浙江省天域全國名校協(xié)作體高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題

20232024學(xué)年第二學(xué)期天域全國名校協(xié)作體聯(lián)考高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題命題學(xué)校：青島二中、合肥168中學(xué)、江蘇省天一中學(xué)審題學(xué)校：青島二中、合肥168中學(xué)、江蘇省天一中學(xué)考生須知：1.本卷共5頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則滿足集合的個數(shù)為（）A.4 B.6 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)包含關(guān)系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.【詳解】因?yàn)椋钥梢允?，?個，故選：D2.拋物線的焦準(zhǔn)距是（）A B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程求出即可得解.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以，，即焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為，故選：A3.在正三棱臺中，已知，，側(cè)棱的長為2，則此正三棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先計(jì)算出三棱臺的上下底面的面積，再根據(jù)底面邊長與側(cè)棱長求解三棱臺的高，進(jìn)而計(jì)算出三棱臺的體積．【詳解】正三棱臺中，已知，，所以的面積為，的面積為，設(shè)，分別是，的中心，設(shè)，分別是，的中點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，，，三點(diǎn)共線，，，，，，過作，垂足為，則，，三棱臺的高為，三棱臺的體積為．故選：C．4.展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，得出常數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，即可得常數(shù)項(xiàng)．【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng).故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)余弦兩角和公式將展開成角與的兩角和形式與與的兩角和形式，建立等式關(guān)系結(jié)合已知等式即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，又，所以，因?yàn)?，則故選：B.6.為了解某中學(xué)學(xué)生假期中每天自主學(xué)習(xí)的時間，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，現(xiàn)抽取高一學(xué)生40人，其每天學(xué)習(xí)時間均值為8小時，方差為0.5，抽取高二學(xué)生60人，其每天學(xué)習(xí)時間均值為9小時，方差為0.8，抽取高三學(xué)生100人，其每天學(xué)習(xí)時間均值為10小時，方差為1，則估計(jì)該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的方差為（）A.1.4 B.1.45 C.1.5 D.1.55【答案】B【解析】【分析】利用分層隨機(jī)抽樣的均值與方差公式即可解決.【詳解】由題意可得，該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的均值為，該校學(xué)生每天學(xué)習(xí)時間的方差為.故選：B7.已知函數(shù)滿足對任意的且都有，若，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)將，再用裂項(xiàng)相消法求的值.【詳解】∵函數(shù)滿足對任意的且都有∴令，則，∴∴.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查數(shù)列的求和問題，關(guān)鍵是理解數(shù)列的規(guī)律，即研究透通項(xiàng)，本題的關(guān)鍵是將通項(xiàng)分析為：8.古人把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)、正矢函數(shù)、余矢函數(shù)這八種三角函數(shù)的函數(shù)線合稱為八線.其中余切函數(shù)，正割函數(shù)，余割函數(shù)，正矢函數(shù)，余矢函數(shù).如圖角始邊為軸的非負(fù)半軸，其終邊與單位圓交點(diǎn)，、分別是單位圓與軸和軸正半軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直軸，作垂直軸，垂足分別為、，過點(diǎn)作軸的垂線，過點(diǎn)作軸的垂線分別交的終邊于、，其中、、、為有向線段，下列表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用單位圓以及三角函數(shù)的定義可知，，，然后結(jié)合新定義簡單計(jì)算可判斷各個選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，易得，對于A，因?yàn)椋?，故A錯誤；對于B，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，根據(jù)三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比可得，故D錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題屬于新定義題，解題關(guān)鍵是讀懂題意，根據(jù)新定義，利用三角函數(shù)定義結(jié)合相似三角形相似比求解，注意有向線段.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.正方體中，，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面B.平面C.異面直線與所成角為60°D.平面截正方體所得截面為等腰梯形【答案】ACD【解析】【分析】于A，連接，利用三角形中位線證得，結(jié)合線面平行判定定理即可判斷A；對于B，取中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體棱長為，根據(jù)線段長度結(jié)合勾股定理判斷與是否垂直，即判斷與是否垂直，從而可判斷B；對于C，連接，根據(jù)正方體的面對角線性質(zhì)，即可得異面直線與所成角的大小，從而判斷C；對于D，連接，確定截面完整圖形為四邊形，再計(jì)算其四邊長度與位置關(guān)系，即可判斷D.【詳解】對于A，如圖，連接，因?yàn)?，分別為棱和的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，如圖，取中點(diǎn)，連接，在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又分別為，中點(diǎn)，則，故，設(shè)正方體棱長為，則，故，所以不垂直于，故不垂直于，又平面，所以不垂直平面，故B錯誤；對于C，如圖，連接，在正方體中，，即為正三角形，又因?yàn)?，分別為棱和的中點(diǎn)，所以，故異面直線與所成角即為，故C正確；對于D，如圖，連接，在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，則，又，所以，所以四點(diǎn)共面，故平面截正方體所得截面為四邊形，設(shè)正方體棱長為，則，所以，又，故截面為四邊形為等腰梯形，故D正確.故選：ACD.10.已知正實(shí)數(shù)，，，且，，，為自然數(shù)，則滿足恒成立的，，可以是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用得到，進(jìn)而得到只需即可，再依次判斷四個選項(xiàng)即可.【詳解】要滿足，只需滿足，其中正實(shí)數(shù)，，，且，，，為正數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，觀察各選項(xiàng)，故只需，故只需即可，A選項(xiàng)，，，時，，A錯誤；B選項(xiàng)，，，時，，B正確；C選項(xiàng)，，，時，，C正確；D選項(xiàng)，，，時，，D錯誤.故選：BC.11.已知橢圓左右兩個焦點(diǎn)分別為和，動直線經(jīng)過橢圓左焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且恒成立，下列說法正確的是（）A. B.C.離心率 D.若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)橢圓定義利用通徑長可求得，由橢圓性質(zhì)可得，且離心率，聯(lián)立直線和橢圓方程可知當(dāng)，方程無解，因此D錯誤.【詳解】如下圖所示：易知，由橢圓定義可知，因?yàn)楹愠闪?，所以，?dāng)軸，即為通徑時，最小，所以，解得，所以A正確；當(dāng)為長軸時，最大，此時，所以，即B正確；可得橢圓方程為，易知，所以離心率，即C錯誤；因?yàn)?，可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，整理可得，因此；若，可得，即，所以；整理得，此時方程無解，因此D錯誤.故選：AB非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)用向量和表示（其中是虛數(shù)單位，為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與夾角為__________.【答案】45°（或）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、向量夾角公式運(yùn)算得解.【詳解】根據(jù)題意，，，，又，所以向量與的夾角為.故答案為：（或）.13.將函數(shù)的圖象上的每個點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再將所得圖象向右平移得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)與函數(shù)圖象交于點(diǎn)，其中，則的值為__________.【答案】##【解析】【分析】先利用伸縮變換和平移變換得到，再根據(jù)題意，由求解.【詳解】解：由題意得：，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)圖象交于點(diǎn)，所以，即，整理得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，故答案為?4.如圖為世界名畫《星月夜》，在這幅畫中，文森特·梵高用夸張的手法，生動地描繪了充滿運(yùn)動和變化的星空.假設(shè)月亮可看作半徑為1的圓的一段圓弧，且弧所對的圓心角為.設(shè)圓的圓心在點(diǎn)與弧中點(diǎn)的連線所在直線上.若存在圓滿足：弧上存在四點(diǎn)滿足過這四點(diǎn)作圓的切線，這四條切線與圓也相切，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為__________.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】【分析】設(shè)弧的中點(diǎn)為，根據(jù)圓與圓相離，確定兩圓的外公切線與內(nèi)公切線，確定圓的位置，分析可得弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離.【詳解】如圖，設(shè)弧的中點(diǎn)為，弧所對的圓心角為，圓的半徑，在弧上取兩點(diǎn)，則，分別過點(diǎn)作圓的切線，并交直線于點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)的切線剛好是圓與圓的外公切線時，劣弧上一定還存在點(diǎn)，使過點(diǎn)的切線為兩圓的內(nèi)公切線，則圓的圓心只能在線段上，且不包括端點(diǎn)，過點(diǎn)，分別向作垂線，垂足為，則即為圓的半徑，設(shè)線段交圓于點(diǎn)，則弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離即為線段的長度.在中，，則，即弧上的點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的最短距離的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)兩圓位置關(guān)系求距離的范圍的問題.可按如下結(jié)論求解：相離的兩個圓（圓心分別為和,半徑分別為和）上的兩個動點(diǎn)之間的距離的最小值是兩圓心之間的距離減去兩圓的半徑，最大值是兩圓心之間的距離加上兩圓的半徑，即.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，已知多面體均垂直于平面．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：通過計(jì)算，根據(jù)勾股定理得,再根據(jù)線面垂直判定定理得結(jié)論；（Ⅱ）方法一：找出直線AC1與平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解即可.【詳解】（Ⅰ）［方法一］：幾何法由得，所以，即有.由，得，由得，由，得，所以，即有，又，因此平面.［方法二］：向量法如圖，以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以射線OB，OC為x，y軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：因此,由得；由得，所以平面.（Ⅱ）［方法一］：定義法如圖，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，連結(jié).由平面得平面平面，由得平面，所以是與平面所成的角.由得，所以，故.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.［方法二］：向量法設(shè)直線與平面所成的角為.由(I)可知,設(shè)平面的法向量.由即，可取，所以.因此，直線與平面所成的角的正弦值是.［方法三］：【最優(yōu)解】定義法+等積法設(shè)直線與平面所成角為，點(diǎn)到平面距離為d（下同）．因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離．由條件易得，點(diǎn)C到平面的距離等于點(diǎn)C到直線的距離，而點(diǎn)C到直線的距離為，所以．故．［方法四］：定義法+等積法設(shè)直線與平面所成的角為，由條件易得，所以，因此．于是得，易得．由得，解得．故．［方法五］：三正弦定理的應(yīng)用設(shè)直線與平面所成的角為，易知二面角的平面角為，易得，所以由三正弦定理得．［方法六］：三余弦定理的應(yīng)用設(shè)直線與平面所成的角為，如圖2，過點(diǎn)C作，垂足為G，易得平面，所以可看作平面的一個法向量．結(jié)合三余弦定理得．［方法七］：轉(zhuǎn)化法＋定義法如圖3，延長線段至E，使得．聯(lián)結(jié)，易得，所以與平面所成角等于直線與平面所成角．過點(diǎn)C作，垂足為G，聯(lián)結(jié)，易得平面，因此為在平面上的射影，所以為直線與平面所成的角．易得，，因此．［方法八］：定義法＋等積法如圖4，延長交于點(diǎn)E，易知，又，所以，故面．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，由得，解得．又，設(shè)直線與平面所成角為，所以．【整體點(diǎn)評】（Ⅰ）方法一：通過線面垂直的判定定理證出，是該題的通性通法；方法二：通過建系，根據(jù)數(shù)量積為零，證出；（Ⅱ）方法一：根據(jù)線面角的定義以及幾何法求線面角的步驟，“一作二證三計(jì)算”解出；方法二：根據(jù)線面角的向量公式求出；方法三：根據(jù)線面角的定義以及計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即可求出，該法是本題的最優(yōu)解；方法四：基本解題思想同方法三，只是求點(diǎn)面距的方式不同；方法五：直接利用三正弦定理求出；方法六：直接利用三余弦定理求出；方法七：通過直線平移，利用等價轉(zhuǎn)化思想和線面角的定義解出；方法八：通過等價轉(zhuǎn)化以及線面角的定義，計(jì)算公式，由等積法求出點(diǎn)面距，即求出．16.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)且與互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如：，，，數(shù)列滿足.（1）求，，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前和.【答案】（1），，，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意理解可求，，，結(jié)合與互素的個數(shù)可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】由題意可知，，，由題意可知，正偶數(shù)與不互素，所有正奇數(shù)與互素，比小的正奇數(shù)有個，所以；【小問2詳解】由（1）知，所以，所以，，所以，①，②所以①－②得，所以.17.已知雙曲線左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，且點(diǎn)到雙曲線兩條漸近線的距離乘積為，過分別作兩條斜率存在且互相垂直的直線，，已知與雙曲線左支交于，兩點(diǎn)，與左右兩支分別交于，兩點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組求出得解；（2）設(shè)直線的方程為，可得的方程，分別與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示直線的方程，令求得是定值.【小問1詳解】設(shè)雙曲線的兩漸近線方程分別為，，點(diǎn)到雙曲線兩漸近線的距離乘積為，由題意可得：，解得，，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的方程為，由，互相垂直得的方程，聯(lián)立方程得，消得，成立，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，聯(lián)立方程得，所以，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)對稱性判斷知定點(diǎn)在軸上，直線的方程為，則當(dāng)時，，所以直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法再聯(lián)立雙曲線方程從而解出點(diǎn)的坐標(biāo)，再得到直線的方程，最后令即可得到其定點(diǎn)坐標(biāo).18.定義，已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求過原點(diǎn)的切線方程；（2）若函數(shù)只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）當(dāng)時，求出，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線斜率，即可求切線方程；（2）對分類討論，根據(jù)函數(shù)只有一個零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別分析求出的取值范圍.【小問1詳解】由題意知定義域，當(dāng)時，，令，，在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，令，則在單調(diào)遞增，而，又，，而，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.（ⅰ）當(dāng)時，，設(shè)切點(diǎn)，則此切線方程為，又此切線過原點(diǎn)，所以，解得，即此時切線方程是；（ⅱ）當(dāng)時，，所以，設(shè)切點(diǎn)為，此時切線方程，又此切線過原點(diǎn)，所以，解得，所以此時切線方程，綜上所述，所求切線方程是：或；【小問2詳解】（?。┊?dāng)時，由（1）知，在和單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，且，，，此時有兩個零點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時，當(dāng)時，，由（1）知：在遞增，遞減，且，所以時，，而，所以在只有一個零點(diǎn)，沒有零點(diǎn)；（ⅲ）當(dāng)時，，此時得，由（1）知，當(dāng)時，只有一個零點(diǎn)，要保證只有一個零點(diǎn)，只需要當(dāng)時，沒有零點(diǎn)，，得；（ⅳ）當(dāng)時，當(dāng)時，，此時只有一個零點(diǎn)，綜上，只有一個零點(diǎn)時，或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過對的分類討論，得出解析式，再由函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)只有一個零點(diǎn)，分別分析或列出不等式求的范圍，解題過程較繁瑣.19.甲、乙兩人進(jìn)行知識問答比賽，共有道搶答題，甲、乙搶題的成功率相同.假設(shè)每題甲乙答題正確的概率分別為和，各題答題相互獨(dú)立.規(guī)則為：初始