與直線交于，兩點(diǎn)，結(jié)合圖象性質(zhì)：所以的解集為即不等式的解集為，故選：C【變式2】（2023上·廣東汕頭·九年級?？计谥校┒魏瘮?shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為

【答案】【分析】根據(jù)拋物線開口方向及拋物線與軸交點(diǎn)坐標(biāo)求解即可．本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系．解：，對稱軸為：拋物線開口方向向下當(dāng)時，故答案為：．【考點(diǎn)八】二次函數(shù)???實(shí)際問題與二次函數(shù)【例8】（2023上·安徽宣城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）剛剛結(jié)束的“杭州第19屆亞運(yùn)會”是中國第三次舉辦亞洲最高規(guī)格的國際綜合性體育賽事，賽場上本屆亞運(yùn)會吉祥物組合“江南憶”格外引人注目．據(jù)悉吉祥物以機(jī)器人作為整體造型，同時融合了很多杭州元素，深受消費(fèi)者喜歡．某商家抓住商機(jī)購進(jìn)了A、B兩種類型的吉祥物紀(jì)念品，已知每套A型紀(jì)念品比每套B型紀(jì)念品的進(jìn)價多20元，1套A型紀(jì)念品與2套B型紀(jì)念品進(jìn)價共計(jì)200元．（1）求A、B兩種類型的吉祥物紀(jì)念品的進(jìn)價；（2）該商家準(zhǔn)備購進(jìn)A型紀(jì)念品a件，均按每套b元的價格全部售出，且a與b之間滿足一次函數(shù)，物價局規(guī)定紀(jì)念品利潤不能高于成本的50%，求b的值為多少時，A型紀(jì)念品的銷售利潤最大？最大利潤是多少？【答案】（1）A、B兩種紀(jì)念品的進(jìn)價分別為80元、60元；（2）當(dāng)b為120元時，A型紀(jì)念品的銷售總利潤最大，最大利潤為1200元【分析】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A、B兩種紀(jì)念品的進(jìn)價分別為x元、y元，根據(jù)“每套A型紀(jì)念品比每套B型紀(jì)念品的進(jìn)價多20元，1套A型紀(jì)念品與2套B型紀(jì)念品進(jìn)價共計(jì)200元”再建立方程組解題即可；（2）設(shè)A型紀(jì)念品的銷售總利潤為元，由每件利潤乘以銷售數(shù)量，再建立二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．（1）解：設(shè)A、B兩種紀(jì)念品的進(jìn)價分別為x元、y元，由題意得，解得，答：A、B兩種紀(jì)念品的進(jìn)價分別為80元、60元．（2）設(shè)A型紀(jì)念品的銷售總利潤為元，A型紀(jì)念品的最高售價為：（元），∴b的取值范圍為．，∵在范圍內(nèi)，w隨b的增大而增大，∴當(dāng)元時，元．答：當(dāng)b為120元時，A型紀(jì)念品的銷售總利潤最大，最大利潤為1200元．【舉一反三】【變式1】（2023上·福建福州·九年級統(tǒng)考期中）小明周末外出游玩時看到某公園有一圓形噴水池，如圖1，簡單測量得到如下數(shù)據(jù)：圓形噴水池直徑為，水池中心處立著一個圓柱形實(shí)心石柱，在圓形噴水池的四周安裝了一圈噴頭，噴射出的水柱呈拋物線型，水柱在距水池中心處到達(dá)最大高度為，從各方向噴出的水柱在石柱頂部的中心點(diǎn)處匯合，小明根據(jù)圖示建立了平面直角坐標(biāo)系，如圖2，則的高度是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】該題主要考查了二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中的噴泉問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到點(diǎn)的坐標(biāo)；設(shè)解析式為由題意得到頂點(diǎn)坐標(biāo)及與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入求解即可得到拋物線解析式；令，代入求解即可得到答案；解：選擇圖2中第一象限內(nèi)的拋物線求其對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，由題意，得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為6，將點(diǎn)代入，得，解得，∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時，，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為；則的高度是，故選：B．【變式2】（2023上·浙江溫州·九年級校聯(lián)考期中）某超市購進(jìn)一批單價為7元的生活用品，如果按每件10元出售，那么每天可銷售20件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種生活用品的銷售單價每提高1元，其銷售量相應(yīng)減少4件，那么將銷售價定為元時，才能使每天所獲銷售利潤最大．【答案】11【分析】根據(jù)題意列出二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：設(shè)銷售單價定為x元，每天所獲利潤為y元，則，所以將銷售定價定為11元時，才能使每天所獲銷售利潤最大．故答案為：11．【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．【考點(diǎn)防】二次函數(shù)???二次函數(shù)綜合問題【例9】（2023上·湖北十堰·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，拋物線交x軸于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，（1）求拋物線的解析式；（2）若，求拋物線向左平移多少個單位時，與直線只有一個公共點(diǎn)？（3）是軸上的一個動點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由？【答案】（1）；（2）；（3）或或或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）設(shè)的橫坐標(biāo)分別為，則，進(jìn)而求得，設(shè)平移后的解析式為，與直線只有一個交點(diǎn)，聯(lián)立方程，令，求得，即可求解；（3）根據(jù)題意，求得，，則，設(shè)，，當(dāng)為對角線，則，當(dāng)為邊時，則，解方程，即可求解，．（1）解：