專題01集合及其基本關(guān)系（6個(gè)考點(diǎn)梳理10個(gè)題型解讀提升訓(xùn)練）（原卷版）

專題01集合及其基本關(guān)系【清單01】集合與元素1.含義：一般地，我們把所研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合.2.元素與集合的關(guān)系關(guān)系概念記法讀法屬于如果a是集合A中的元素，就說(shuō)a屬于集合Aa∈Aa屬于集合A不屬于如果a不是集合A中的元素，就說(shuō)a不屬于集合Aa?Aa不屬于集合A【清單02】集合中元素的特點(diǎn)(1)確定性：指的是作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的，即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于或不屬于這個(gè)集合是確定的，要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一．(2)互異性：集合中的元素必須是互異的，就是說(shuō)，對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任何兩個(gè)元素都是不同的．(3)無(wú)序性：集合中的元素可以任意排列．如果兩個(gè)集合A，B,組成它們的元素完全相同，成這兩個(gè)集合相等，記作A=B.【清單03】集合的分類含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，含有無(wú)限個(gè)元素的集合稱為無(wú)限集.空集：不含任何元素的集合.【特別提醒】空集可以看成包含0個(gè)元素的集合，所以空集是有限集！【清單04】幾種特殊數(shù)集N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示自然數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集．【清單05】集合的表示方法1.自然語(yǔ)言表示法：用文字語(yǔ)言形式來(lái)表示集合的方法．例如：小于3的實(shí)數(shù)組成的集合．2.列舉法：把集合的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的方法叫做列舉法．3.描述法：設(shè)A是一個(gè)集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示成.這種表示集合的方法稱為描述法.4.區(qū)間表示法：（1）一般區(qū)間的表示．設(shè)a，b∈R，且a<b，規(guī)定如下：定義名稱符號(hào)數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間__[a，b]__{x|a＜x＜b}開(kāi)區(qū)間__(a，b)__{x|a≤x＜b}半開(kāi)半閉區(qū)間[a，b){x|a＜x≤b}半開(kāi)半閉區(qū)間(a，b]（2）特殊區(qū)間的表示.定義R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符號(hào)(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)【特別提醒】①關(guān)注實(shí)心點(diǎn)、空心圈：用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心圈表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)．②區(qū)分開(kāi)和閉：在用區(qū)間表示集合時(shí)，開(kāi)和閉不能混淆．③正確理解“∞”：“∞”是一個(gè)趨向符號(hào)，不是一個(gè)數(shù)，它表示數(shù)的變化趨勢(shì)．以“－∞”和“＋∞”為區(qū)間的一端時(shí)，這一端點(diǎn)必須用小括號(hào)．=4\*GB3④區(qū)間的端點(diǎn)a,b，ba稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.【清單06】子集、真子集1.子集：若對(duì)任意x∈A，都有x∈B，則A?B或B?A.讀作A包含于B或B包含A.2.如果A不是B的子集，記作A?B或B?A.讀作A不包含于B或B不包含A.3.任意集合A都是它自身的子集，Φ?A.4.規(guī)定：空集是任何集合A的子集．A?A5.真子集：若A?B，且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于集合A，則中A稱作集合B的真子集，記作AB或BA.讀作A真包含于B或B真包含A.6.維恩圖：用平面上一條封閉曲線的內(nèi)部表示集合，表示集合關(guān)系的示意圖稱作維恩圖.7.集合間關(guān)系的“傳遞性”：對(duì)于集合A，B，C，①若A?B，且B?C，則A?C；②若AB，BC，則AC．8.集合的相等與子集的關(guān)系：（1）若A?B，且B?A，則A=B；（2）若A=B，則A?B，且B?A；9.集合的子集、真子集個(gè)數(shù)：若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè)，非空真子集有2n－2個(gè)．【考點(diǎn)題型一】集合的概念【例1】（2425高一上·河北廊坊·開(kāi)學(xué)考試）下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的是（

）A．2023年參加“兩會(huì)”的代表B．北京冬奧會(huì)上受歡迎的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目C．的近似值D．我校跑步速度快的學(xué)生【變式11】（2425高一上·湖南岳陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生 B．2020年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù) D．小于的正整數(shù)【變式12】（2223高一上·新疆烏魯木齊·期中）下列說(shuō)法正確的是（

）A．0與的意義相同B．某市文明市民可以組成一個(gè)集合C．集合是無(wú)限集D．方程的解集有二個(gè)元素【變式13】（多選）（2324高一上·陜西漢中·期中）下列說(shuō)法中不正確的是（）A．0與表示同一個(gè)集合；B．集合與是兩個(gè)相同的集合；C．方程的所有解組成的集合可表示為；D．集合可以用列舉法表示．【變式14】（多選）（2324高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）下列幾組對(duì)象可以組成集合的有（

）A．高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)課本中所有的難題B．2023年參加杭州亞運(yùn)會(huì)的全體運(yùn)動(dòng)員C．小于9的所有素?cái)?shù)D．高一年級(jí)視力比較好的同學(xué)【考點(diǎn)題型二】元素和集合的關(guān)系【例2】（多選）（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）集合A中含有三個(gè)元素2，4，6，若，且，那么為（

）A．2 B．－2C．4 D．0【變式21】（2425高一下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）已知集合，則必有（

）A． B．C． D．【變式22】（2324高一上·福建莆田·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的有（

）①；②；③；④；⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式23】（多選）（2022秋·江西南昌·高一統(tǒng)考期中）已知集合，則下列選項(xiàng)中正確的是（

）A． B．C． D．【變式24】（多選）（2425高一上·全國(guó)·課堂例題）已知不超過(guò)5的實(shí)數(shù)組成的集合為M，，則（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型三】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)【例3】（2324高一上·河北邯鄲·階段練習(xí)）已知，，求實(shí)數(shù)的值.【變式31】（2425高三上·四川瀘州·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合，，且，則集合（

）A． B． C． D．【變式32】（2324高一上·江蘇南通·開(kāi)學(xué)考試）設(shè)集合，若，則的值的集合為.【變式33】（2324高一下·全國(guó)·課堂例題）若集合A由三個(gè)元素組成，且，則.【變式34】（2324高一上·福建莆田·階段練習(xí)）已知集合.(1)若是空集，求的取值范圍；(2)若中只有一個(gè)元素，求的值，并把這個(gè)元素寫(xiě)出來(lái);(3)若中至多只有一個(gè)元素，求的取值范圍;【考點(diǎn)題型四】根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)【例4】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)是非空實(shí)數(shù)集，滿足若，則，且.(1)若，則中至少還有幾個(gè)元素？求出這幾個(gè)元素；(2)集合是否可能只含有一個(gè)元素？如果能，請(qǐng)舉出實(shí)例；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式41】（2024·四川樂(lè)山·三模）已知集合，則集合A的元素個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．8 C．6 D．5【變式42】（2324高一上·山東臨沂·期中）已知集合有三個(gè)元素.若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．1 C．或1 D．0或1【變式43】（2324高一上·上?！て谥校┤舴强占喜皇菃卧丶?，則其中所有元素之和.【變式44】（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知集合(1)若，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若集合A中的元素至少有一個(gè)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【考點(diǎn)題型五】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯稀纠?】（2526高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）選擇適當(dāng)方法表示下列集合：(1)由小于8的所有自然數(shù)組成的集合A；(2)自然數(shù)的平方組成的集合B；(3)方程組的解組成的集合C；(4)二次函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合D．【變式51】（2425高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）對(duì)集合用描述法來(lái)表示，其中正確的是（

）A． B．C． D．【變式52】（2425高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）集合用列舉法表示為（

）A． B． C． D．【變式53】（多選）（2526高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）若滿足不等式且的實(shí)數(shù)組成的集合，則集合為（

）A． B． C． D．【變式54】（2324高一下·全國(guó)·課堂例題）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程的所有解組成的集合A；(2)平面直角坐標(biāo)系中，第一象限內(nèi)所有點(diǎn)組成的集合B；(3)一年中有31天的月份的全體；(4)所有能被3整除的數(shù)的集合；(5)不等式的解集.【考點(diǎn)題型六】集合間關(guān)系的判定【例6】（多選）（2324高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題中，正確的有（

）A．集合的所有真子集為B．若（其中），則C．是菱形是平行四邊形D．【變式61】（2425高三上·河北唐山·階段練習(xí)）已知集合，則下列表述正確的是（

）A． B． C． D．【變式62】（2324高二下·福建泉州·階段練習(xí)）有下列關(guān)系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正確的是（

）A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤⑥【變式63】（2425高三上·山西晉中·階段練習(xí)）下列關(guān)系中：①，②，③，④正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式64】（2324高一上·湖北十堰·期末）集合，，的關(guān)系是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)題型七】子集、真子集（個(gè)數(shù)）的確定【例7】（2324高一下·全國(guó)·課堂例題）（1）寫(xiě)出集合的子集和真子集．（2）寫(xiě)出集合的所有子集和真子集．（3）寫(xiě)出集合的所有子集和真子集．【變式71】（2425高一上·河南駐馬店·開(kāi)學(xué)考試）已知集合A滿足，，則滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．4個(gè) D．8個(gè)【變式72】（2425高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知集合，且中至少含有一個(gè)奇數(shù)，這樣的集合有個(gè)．【變式73】（2024·廣西南寧·三模）集合子集的個(gè)數(shù)是．【變式74】（2324高一上·山東濟(jì)寧·期中）已知集合，若，請(qǐng)寫(xiě)出集合A的所有子集．【考點(diǎn)題型八】根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)（范圍）【例8】（2425高一上·甘肅·開(kāi)學(xué)考試）已知集合，．(1)求A；(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【變式81】（2324高二下·河北承德·期末）已知集合，且，則（

）A．8或20 B．8或20 C．或20 D．或【變式82】（2324高二下·貴州黔南·期末）已知集合，若，則a的取值范圍為．【變式83】（2324高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知集合的所有非空真子集的元素之和為2023，則.【變式84】（2324高一下·上海楊浦·期中）已知集合，集合.(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍(2)若，求實(shí)數(shù)的值【考點(diǎn)題型九】根據(jù)集合的相等求參數(shù)【例9】（2425高三上·湖南常德·階段練習(xí)）若集合，則．【變式91】（多選）（2425高一上·廣西·開(kāi)學(xué)考試）已知集合，若，則的值可能是（

）A．4 B．2 C．0 D．2【變式92】（2223高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）已知集合，則．【變式93】（2011高一上·江蘇淮安·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)，若，則【變式94】（2324高一上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)，若，求的值.【考點(diǎn)題型十】根據(jù)子集（真子集）個(gè)數(shù)求參數(shù)【例10】（2425高一上·福建漳州·開(kāi)學(xué)考試）已知集合有且僅有兩個(gè)子集，求滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合．【變式101】（2324高