福建省莆田市第一中學高三下學期5月模擬考試數(shù)學試題

莆田一中2024屆高三模擬卷試卷數(shù)學試題本試卷共4頁，全卷滿分150分，考試用時120分鐘．注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將答題卡交回．一、單項選擇題：8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項符合題意．1.已知是虛數(shù)單位，a，，，則復數(shù)的模為（）A.5 B. C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的乘法和復數(shù)相等可得的值，從而可求的模.【詳解】由題設有，而，故，故的模為，故選：B.2.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則＝（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】利用對數(shù)運算性質(zhì)結合等比中項求解即可.【詳解】由題意得，由等比中項性質(zhì)得，故.故選：C3.在△中，為邊上的中線，為的中點，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析：首先將圖畫出來，接著應用三角形中線向量的特征，求得，之后應用向量的加法運算法則三角形法則，得到，之后將其合并，得到，下一步應用相反向量，求得，從而求得結果.【詳解】根據(jù)向量的運算法則，可得，所以，故選A.【點睛】該題考查的是有關平面向量基本定理的有關問題，涉及到的知識點有三角形的中線向量、向量加法的三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程中，需要認真對待每一步運算.4.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)及函數(shù)在單調(diào)遞增即可求解.【詳解】因為的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，又當時，單調(diào)遞增，且，所以由可得，即，解得，故選：B5.拋物線上的點到其準線的距離與到直線的距離之和的最小值為（）．A. B. C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】拋物線上的點到其準線的距離與到直線的距離之和，等于此點到焦點的距離與到直線的距離之和，其最小值為焦點到直線的距離，求值即可.【詳解】拋物線，焦點，準線方程為，拋物線上的點，到其準線的距離為，到直線的距離為，由拋物線的定義可知，則有，其最小值為焦點到直線的距離．即拋物線上的點到其準線的距離與到直線的距離之和的最小值為.故選：A.6.生活中有很多常見的工具有獨特的幾何體結構特征，例如垃圾畚箕，其結構如圖所示的五面體，其中四邊形與都為等腰梯形，為平行四邊形，若面，且，記三棱錐的體積為，則該五面體的體積為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將五面體分割成三個三棱錐，通過選擇適當定點可得其體積關系，然后可得五面體體積.【詳解】因為為平行四邊形，所以，所以.記梯形的高為，因為，所以，所以，所以該五面體的體積.故選：C7.已知，，則（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】切化弦，以及二倍角的正弦可得，變形可得，從而可求.【詳解】因為，所以，所以，所以，所以，因為，所以，，所以，所以．故選：B．8.雙曲線的左右焦點分別為，，過的直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于M、N兩點．若且，則雙曲線的離心率為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，根據(jù)雙曲線定義以及余弦定理求解出m，再通過勾股定理得到a，c的方程，由此可求離心率.【詳解】由雙曲線定義可知，，設，則有，，，由余弦定理可得，整理可得：，故，，則有，整理可得：，所以．故選：D．【點睛】方法點睛：1．橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題得目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分．9.已知一組正實數(shù)樣本數(shù)據(jù)，滿足，則（）．A.樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為B.去掉樣本的一個數(shù)據(jù)，樣本數(shù)據(jù)的極差可能不變C.若樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，且在右邊“拖尾”，則樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于中位數(shù)D.將組中的每個數(shù)據(jù)變?yōu)樵瓉淼?倍，則所得的新樣本數(shù)據(jù)組的方差變?yōu)樵瓟?shù)據(jù)組方差的2倍【答案】BC【解析】【分析】由百分位數(shù)的定義即可判斷A；由極差的定義即可判斷B，由頻率分布直方圖中中位數(shù)、平均數(shù)的求法畫出圖形即可判斷C；由方差的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對于A，由10×80％＝8，所以樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為，故A錯誤；對于B，由題意存在這樣一種可能，若，則極差為，此時樣本數(shù)據(jù)的極差不變，故B正確；對于C，數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為單峰不對稱，向右邊“拖尾”，大致如下圖，由于“右拖”時最高峰偏左，中位數(shù)靠近高峰處，平均數(shù)靠近中點處，此時平均數(shù)大于中位數(shù)，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：BC．10.如圖，在正方體中，P為棱上的動點，平面，Q為垂足，則（）．A.B.平面截正方體所得的截面可能為三角形C.當P位于中點時三棱錐的外接球半徑最大D.線段的長度隨線段的長度增大而增大【答案】ABD【解析】【分析】對于A，求證即可判斷；對于B，由等邊即可判斷；對于C，由外接球半徑和（的外接圓半徑為r）即可判斷；對于D，由和隨AP的增大而變小可判斷.【詳解】選項A，連接，CQ，則，，又因為，，所以，故，選項A正確；選項B，當P位于點A時，截面為三角形，選項B正確；選項C，平面DCP，記的外接圓半徑為r，則外接球半徑，由正弦定理得，當P位于AB中點時，，則，，選項C錯誤；選項D，為定值，過P作于點M，過M作，則，如圖，可知隨AP的增大而變小，所以由為定值可知，隨AP的增大而增大，故選項D正確．故選：ABD.11.已知，分別是函數(shù)和的零點，則（）A. B. C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用函數(shù)與方程思想，得到兩根滿足的方程關系，然后根據(jù)結構構造函數(shù)，求導，研究單調(diào)性，得到及，結合指對互化即可判斷選項A、B、C，最后再通過對勾函數(shù)單調(diào)性求解范圍即可判斷選項D.【詳解】令，得，即，，令，得，即，即，，記函數(shù)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，故A錯誤；又，所以，，所以，故B正確；所以，故C正確；又，所以，結合，得，因為，所以，且，因為在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，故D正確；故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)的零點問題，解題方法是把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的根，通過結構構造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性及指對互化找到根的關系得出結論.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，集合，若，則實數(shù)____.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)子集的定義求解.【詳解】因為，所以，即，所以.當時，，，滿足，故.故答案為：1.13.從甲、乙、丙三位同學中挑選若干人擔任四門不同學科的課代表，要求每門學科有且只有一位課代表，每位同學至多擔任兩門學科的課代表，則不同的安排方案共有__________種．【答案】54【解析】【分析】①第一種情況，甲、乙、丙三位同學都有安排時，利用分步乘法計數(shù)原理可求不同的安排方案種數(shù)，②第二種情況，甲、乙、丙三位同學中只有兩人被安排時，利用分步乘法計數(shù)原理可求不同的安排方案種數(shù)，從而可求總的方案數(shù).【詳解】①第一種情況，甲、乙、丙三位同學都有安排時，先從3個人中選1個人，讓他擔任兩門學科的課代表，有種結果，然后從4門學科中選2門學科給同一個人，有種結果，余下的兩個學科給剩下的兩個人，有種結果，所以不同的安排方案共有種，②第二種情況，甲、乙、丙三位同學中只有兩人被安排時，先選兩人出來，有種結果，再將四門不同學科分成兩堆，有種結果，將學科分給學生，有種結果，所以不同安排方案共有種，綜合得不同的安排方案共有種．故答案為：.14.已知函數(shù)，如圖，A，B，C是曲線與坐標軸的三個交點，直線BC交曲線于點M，若直線AM，BM的斜率分別為，3，則__________．【答案】【解析】【分析】逆用“五點法”，表示點的坐標，利用斜率可求.【詳解】，，，，則，所以，解得，可得.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線；（2）討論的單調(diào)性；【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導，利用導數(shù)的幾何意義得到切線方程；（2）求導，對導函數(shù)因式分解，分，和三種情況，進行求解函數(shù)的單調(diào)性.【小問1詳解】當時，函數(shù)，則，切點坐標為，，則曲線在點處的切線斜率為，所求切線方程為，即.【小問2詳解】，函數(shù)定義域為R，，①，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，②，解得或，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，③，恒成立，在上單調(diào)遞增.綜上，當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞增.16.已知正項數(shù)列的前項和為，且，．（1）求；（2）在數(shù)列的每相鄰兩項、之間依次插入、、、，得到數(shù)列、、、、、、、、、、，求的前項和．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）當時，利用累加法可求得的表達式，結合可得出的表達式，再檢驗的情形，綜合可得出的通項公式；（2）由求出數(shù)列的通項公式，列舉出數(shù)列的前項，即可求得的值.【小問1詳解】解：對任意的，因為，當時，，因為，所以，故．當時，適合，所以，．小問2詳解】解：因為，，所以當時，，所以，，所以，數(shù)列的前項分別為：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，所以的前項是由個與個組成．所以．17.如圖所示的空間幾何體是以為軸的圓柱與以為軸截面的半圓柱拼接而成，其中為半圓柱的母線，點為弧的中點.（1）求證：平面平面；（2）當，平面與平面夾角的余弦值為時，求點到直線的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過作交弧上一點，連結，由可得，進而由線面垂直的判定定理證明平面，從而由面面垂直的判定定理即可得證；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，設，利用向量法求平面與平面夾角的余弦值，而列方程求出的值，從而向量法可求點到直線的距離.【小問1詳解】過作交弧上一點，連結，如圖所示：則為弧的中點，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以.由題意可知，，為等腰直角三角形，則；因為為弧的中點，所以,則為等腰直角三角形，則，所以，則,因為，則，又，又因為、面，所以平面，因為面，所以平面平面.【小問2詳解】由題意知，兩兩垂直，所以為坐標原點，以分別為軸，軸，軸的空間直角坐標系，如圖所示：設，又，則，，，，，，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，，設平面的一個法向量為，則，即，令，，設平面與平面的夾角為，解得（負舍），所以，，，則，所以點到直線的距離為.18.已知橢圓的離心率為，A，B，C分別為橢圓的左頂點，上頂點和右頂點，為左焦點，且的面積為．若P是橢圓M上不與頂點重合的動點，直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點N．（1）求橢圓M的標準方程；（2）求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線QN和直線QC的斜率）．【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）由橢圓離心率和的面積，列方程組求出，可得橢圓M的標準方程；（2）設直線或的方程，通過聯(lián)立方程組求出的坐標，代入中化簡得定值．【小問1詳解】由題意得，又，解得，∴橢圓M的標準方程為．【小問2詳解】方法一：直線，依題意可設直線（且），（注：P不為橢圓頂點），由，則，所以，由，，所以，由B，P，N三點共線得，即，得，所以，所以為定值．方法二：設直線QC的斜率為k，則直線QC的方程為：，又，，直線AB的方程為，由，解得，所以，由，得，由，則，所以，則，∴，依題意B、P不重合，所以，即，所以，∴直線BP的方程為，令，即，解得，∴，∴，∴為定值．方法三：設點，則，，，由B，P，N三點共線得，即，，，聯(lián)立，得，所以，所以.方法四：設點，則（且）,由B，P，N三點共線得，即，直線，，聯(lián)立，得，，所以，.【點睛】方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系，涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19.設離散型隨機變量X，Y的取值分別為，．定義X關于事件“”的條件數(shù)學期望為，已知條件數(shù)學期望滿足全期望公式．解決如下問題：為了研究某藥物對于微生物A生存狀況的影響，某實驗室計劃進行生物實驗．在第1天上午，實驗人員向培養(yǎng)皿中加入10個A的個體．從第1天開始，實驗人員在每天下午向培養(yǎng)皿中加入該種藥物．當加入藥物時，A的每個個體立即產(chǎn)生1次如下的生理反應（設A的每個個體在當天的其他時刻均不發(fā)生變化，不同個體的生理反應相互獨立）：①直接死亡；②分裂為2個個體，且這兩種生理反應是等可能的．設第n天上午培養(yǎng)皿中A的個體數(shù)量為．規(guī)定，．（1）求，；（2）證明；（3）已知，求，并結合（2）說明其