重慶市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考試題數(shù)學(xué)

重慶市名校聯(lián)盟20232024學(xué)年度第二期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（高2026屆）【命題學(xué)校：豐都中學(xué)命題人：唐模斌、付陳璐審題人：孫小棟】（本試卷共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)及科類名稱.2．請(qǐng)將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在右側(cè)的[考生條形碼粘貼處]的方框內(nèi).3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫，字體工整、筆跡清楚.4．請(qǐng)按題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.5．保持答題卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.2.已知向量，若向量與向量平行，則的值為（）A. B.0 C. D.3.用斜二測(cè)畫法作一個(gè)邊長為6的正方形，則其直觀圖的面積為（）A.36 B. C. D.4.若，，且，則向量的夾角為（）A. B. C. D.5.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A. B. C. D.6.中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺(tái)，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.7.如圖，在中，，若，則的值為（）.A. B.3 C.2 D.8.已知中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.27 B.0 C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法不正確的是（）A.若直線面，直線面，則直線，直線b無公共點(diǎn)B.若直線面，則直線l與面內(nèi)直線平行或異面C.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形幾何體是棱柱D.有兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形幾何體是棱臺(tái)10.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列敘述正確的是（）A.，，，有兩解B.若，則為等腰三角形C.若銳角三角形，則D.若，則為鈍角三角形11.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）A.若，則M為的重心B.若M為的內(nèi)心，則C.若，，M為的外心，則D.若M為的垂心，，則第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)是_____________．13.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．若，，則△ABC的面積為_____________．14.在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為______．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長為的正方體中，截去三棱錐，求（1）截去的三棱錐的表面積；（2）剩余的幾何體的體積.16.已知向量，．（1）求的坐標(biāo)以及與之間的夾角；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．17.某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點(diǎn)，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域（陰影部分）上兩點(diǎn)之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內(nèi)距離點(diǎn)米的點(diǎn)處建一涼亭，距離點(diǎn)米的點(diǎn)處再建一涼亭，測(cè)得，．（1）求的值；（2）測(cè)得，觀光通道每米的造價(jià)為2000元，若景區(qū)準(zhǔn)備預(yù)算資金8萬元建觀光通道，問：預(yù)算資金夠用嗎？18.定義在封閉的平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域D的“直徑”．如圖，已知銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在半徑為1的圓上，角的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）求角A的大??；（2）分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，這三個(gè)半圓和構(gòu)成平面區(qū)域D，求平面區(qū)域D的“直徑”的取值范圍．19.如圖，在中，為鈍角，，，．過點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，為延長線上一點(diǎn)，連接，若．（1）求邊的長；（2）證明：；（3）設(shè)，，是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．重慶市名校聯(lián)盟20232024學(xué)年度第二期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（高2026屆）【命題學(xué)校：豐都中學(xué)命題人：唐模斌、付陳璐審題人：孫小棟】（本試卷共4頁，總分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)及科類名稱.2．請(qǐng)將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在右側(cè)的[考生條形碼粘貼處]的方框內(nèi).3．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫，字體工整、筆跡清楚.4．請(qǐng)按題號(hào)順序在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試題卷上答題無效.5．保持答題卡面清潔，不要折疊、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、刮紙刀.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】.故選：C2.已知向量，若向量與向量平行，則值為（）A. B.0 C. D.【答案】A【解析】【分析】由題可得,由與向量平行,可得,進(jìn)而求解即可.【詳解】∵向量,∴,，又向量與向量平行,∴,，解得.故選：A.3.用斜二測(cè)畫法作一個(gè)邊長為6的正方形，則其直觀圖的面積為（）A.36 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用斜二測(cè)畫法所得直觀圖與原圖形面積關(guān)系求得答案.【詳解】在斜二測(cè)畫法中，直觀圖面積是原圖形面積的，而邊長為6的正方形面積為，所以所求的直觀圖的面積為.故選：C4.若，，且，則向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直則數(shù)量積為零，求得，再根據(jù)夾角公式求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，由于向量，，且，，，故，又向量夾角范圍為，故可知向量的夾角為.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的轉(zhuǎn)化，以及由數(shù)量積求向量的夾角，屬綜合基礎(chǔ)題.5.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，則cosB=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合余弦定理求得，再根據(jù)，即可求得答案.【詳解】在中，，，根據(jù)余弦定理：可得，即由故.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.中國國家館，以城市發(fā)展中的中華智慧為主題，表現(xiàn)出了“東方之冠，鼎盛中華，天下糧倉，富庶百姓”的中國文化精神與氣質(zhì).如圖，現(xiàn)有一個(gè)與中國國家館結(jié)構(gòu)類似的正四棱臺(tái)，上下底面的中心分別為和，若，，則正四棱臺(tái)的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)性質(zhì)求出側(cè)棱長，繼而求得高，根據(jù)棱臺(tái)的體積公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槭钦睦馀_(tái)，，，側(cè)面以及對(duì)角面為等腰梯形，故，，，所以，所以該四棱臺(tái)的體積為，故選：B.7.如圖，在中，，若，則的值為（）.A. B.3 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】把作為基底，利用向量的加減法和平面向量基本定理結(jié)合已知把用表示出來，即可得答案【詳解】解：因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，故選：B8.已知中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.27 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圖形特點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，由題設(shè)數(shù)量關(guān)系得出A，B，C的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值即可.【詳解】解：以所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意可知，，，，設(shè)，其中，則，，故，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法不正確的是（）A.若直線面，直線面，則直線，直線b無公共點(diǎn)B.若直線面，則直線l與面內(nèi)的直線平行或異面C.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱D.有兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的幾何體是棱臺(tái)【答案】ACD【解析】【分析】作出圖形可判斷A；與平面沒有公共點(diǎn)，可判斷B；作出圖形可判斷C；由棱臺(tái)的側(cè)棱交于一點(diǎn)的幾何特征，可判斷D.【詳解】對(duì)于A：如圖，，，與可能相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：直線，所以與平面沒有公共點(diǎn)，所以與平面內(nèi)的直線平行或異面，故B正確；對(duì)于C：有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱，如圖所示，符合題意，但幾何體不是棱柱，故C錯(cuò)誤；一個(gè)平行于棱錐的底面的平面截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺(tái)，所以棱臺(tái)各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，其余各面都是梯形的幾何體側(cè)棱可能不交于一點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.10.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，下列敘述正確的是（）A.，，，有兩解B.若，則為等腰三角形C.若為銳角三角形，則D.若，則為鈍角三角形【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)大邊對(duì)大角，結(jié)合角A即可判斷A；利用正弦定理邊化角，在由二倍角公式化簡(jiǎn)可得或，可判斷B；由為銳角三角形可得，然后由正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式可判斷C；由正弦定理可得三邊比值，然后由余弦定理求解即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，又，所以，不滿足內(nèi)角和定理，所以滿足條件的三角形不存在，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因，所以，所以，即，因?yàn)榍遥曰?，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若為銳角三角形，則，所以，所以，即，C正確；對(duì)于D，若，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，即為鈍角，D正確.故選：CD11.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（）A.若，則M為的重心B.若M為的內(nèi)心，則C.若，，M為的外心，則D.若M為的垂心，，則【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，，作出輔助線，得到，，三點(diǎn)共線，同理可得為的重心；B選項(xiàng)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項(xiàng)，設(shè)外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個(gè)三角形的面積，得到比值；D選項(xiàng)，得到，作出輔助線，由面積關(guān)系得到線段比，設(shè)，，，表示出，，，結(jié)合三角函數(shù)得到，，進(jìn)而求出余弦值；【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，取的中點(diǎn)，則，所以，故，，三點(diǎn)共線，且，同理，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，所以為的重心，A正確；對(duì)B選項(xiàng)，若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；對(duì)C選項(xiàng)，若，，為的外心，則，設(shè)的外接圓半徑為，故，，，故，，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)D選項(xiàng)，若為的垂心，，則，如圖，，，，相交于點(diǎn)，又，，即，，即，，即，設(shè)，，，則，，，因?yàn)?，，所以，即，，則，D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查向量與四心關(guān)系應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角形的幾何關(guān)系及向量數(shù)量積及向量線性表示逐項(xiàng)判斷.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.復(fù)數(shù)與分別表示向量與，則向量表示的復(fù)數(shù)是_____________．【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得出向量與的坐標(biāo)，再由向量的運(yùn)算得出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出其復(fù)數(shù).【詳解】∵復(fù)數(shù)與分別表示向量與，∴，，又，∴向量表示的復(fù)數(shù)是.故答案為：.13.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，．若，，則△ABC的面積為_____________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理角化邊，結(jié)合余弦定理可得，由平方關(guān)系求出，然后由三角形面積公式可得.【詳解】由正弦定理角化邊得，即，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，所?故答案：.14.在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】【分析】由余弦定理可求得，可判斷和均為直角三角形，取中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可判斷為三棱錐外接球的球心，其半徑為，從而求得三棱錐外接球的表面積.【詳解】由，，，中，由余弦定理可得,所以，則，在中，由余弦定理可得，所以，則，取中點(diǎn)，則在和中，，則三棱錐外接球的球心為，其半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為，故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在棱長為的正方體中，截去三棱錐，求（1）截去的三棱錐的表面積；（2）剩余的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）三棱錐中是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，計(jì)算四個(gè)三角形面積之和即可求解.（2）正方體的體積減去三棱錐的體積即得剩余的幾何體的體積.【詳解】（1）由正方體的特點(diǎn)可知三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，所以截去的三棱錐的表面積（2）正方體的體積為，三棱錐的體積為，所以剩余的幾何體的體積為.16.已知向量，．（1）求的坐標(biāo)以及與之間的夾角；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）本題首先可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出，然后根據(jù)即可得出結(jié)果；（2）本題可通過對(duì)進(jìn)行平方即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，設(shè)與之間的夾角為，則，因?yàn)?，所以與之間的夾角為.（2），因?yàn)?，所以，故的取值范圍?17.某景區(qū)為打造景區(qū)風(fēng)景亮點(diǎn)，欲在一不規(guī)則湖面區(qū)域（陰影部分）上兩點(diǎn)之間建一條觀光通道，如圖所示．在湖面所在的平面（不考慮湖面離地平面的距離，視湖面與地平面為同一平面）內(nèi)距離點(diǎn)米的點(diǎn)處建一涼亭，距離點(diǎn)米的點(diǎn)處再建一涼亭，測(cè)得，．（1）求的值；（2）測(cè)得，觀光通道每米的造價(jià)為2000元，若景區(qū)準(zhǔn)備預(yù)算資金8萬元建觀光通道，問：預(yù)算資金夠用嗎？【答案】（1）（2）預(yù)算資金夠用【解析】【分析】（1）在中，利用正弦定理，由求解；（2）在中，利用余弦定理求得CD，在中，由，，求得AC，然后在中，利用余弦定理求得AB即可.【小問1詳解】解：由，得，則，在中，由正弦定理得，即，所以．【小問2詳解】在中，由余弦定理得，整理得，解得（舍去）．在中，，所以，又，解得．在中，，所以．由于觀光通道每米的造價(jià)為2000元，所以總造價(jià)低于元，故預(yù)算資金夠用．18.定義在封閉的平面區(qū)域D內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域D的“直徑”．如圖，已知銳角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在半徑為1的圓上，角的對(duì)邊分別為a，b，c，若．（1）求角A的大??；（2）分別以各邊為直徑向外作三個(gè)半圓，