數(shù)學(xué)教材習(xí)題點(diǎn)撥：任意角和弧度制

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點(diǎn)撥練習(xí)1．解：銳角是第一象限角，但第一象限角不一定是銳角；直角是非象限角；鈍角是第二象限角，但第二象限角不一定是鈍角．2．解：三，三，五．點(diǎn)撥：本題是將終邊相同的角的符號(hào)表示應(yīng)用到其他周期性問(wèn)題上，即只需把與角α終邊相同的角中的360°換成每個(gè)星期的天數(shù)7即可．3．解:（1）第一象限角；(2）第四象限角；（3)第二象限角;(4)第三象限角．如圖所示．（第3題圖)點(diǎn)撥：先作出給定的角,再判定是第幾象限角．4．解:（1）－54°18′＝305°42′－360°，所以與角－54°18′終邊相同的角是305°42′，它是第四象限角；(2）395°8′＝35°8′＋360°，所以與角395°8′終邊相同的角是35°8′，它是第一象限角；(3）－1190°30′＝249°30′－4×360°，所以與角－1190°30′終邊相同的角是249°30′，它是第三象限角．點(diǎn)撥:在0°～360°的范圍內(nèi),找到與給定角終邊相同的角，再判斷它所在的象限．5．解：(1）｛β|β＝1303°18′＋k·360°，k∈Z｝，－496°42′，－136°42′，223°18′。（2)｛β｜β＝－225°＋k·360°，k∈Z},－585°，－225°，135°.點(diǎn)撥：先用集合的表示法和符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出與指定角終邊相同的角的集合，再在給定的范圍內(nèi)找出與指定的角終邊相同的角．對(duì)于k的值，可通過(guò)直接代入驗(yàn)證，也可先構(gòu)造不等式確定k的值,再代入求角．練習(xí)1．解：(1)eq\f(π,8）；（2）－eq\f(7π,6）；（3）eq\f（20π,3)。點(diǎn)撥：直接利用公式進(jìn)行角度與弧度的換算．2．解：（1)15°；(2）－240°;(3)54°.3．解：(1)｛α｜α＝kπ，k∈Z}；（2）｛α|α＝eq\f（π，2）＋kπ，k∈Z}．4．解：(1）cos0。75°〉cos0.75；（2)tan1。2°〈tan1.2.點(diǎn)撥：同數(shù)值不同單位的角對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值可能相同，也可能不同．5．解：∵r＝1，60°＝eq\f（π，3），∴弧長(zhǎng)l＝|α|r＝eq\f(π,3）×1＝eq\f(π，3）（m)；弧長(zhǎng)l＝eq\f（60πr，180)＝eq\f（60π，180)＝eq\f(π，3）（m)．6．解:圓心角的弧度數(shù)為α＝eq\f（l，r）＝eq\f（144,120)＝1.2(rad)．習(xí)題1。1A組1．解:(1)由－265°＝95°－360°，所以在0°～360°之間，95°與－265°具有相同的終邊,是第二象限角；(2）由－1000°＝80°－3×360°，所以在0°～360°之間，80°與－1000°具有相同的終邊,是第一象限角；（3）由－843°10′＝236°50′－3×360°，所以在0°～360°之間，236°50′與－843°10′具有相同的終邊，是第三象限角；（4）由3900°＝300°＋10×360°，所以在0°～360°之間,300°與3900°具有相同的終邊，是第四象限角．2．解：S＝｛α|α＝k·180°，k∈Z}．3．解：（1）{β｜β＝60°＋k·360°,k∈Z},－300°，60°；(2）｛β｜β＝－75°＋k·360°，k∈Z｝，－75°，285°；（3)｛β|β＝－824°30′＋k·360°，k∈Z}，－104°30′，255°30′;（4）｛β｜β＝475°＋k·360°，k∈Z｝，－245°，115°；(5）{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}，－270°，90°；(6）{β|β＝270°＋k·360°,k∈Z},－90°，270°;（7){β｜β＝180°＋k·360°,k∈Z}，－180°，180°;(8）{β｜β＝k·360°,k∈Z},－360°，0°。4．解：象限角度制一｛β｜k·360°<β<90°＋k·360°，k∈Z}二{β|90°＋k·360°<β〈180°＋k·360°,k∈Z}三｛β|180°＋k·360°〈β〈270°＋k·360°,k∈Z｝四｛β｜270°＋k·360°<β〈360°＋k·360°,k∈Z｝象限弧度制一eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\}（\a\vs4\al\co1（2kπ〈β<\f（π，2)＋2kπ，k∈Z)）））二eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1（\f(π，2）＋2kπ〈β〈π＋2kπ，k∈Z）））)三eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（β\b\lc\|\rc\｝(\a\vs4\al\co1（π＋2kπ〈β<\f（3π,2)＋2kπ,k∈Z））))四eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（β\b\lc\｜\rc\}（\a\vs4\al\co1（\f(3π，2)＋2kπ〈β〈2π＋2kπ，k∈Z））)）5．（1)C（2）D點(diǎn)撥：(1）因?yàn)?°〈α〈90°，所以0°〈2α〈180°。(2）因?yàn)閗·360°<α<90°＋k·360°，k∈Z，所以k·180°〈eq\f(α,2）<45°＋k·180°，k∈Z.當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，eq\f（α，2）是第三象限角；當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，eq\f(α，2）是第一象限角．6．解：因?yàn)榈扔诎霃介L(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角為1弧度,而等于半徑長(zhǎng)的弦長(zhǎng)所對(duì)的弧比半徑長(zhǎng)，所以不等于1弧度．7．解:（1）eq\f（π，5)；(2)－eq\f（5π，6）；(3)eq\f（73π,12)；(4）8π。8．解：(1）－210°；（2)－600°；（3）80。21°;(4）38。2°。9．解：由α＝eq\f（l,r）可知，∠AOB＝eq\f(112，100)＝1。12(rad)＝1.12×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(180，π）））°≈64°。點(diǎn)撥：先運(yùn)用弧長(zhǎng)公式求出圓心角的弧度數(shù)，再將弧度換算為角度．10．解：由α＝eq\f(l,r)可知，r＝eq\f（l，α)＝eq\f(50，200·\f（π，180）)＝eq\f(50×180，200π)≈14（cm）．B組1．解：（1)設(shè)扇子的圓心角為α，則余下部分的圓心角為2π－α。依據(jù)扇形的面積公式S＝eq\f(1，2）αr2，得eq\f(S1，S2)＝eq\f(\f（1，2）αr2,\f(1，2)（2π－α)r2）＝eq\f(α，2π－α)。（2）由題意可知eq\f（S1,S2）＝eq\f（α,2π－α）＝0.618,得α＝0.618（2π－α)，則α＝0.764π≈140°.2．解：（1）時(shí)針轉(zhuǎn)了－120°，等于－eq\f(2π，3)弧度；分針轉(zhuǎn)了－1440°，等于－8π弧度．(2）設(shè)經(jīng)過(guò)tmin分針就與時(shí)針重合，n為兩針重合的次數(shù)．因?yàn)榉轴樞D(zhuǎn)的角速度為eq\f（2π，60）＝eq\f(π，30）(rad/min）,時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角速度為eq\f(2π,12×60)＝eq\f(π，360）（rad/min），所以eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（π，30)－\f（π，360)）)t＝2πn，即t＝eq\f（720，11)n。用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器作出函數(shù)t＝eq\f（720，11)n的圖象或表格，從中可清楚地看到時(shí)針與分針每次重合所需的時(shí)間．因?yàn)闀r(shí)針旋轉(zhuǎn)一天所需的時(shí)間為24×60＝1440（min)，所以eq\f（720，11)n≤1440,于是n≤22.故時(shí)針與分針一天內(nèi)只會(huì)重合22次．3