2025屆河北省邢臺市橋西區(qū)第一中學數學高二上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆河北省邢臺市橋西區(qū)第一中學數學高二上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，O是坐標原點，P是雙曲線右支上的一點，F是E的右焦點，延長PO，PF分別交E于Q，R兩點，已知QF⊥FR，且，則E的離心率為（）A. B.C. D.2．已知，，則在上的投影向量為（）A.1 B.C. D.3．已知等差數列為其前項和，且，且，則（）A.36 B.117C. D.134．若數列滿足，則的值為（）A.2 B.C. D.5．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.6．為了解青少年視力情況，統(tǒng)計得到名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數，葉表示十分位數，則該組數據的中位數是（）A. B.C. D.7．2021年小林大學畢業(yè)后，9月1日開始工作，他決定給自己開一張儲蓄銀行卡，每月的10號存錢至該銀行卡（假設當天存錢次日到賬）.2021年9月10日他給卡上存入1元，以后每月存的錢數比上個月多一倍，則他這張銀行卡賬上存錢總額（不含銀行利息）首次達到1萬元的時間為（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日8．已知橢圓的左、右焦點分別為，為軸上一點，為正三角形，若，的中點恰好在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.9．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.10．若兩定點A，B的距離為3，動點M滿足，則M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）A. B.C. D.11．已知數列為等差數列，則下列數列一定為等比數列的是（）A. B.C. D.12．已知橢圓：的離心率為，則實數（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知＝（3，a+b，a﹣b）（a，b∈R）是直線l的方向向量，＝（1，2，3）是平面α的法向量，若l⊥α，則5a+b＝__14．函數的圖象在處的切線方程為，則___________.15．已知數列{an}的前n項和Sn＝n2+n，則an＝_____16．在棱長為2的正方體中，點P是直線上的一個動點，點Q在平面上，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率e是方程的一根（1）求橢圓C的方程；（2）已知O是坐標原點，斜率為k的直線l經過點，已知直線l與橢圓C相交于點A，B，求面積的最大值18．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點F到上頂點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點F且與x軸不垂直的直線與橢圓交于A、B兩點，使得點C（）在線段AB的中垂線上？若存在，求出直線l：若不存在，說明理曲.19．（12分）已知橢圓M：的離心率為，左頂點A到左焦點F的距離為1，橢圓M上一點B位于第一象限，點B與點C關于原點對稱，直線CF與橢圓M的另一交點為D（1）求橢圓M的標準方程；（2）設直線AD的斜率為，直線AB的斜率為．求證：為定值20．（12分）已知函數，曲線y＝f(x)在點（0，4）處的切線方程為（1）求a，b的值；（2）求f(x)的極大值21．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點到上頂點的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）斜率為2的直線經過橢圓的左焦點，且與橢圓相交于兩點，求的面積.22．（10分）設函數（1）求的值；（2）求的極大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】令雙曲線E的左焦點為，連線即得，設，借助雙曲線定義及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【詳解】如圖，令雙曲線E的左焦點為，連接，由對稱性可知，點線段中點，則四邊形是平行四邊形，而QF⊥FR，于是有是矩形，設，則，，，在中，，解得或m＝0（舍去），從而有，中，，整理得，，所以雙曲線E的離心率為故選：B2、C【解析】根據題意得，進而根據投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C3、B【解析】根據等差數列下標的性質，，進而根據條件求出，然后結合等差數列的求和公式和下標性質求得答案.【詳解】由題意，，即為遞增數列，所以，又，又，聯立方程組解得：.于是，.故選：B.4、C【解析】通過列舉得到數列具有周期性，，所以.詳解】，同理可得：，可得，則.故選:C.5、D【解析】先求出的坐標，再求出其模【詳解】因為，，所以，故，故選：D.6、B【解析】將樣本中的數據由小到大進行排列，利用中位數的定義可得結果.【詳解】將樣本中的數據由小到大進行排列，依次為：、、、、、、、、、，因此，這組數據的中位數為.故選：B.7、C【解析】分析可得每月所存錢數依次成首項為1，公比為2的等比數列，其前n項和為，分析首次達到1萬元的值，即得解【詳解】依題意可知，小林從第一個月開始，每月所存錢數依次成首項為1，公比為2的等比數列，其前n項和為.因為為增函數，且，所以第14個月的10號存完錢后，他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元，即2022年10月11日他這張銀行卡賬上存錢總額首次達到1萬元.故選：C8、A【解析】根據題意得，取線段的中點，則根據題意得，，根據橢圓的定義可知，然后解出離心率的值.【詳解】因為為正三角形，所以，取線段的中點，連結，則，所以，得，所以橢圓的離心率.故選：A.【點睛】求解離心率及其范圍的問題時，解題的關鍵在于畫出圖形，根據題目中的幾何條件列出關于，，的齊次式，然后得到關于離心率的方程或不等式求解9、A【解析】根據一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A10、D【解析】以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，求出點M的軌跡方程即可計算得解.【詳解】以點A為坐標原點，射線AB為x軸的非負半軸建立直角坐標系，如圖，設點，則，化簡并整理得：，于是得點M的軌跡是以點為圓心，2為半徑的圓，其面積為，所以M點的軌跡圍成區(qū)域的面積為.故選：D11、A【解析】根據等比數列的定義判斷【詳解】設的公差是，即，顯然，且是常數，是等比數列，若中一個為1，則，則不是等比數列，只要，，都不可能是等比數列，如，，故選：A12、C【解析】根據題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因為，所以所以，解得.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、36【解析】根據方向向量和平面法向量的定義即可得出，然后即可得出，然后求出a，b的值，進而求出5a+b的值【詳解】∵l⊥α，∴，∴，解得，∴故答案為：3614、【解析】根據導數的幾何意義可得，根據切點在切線上可得.【詳解】因為切線的斜率為，所以，又切點在切線上，所以，所以，所以.故答案為：.15、2n【解析】根據數列的通項與前n項和的關系求解即可.【詳解】由題,當時,,當時.當時也滿足.故.故答案為：【點睛】本題主要考查了根據數列的通項與前n項和的關系求通項公式的方法,屬于基礎題.16、【解析】數形結合分析出的最小值為點到平面的距離，然后利用等體積法求出距離即可.【詳解】因為，且平面，平面，所以平面，所以的最小值為點到平面的距離，設到平面的距離為，則，所以，即，解得，故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）待定系數法求橢圓的方程；（2）設直線的方程為，，，用“設而不求法”表示出三角形OAB的面積.令轉化為關于t的函數，利用函數求最值.【詳解】（1）依題意得：，∴.方程的根為或.∵橢圓的離心率，∴，∴∴∴橢圓方程為.（2）設直線的方程為，，由，得，則，點到直線的距離為，.令，則..∵在單調遞增，∴時.有最小值3.此時有最大值.∴面積的最大值為.18、（1）（2）存在，【解析】（1）由題意可得，，求得的值即可求解；（2）由（1）得，假設存在滿足條件的直線：，代入橢圓方程消去可得、，由中點坐標公式可得中點的坐標，由求得的值即可求解.小問1詳解】由題意可得，，，解得，，所以橢圓的方程為【小問2詳解】由（1）得，假設存在滿足條件的直線：，代入橢圓方程整理可得，設，，則，，可得，則線段的中點坐標為，所以，則，解得：，所以存在直線，且直線的方程為19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據橢圓離心率公式，結合橢圓的性質進行求解即可；（2）設出直線CF的方程與橢圓方程聯立，根據斜率公式，結合一元二次方程根與系數關系進行求解即可.【小問1詳解】（1），，∴，，，∴；【小問2詳解】設，，則，CF：聯立∴，∴【點睛】關鍵點睛：利用一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵.20、（1）a＝4，b＝4（2）【解析】（1）由題意得到關于的方程組，求解方程組即可求出答案.（2）結合（1）中求得的函數解析式，求導得到的單調性，可得當x＝－2時，函數f(x)取得極大值.【小問1詳解】由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8從而a＝4，b＝4【小問2詳解】由（1）知，，令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2從而當時，f′(x)>0；當x∈(－2，－ln2)時，f′(x)<0故f(x)在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上單調遞增，在(－2，－ln2)上單調遞減當x＝－2時，函數f(x)取得極大值，極大值為21、（1）；（2）.【解析】（1）由題可得，即求；（2）由題可設直線方程，聯立橢圓方程，利用韋達定理法結合三角形面積公式即求.【小問1詳解】由題意可得，解得，所以橢圓的方程為.【