專題11反比例函數(shù)（7類重點(diǎn)考向）（原卷版）

專題11反比例函數(shù)目錄一覽知識目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考命題趨勢（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一反比例函數(shù)的性質(zhì)?考向二反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義?考向三反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征?考向四待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式?考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題?考向六反比例函數(shù)的應(yīng)用?考向七反比例函數(shù)綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.結(jié)合具體情境體會反比例函數(shù)的意義，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式；2.能畫出反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象和表達(dá)式探索并理解k>0和k<0時(shí)，圖象的變化情況；3.能用反比例函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題．反比例函數(shù)也是非常重要的函數(shù)，年年都會考，總分值為15分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考一定還會考，反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合出現(xiàn)在解答題中是各地中考必考的一個(gè)解答題，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)和平面幾何的知識結(jié)合、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義等也會是小題考察的重點(diǎn)。反比例函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實(shí)數(shù)．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸．2.性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小．當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大．表達(dá)式（k是常數(shù)，k≠0）kk>0k<0大致圖象所在象限第一、三象限第二、四象限增減性在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大注意反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減?。瑯樱?dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大．反比例函數(shù)解析式的確定1.待定系數(shù)法：確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式．2.待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）；（2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程；（3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k；（4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積涉及三角形的面積型當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解．1.正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|k|；2.如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；3.如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．同一象限內(nèi)運(yùn)用k的幾何意義S矩形PAOB＝|k|S△AOP＝eq\f(|k|,2)S△ACP＝eq\f(|k|,2)兩個(gè)象限內(nèi)運(yùn)用k的幾何意義S△ABC＝|k|S△APP1＝2|k|雙反比例函數(shù)中運(yùn)用k的幾何意義S矩形ABCD＝|k1|－|k2|S△ABO＝eq\f(|k1|－|k2|,2)S△ABC＝S△ABO＝eq\f(|k1|＋|k2|,2)反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍．反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合1.涉及自變量取值范圍型：當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)。針對時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．2.求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)（1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號來決定.①k值同號，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)；②k值異號，兩個(gè)函數(shù)可無交點(diǎn)，可有一個(gè)交點(diǎn)，可有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況．?考向一反比例函數(shù)的性質(zhì)解題技巧/易錯易混確定點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式，求出y的值，若所求值等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)在圖象上；若所求值不等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)不在圖象上．（2）把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相乘，若乘積等于k，則點(diǎn)在圖象上，若乘積不等于k，則點(diǎn)不在圖象上．1．（2023?安徽）已知反比例函數(shù)y＝（k≠0）在第一象限內(nèi)的圖象與一次函數(shù)y＝﹣x+b的圖象如圖所示，則函數(shù)y＝x2﹣bx+k﹣1的圖象可能為（）A． B． C． D．2．（2023?廣西）如圖，過的圖象上點(diǎn)A，分別作x軸，y軸的平行線交的圖象于B，D兩點(diǎn)，以AB，AD為鄰邊的矩形ABCD被坐標(biāo)軸分割成四個(gè)小矩形，面積分別記為S1，S2，S3，S4，若，則k的值為（）A．4 B．3 C．2 D．13．（2023?鎮(zhèn)江）點(diǎn)A（2，y1）、B（3，y2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則y1＞y2（用“＜”、“＞”或“＝”填空）．?考向二反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義解題技巧/易錯易混反比例函數(shù)的解析式（k≠0）中，只有一個(gè)待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對x，y的對應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入中即可．4．（2023?湘西州）如圖，點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，且AB∥x軸，BC⊥x軸于點(diǎn)C，則四邊形ABCO的面積為（）A．1 B．2 C．3 D．45．（2023?黑龍江）如圖，△ABC是等腰三角形，AB過原點(diǎn)O，底邊BC∥x軸，雙曲線y＝過A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD∥y軸交雙曲線于點(diǎn)D．若S△BCD＝12，則k的值是（）A．﹣6 B．﹣12 C．﹣ D．﹣96．（2023?衢州）如圖，點(diǎn)A，B在x軸上，分別以O(shè)A，AB為邊，在x軸上方作正方形OACD，ABEF，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象分別交邊CD，BE于點(diǎn)P，Q．作PM⊥x軸于點(diǎn)M，QN⊥y軸于點(diǎn)N．若OA＝2AB，Q為BE的中點(diǎn)，且陰影部分面積等于6，則k的值為24．?考向三反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解題技巧/易錯易混確定點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式，求出y的值，若所求值等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)在圖象上；若所求值不等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)不在圖象上．（2）把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相乘，若乘積等于k，則點(diǎn)在圖象上，若乘積不等于k，則點(diǎn)不在圖象上．7．（2023?濟(jì)南）已知點(diǎn)A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）都在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（）A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y3＜y18．（2023?攀枝花）如圖，在直角△ABO中，AO＝，AB＝1，將△ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)105°至△A′B′O的位置，點(diǎn)E是OB′的中點(diǎn)，且點(diǎn)E在反比例函數(shù)y＝的圖象上，則k的值為．9．（2023?安徽）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，Rt△OAB的直角頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，AB＝2，∠AOB＝30°，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過斜邊OB的中點(diǎn)C．（1）k＝；（2）D為該反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，若DB∥AC，則OB2﹣BD2的值為．?考向四待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式10．（2023?青島）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，），則反比例函數(shù)的表達(dá)式為．11．（2023?陜西）如圖，在矩形OABC和正方形CDEF中，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C，F(xiàn)均在x軸正半軸上，點(diǎn)D在邊BC上，BC＝2CD，AB＝3．若點(diǎn)B，E在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，則這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式是．12．（2023?綿陽）如圖，過原點(diǎn)O的直線與反比例函數(shù)（k≠0）的圖象交于A（1，2），B兩點(diǎn)，一次函數(shù)y2＝mx+b（m≠0）的圖象過點(diǎn)A與反比例函數(shù)交于另一點(diǎn)C（2，n）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；當(dāng)y1＞y2時(shí)，根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍；（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△COM為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．?考向五反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題解題技巧/易錯易混反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型：（1）利用k值與圖象的位置的關(guān)系，綜合確定系數(shù)符號或圖象位置；（2）已知直線與雙曲線表達(dá)式求交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達(dá)式；（4）應(yīng)用函數(shù)圖象性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等．解題時(shí)，一定要靈活運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識，并結(jié)合圖象分析、解答問題．13．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與雙曲線y＝（k≠0）交于點(diǎn)A（﹣2，4）和點(diǎn)B（m，﹣2），則不等式0＜ax+b＜的解集是（）A．﹣2＜x＜4 B．﹣2＜x＜0 C．x＜﹣2或0＜x＜4 D．﹣2＜x＜0或x＞414．（2023?荊州）如圖，點(diǎn)A（2，2）在雙曲線y＝（x＞0）上，將直線OA向上平移若干個(gè)單位長度交y軸于點(diǎn)B，交雙曲線于點(diǎn)C．若BC＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．15．（2023?濱州）如圖，直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)）與雙曲線為常數(shù)）相交于A（2，a），B（﹣1，2）兩點(diǎn)．（1）求直線y＝kx+b的解析式；（2）在雙曲線上任取兩點(diǎn)M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜x2，試確定y1和y2的大小關(guān)系，并寫出判斷過程；（3）請直接寫出關(guān)于x的不等式的解集．?考向六反比例函數(shù)的應(yīng)用解題技巧/易錯易混用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟（1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系；（2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示；（3）列：由題目中的已知條件列出方程，求出待定系數(shù)；（4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍；（5）解：用函數(shù)解析式去解決實(shí)際問題．16．（2023?懷化）已知壓力F（N）、壓強(qiáng)P（Pa）與受力面積S（m2）之間有如下關(guān)系式：F＝PS．當(dāng)F為定值時(shí)，如圖中大致表示壓強(qiáng)P與受力面積S之間函數(shù)關(guān)系的是（）A． B． C． D．17．（2023?南充）小偉用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，當(dāng)動力臂由1.5m增加到2m時(shí)，撬動這塊石頭可以節(jié)省N的力．（杠桿原理：阻力×阻力臂＝動力×動力臂）18．（2023?溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產(chǎn)生的壓強(qiáng)p（kPa）與汽缸內(nèi)氣體的體積V（mL）成反比例，p關(guān)于V的函數(shù)圖象如圖所示．若壓強(qiáng)由75kPa加壓到100kPa，則氣體體積壓縮了mL．?考向七反比例函數(shù)綜合題19．（2023?成都）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)圖象y＝﹣x+5與y軸交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)y＝的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為B（a，4），過點(diǎn)B作AB的垂線l．（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)C在直線l上，且△ABC的面積為5，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（3）P是直線l上一點(diǎn)，連接PA，以P為位似中心畫△PDE，使它與△PAB位似，相似比為m．若點(diǎn)D，E恰好都落在反比例函數(shù)圖象上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及m的值．20．（2023?淄博）如圖，直線y＝kx+b與雙曲線y＝相交于點(diǎn)A（2，3），B（n，1）．（1）求雙曲線及直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）將直線AB向下平移至CD處，其中點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)D在y軸上．連接AD，BD，求△ABD的面積；（3）請直接寫出關(guān)于x的不等式kx+b＞的解集．1．（2023?廣州）已知正比例函數(shù)y1＝ax的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，﹣1），反比例函數(shù)y2＝的圖象位于第一、第三象限，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2023?張家界）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在AB上，且AD＝AB，反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D及矩形OABC的對稱中心M，連接OD，OM，DM．若△ODM的面積為3，則k的值為（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2023?無錫）已知曲線C1、C2分別是函數(shù)y＝﹣（x＜0），y＝（k＞0，x＞0）的圖象，邊長為6的正△ABC的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，頂點(diǎn)B、C在x軸上（B在C的左側(cè)），現(xiàn)將△ABC繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)B在曲線C1上時(shí)，點(diǎn)A恰好在曲線C2上，則k的值為．4．（2023?丹東）如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，延長AC至點(diǎn)B，使BC＝2AC，點(diǎn)D是y軸上任意一點(diǎn)，連接AD，BD，若△ABD的面積是6，則k＝．5．（2023?寧波）如圖，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)y＝（a＞0）圖象的兩支上（A在第一象限），連結(jié)AB交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D，E在函數(shù)y＝（b＜0，x＜0）圖象上，AE∥x軸，BD∥y軸，連結(jié)DE，BE．若AC＝2BC，△ABE的面積為9，四邊形ABDE的面積為14，則a﹣b的值為，a的值為．6．（2023?長沙）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k為常數(shù)，k＞0，x＞0）的圖象上，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為B，連接OA．若△OAB的面積為，則k＝．7．（2023?通遼）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，且x1＜0＜x2，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1﹣y2＜0 D．y1﹣y2＞08．（2023?威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，2）．連接OA，OB，AB．若OA＝AB，∠OAB＝90°，則k的值為9．（2023?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，四邊形OABC為正方形，其中點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，點(diǎn)A（t，0），點(diǎn)P（1，2）在函數(shù)的圖象上．（1）求k的值；（2）連接BP、CP，記△BCP的面積為S，設(shè)T＝2S﹣2t2，求T的最大值．10．（2023?湘潭）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，4），點(diǎn)C為OB中點(diǎn)．將△ABC繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′BC′．（1）反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點(diǎn)C′，求該反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）一次函數(shù)圖象經(jīng)過A、A′兩點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式．11．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1＝k1x+b與雙曲線y2＝（其中k1?k2≠