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文檔簡介
2025屆福建省龍巖市龍巖北附數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題請考生注意:1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,則的大小關(guān)系為A. B. C. D.2.甲、乙、丙三人參加某公司的面試,最終只有一人能夠被該公司錄用,得到面試結(jié)果以后甲說:丙被錄用了;乙說:甲被錄用了;丙說:我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤,則下列結(jié)論正確的是()A.丙被錄用了 B.乙被錄用了 C.甲被錄用了 D.無法確定誰被錄用了3.設(shè)為拋物線的焦點,,,為拋物線上三點,若,則().A.9 B.6 C. D.4.給定下列四個命題:①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行,則這兩個平面相互平行;②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線,則這兩個平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個平面垂直,那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④5.雙曲線:(,)的一個焦點為(),且雙曲線的兩條漸近線與圓:均相切,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.6.?dāng)?shù)列滿足:,,,為其前n項和,則()A.0 B.1 C.3 D.47.設(shè)α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面8.已知集合,則()A. B.C. D.9.某空間幾何體的三視圖如圖所示(圖中小正方形的邊長為1),則這個幾何體的體積是()A. B. C.16 D.3210.設(shè)函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)),定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時,.若存在,且為函數(shù)的一個零點,則實數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于,兩點,且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.12.設(shè),,,則,,三數(shù)的大小關(guān)系是A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知為橢圓的左、右焦點,點在橢圓上移動時,的內(nèi)心的軌跡方程為__________.14.設(shè)函數(shù),若對于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.15.如圖,在△ABC中,AB=4,D是AB的中點,E在邊AC上,AE=2EC,CD與BE交于點O,若OB=OC,則△ABC面積的最大值為_______.16.已知實數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)和交點的交點為,求的面積.18.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)在曲線上取一點,直線繞原點逆時針旋轉(zhuǎn),交曲線于點,求的最大值.19.(12分)某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域,用來種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點D,E分別在邊,上);再取的中點M,建造直道(如圖).設(shè),,(單位:百米).(1)分別求,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試確定點D的位置,使兩條直道的長度之和最小,并求出最小值.20.(12分)已知函數(shù)()(1)函數(shù)在點處的切線方程為,求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時,對于任意,當(dāng)時,不等式恒成立,求出實數(shù)的取值范圍.21.(12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標(biāo)方程:(Ⅱ)設(shè)射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點,求|AB|的值.22.(10分)若函數(shù)為奇函數(shù),且時有極小值.(1)求實數(shù)的值與實數(shù)的取值范圍;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
分析:由題意結(jié)合對數(shù)的性質(zhì),對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)的性質(zhì)整理計算即可確定a,b,c的大小關(guān)系.詳解:由題意可知:,即,,即,,即,綜上可得:.本題選擇D選項.點睛:對于指數(shù)冪的大小的比較,我們通常都是運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,但很多時候,因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同,不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進行比較.這就必須掌握一些特殊方法.在進行指數(shù)冪的大小比較時,若底數(shù)不同,則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù),然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行判斷.對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較,利用圖象法求解,既快捷,又準(zhǔn)確.2、C【解析】
假設(shè)若甲被錄用了,若乙被錄用了,若丙被錄用了,再逐一判斷即可.【詳解】解:若甲被錄用了,則甲的說法錯誤,乙,丙的說法正確,滿足題意,若乙被錄用了,則甲、乙的說法錯誤,丙的說法正確,不符合題意,若丙被錄用了,則乙、丙的說法錯誤,甲的說法正確,不符合題意,綜上可得甲被錄用了,故選:C.【點睛】本題考查了邏輯推理能力,屬基礎(chǔ)題.3、C【解析】
設(shè),,,由可得,利用定義將用表示即可.【詳解】設(shè),,,由及,得,故,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用拋物線定義求焦半徑的問題,考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的能力,是一道容易題.4、D【解析】
利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對四個命題分別分析進行選擇.【詳解】當(dāng)兩個平面相交時,一個平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個平面,故①錯誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯誤;若兩個平面垂直,只有在一個平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力,是中檔題.5、A【解析】
根據(jù)題意得到,化簡得到,得到答案.【詳解】根據(jù)題意知:焦點到漸近線的距離為,故,故漸近線為.故選:.【點睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系,雙曲線的漸近線,意在考查學(xué)生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.6、D【解析】
用去換中的n,得,相加即可找到數(shù)列的周期,再利用計算.【詳解】由已知,①,所以②,①+②,得,從而,數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列,且前6項分別為1,2,1,-1,-2,-1,所以,.故選:D.【點睛】本題考查周期數(shù)列的應(yīng)用,在求時,先算出一個周期的和即,再將表示成即可,本題是一道中檔題.7、B【解析】
本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知:內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若,則”此類的錯誤.8、C【解析】
由題意和交集的運算直接求出.【詳解】∵集合,∴.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時,常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.9、A【解析】幾何體為一個三棱錐,高為4,底面為一個等腰直角三角形,直角邊長為4,所以體積是,選A.10、D【解析】
先構(gòu)造函數(shù),由題意判斷出函數(shù)的奇偶性,再對函數(shù)求導(dǎo),判斷其單調(diào)性,進而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù),因為,所以,所以為奇函數(shù),當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,所以在R上單調(diào)遞減.因為存在,所以,所以,化簡得,所以,即令,因為為函數(shù)的一個零點,所以在時有一個零點因為當(dāng)時,,所以函數(shù)在時單調(diào)遞減,由選項知,,又因為,所以要使在時有一個零點,只需使,解得,所以a的取值范圍為,故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題,難度較大.11、A【解析】
聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標(biāo),然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因為,所以,所以.所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查了直線與橢圓的交點,考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
利用對數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和計算公式,將a,b,c與,比較即可.【詳解】由,,,所以有.選C.【點睛】本題考查對數(shù)值,指數(shù)值和正弦值大小的比較,是基礎(chǔ)題,解題時選擇合適的中間值比較是關(guān)鍵,注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
考查更為一般的問題:設(shè)P為橢圓C:上的動點,為橢圓的兩個焦點,為△PF1F2的內(nèi)心,求點I的軌跡方程.解法一:如圖,設(shè)內(nèi)切圓I與F1F2的切點為H,半徑為r,且F1H=y,F(xiàn)2H=z,PF1=x+y,PF2=x+z,,則.直線IF1與IF2的斜率之積:,而根據(jù)海倫公式,有△PF1F2的面積為因此有.再根據(jù)橢圓的斜率積定義,可得I點的軌跡是以F1F2為長軸,離心率e滿足的橢圓,其標(biāo)準(zhǔn)方程為.解法二:令,則.三角形PF1F2的面積:,其中r為內(nèi)切圓的半徑,解得.另一方面,由內(nèi)切圓的性質(zhì)及焦半徑公式得:從而有.消去θ得到點I的軌跡方程為:.本題中:,代入上式可得軌跡方程為:.14、【解析】試題分析:由題意得函數(shù)在[2,上單調(diào)遞增,當(dāng)時在[2,上單調(diào)遞增;當(dāng)時在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,因此實數(shù)a的取值范圍是考點:函數(shù)單調(diào)性15、【解析】
先根據(jù)點共線得到,從而得到O的軌跡為阿氏圓,結(jié)合三角形和三角形的面積關(guān)系可求.【詳解】設(shè)B,O,E共線,則,解得,從而O為CD中點,故.在△BOD中,BD=2,,易知O的軌跡為阿氏圓,其半徑,故.故答案為:.【點睛】本題主要考查三角形的面積問題,把所求面積進行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16、【解析】
由虛數(shù)單位的性質(zhì)結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件列式求得,的值,則答案可求.【詳解】解:由,,,所以,得,..故答案為:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查虛數(shù)單位的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)先將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,再將普通方程化為極坐標(biāo)方程即可.(2)將和的極坐標(biāo)方程聯(lián)立,求得兩個曲線交點的極坐標(biāo),即可由極坐標(biāo)的含義求得的面積.【詳解】(1)曲線的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),消去參數(shù)的的直角坐標(biāo)方程為.所以的極坐標(biāo)方程為(2)解方程組,得到.所以,則或().當(dāng)()時,,當(dāng)()時,.所以和的交點極坐標(biāo)為:,.所以.故的面積為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化,直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化,利用極坐標(biāo)求三角形面積,屬于中檔題.18、(1)(2)最大值為【解析】
(1)利用消去參數(shù),求得曲線的普通方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.(2)設(shè)出兩點的坐標(biāo),求得的表達式,并利用三角恒等變換進行化簡,再結(jié)合三角函數(shù)最值的求法,求得的最大值.【詳解】(1)由消去得曲線的普通方程為.所以的極坐標(biāo)方程為,即.(2)不妨設(shè),,,,,則當(dāng)時,取得最大值,最大值為.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,普通方程化為極坐標(biāo)方程,考查極坐標(biāo)系下線段長度的乘積的最值的求法,考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)最值的求法,屬于中檔題.19、(1),.,.(2)當(dāng)百米時,兩條直道的長度之和取得最小值百米.【解析】
(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;在和中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二:在中,可得,則有,化簡整理即得;同理,化簡整理即得.(2)由(1)和基本不等式,計算即得.【詳解】解:(1),是邊長為3的等邊三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在和中,由余弦定理,得①②因為M為的中點,所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.法2:因為在中,,所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在中,因為M為的中點,所以.所以.所以,直道長度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.(2)由(1)得,兩條直道的長度之和為(當(dāng)且僅當(dāng)即時取“”).故當(dāng)百米時,兩條直道的長度之和取得最小值百米.【點睛】本題考查了余弦定理和基本不等式,第一問也可以利用三角形中的向量關(guān)系進行求解,屬于中檔題.20、(1)極小值為,極大值為.(2)【解析】
(1)根據(jù)斜線的斜率即可求得參數(shù),再對函數(shù)求導(dǎo),即可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)題意,對目標(biāo)式進行變形,構(gòu)造函數(shù),根據(jù)是單調(diào)減函數(shù),分離參數(shù),求函數(shù)的最值即可求得結(jié)果.【詳解】(1)函數(shù)的定義域為,,,,可知,,解得,,可知在,時,,函數(shù)單調(diào)遞增,在時,,函數(shù)單調(diào)遞減,可知函數(shù)的極小值為,極大值為.(2)可以變形為,可得,可知函數(shù)在上單調(diào)遞減,,可得,設(shè),,可知函數(shù)在單調(diào)遞減,,可知,可知參數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查由切線的斜率求參數(shù)的值,以及對具體函數(shù)極值的求解,涉及構(gòu)造函數(shù)法,以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域;第二問的難點在于對目標(biāo)式的變形,屬綜合性中檔題.21、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)根據(jù),可得曲線C1的極坐標(biāo)方程,然后先計算曲線C2的普通方程,
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