第六章第五節(jié)第2課時(shí)余弦定理正弦定理應(yīng)用舉例

第2課時(shí)余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例【課程標(biāo)準(zhǔn)】能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實(shí)際問題.【考情分析】考點(diǎn)考法:正、余弦定理的應(yīng)用主要解決與距離、高度、角度等有關(guān)的實(shí)際問題,主要以選擇、填空題的形式考查.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫仰角,在水平線下方的角叫俯角(如圖①).2.方位角從正北方向線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角.如點(diǎn)B的方位角為α(如圖②).【微點(diǎn)撥】仰角與俯角是相對(duì)水平線而言的,而方位角是相對(duì)正北方向而言的.3.方向角相對(duì)某一正方向的水平角,即從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏東α,南偏西α.特別地,若目標(biāo)方向線與指北或指南方向線成45°角,則稱為東北方向、西南方向等.(1)北偏東α,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖③);(2)北偏西α,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向;(3)南偏西等其他方向角類似.4.坡角與坡度(1)坡角:坡面與水平面所成的二面角(如圖④,角θ為坡角).(2)坡度:坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④,i為坡度),坡度又稱為坡比.【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)13241.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.東南方向就是指南偏東45°的方向B.若從A處看B處的仰角為α,從B處看A處的俯角為β,則α+β=180°C.點(diǎn)A在B的南偏西20°方向上,若以點(diǎn)B為基點(diǎn),則點(diǎn)A的方位角為200°D.俯角是鉛垂線與視線所成的角,其范圍為[0,π2【解析】選AC.根據(jù)方向角與方位角的定義知A,C正確.根據(jù)仰角、俯角的定義可知B,D錯(cuò)誤.2.(弄錯(cuò)方向角的含義)如圖所示,兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站的南偏西40°方向上,燈塔B在觀察站的南偏東60°方向上,則燈塔A在燈塔B的 ()A.北偏東10°方向上B.北偏西10°方向上C.南偏東80°方向上D.南偏西80°方向上【解析】選D.由條件及題圖可知,△ABC為等腰三角形,所以∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°方向上.3.(必修第二冊(cè)P49例9·變條件)如圖所示,為測量河對(duì)岸一點(diǎn)C與岸邊一點(diǎn)A之間的距離,已經(jīng)測得岸邊的A,B兩點(diǎn)間的距離為m,∠CAB=α,∠CBA=β,則C,A間的距離為 ()A.msinβsinαC.msinβsin(α【解析】選C.因?yàn)锳Bsin∠ACB=ACsin∠ABC,所以AC=4.(2021·全國甲卷)2020年12月8日,中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86(單位:m),三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一.如圖是三角高程測量法的一個(gè)示意圖,現(xiàn)有A,B,C三點(diǎn),且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'滿足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C點(diǎn)測得B點(diǎn)的仰角為15°,BB'與CC'的差為100;由B點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角為45°,則A,C兩點(diǎn)到水平面A'B'C'的高度差A(yù)A'CC'約為(3≈1.732) ()A.346 B.373 C.446 D.473【解析】選B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q為相應(yīng)的垂足(圖略),由題意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM=100tan15°=B'C',所以BN=B'A'=100tan15°·sin45°sin75°=100cos15°sin45°sin15°sin75°=502sin【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一測量距離問題[例1](1)(2023·龍巖模擬)如圖所示,為了測量A,B兩處島嶼的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°,北偏東45°方向,再往正東方向行駛20海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則A,B兩處島嶼間的距離為 ()A.206海里 B.106海里C.20(1+3)海里 D.10(1+3)海里【解析】選B.在三角形ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°60°=30°,∠CAD=180°105°30°=45°,由正弦定理得CDsin45°=ACsin105°=20×(sin60°cos45°+cos60°sin45°)sin45°=10(3+1).在三角形BCD中,∠BDC=45°,∠BCDAB=AC2+BC2(2)蕭縣的蕭窯、淮南的壽州窯和蕪湖的繁昌窯是安徽三大名窯.如圖為蕭窯出土的一塊三角形瓷器片,其一角已破損.為了復(fù)原該三角形瓷器片,現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù):AB=34.64cm,AD=10cm,BE=14cm,A=B=π6,則D,E兩點(diǎn)間的距離為__________cm.(參考數(shù)據(jù):3≈1.【解析】如圖,延長AD,BE交于點(diǎn)C,因?yàn)锳=B=π6,所以C=2π故ACsinB=BCsinA=ABsinC,所以AC=BC=34由題意得CD=2010=10,CE=2014=6,C=2π3,故DE==14(cm),故D,E兩點(diǎn)間的距離為14cm.答案:14【解題技法】距離問題的類型及解法(1)類型:①兩點(diǎn)間既不可達(dá)也不可視,②兩點(diǎn)間可視但不可達(dá),③兩點(diǎn)都不可達(dá).(2)解法:選擇合適的輔助測量點(diǎn),構(gòu)造三角形,將問題轉(zhuǎn)化為求某個(gè)三角形的邊長問題,從而利用正、余弦定理求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·青島模擬)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,若要測量如圖所示某藍(lán)洞洞口邊緣A,B兩點(diǎn)間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,則A,B兩點(diǎn)的距離為__________海里.

【解析】在三角形ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=135°+15°=150°,∠CAD=180°150°15°=15°,所以AD=CD=8,所以AC=64+64-2×8×8×cos150°在三角形BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=15°+120°=135°,∠CBD=180°15°135°=30°,由正弦定理得8sin30°=BC=8·sin15°sin30°=16×sin(45°30°)=16×(22×3222×1在三角形ABC中,∠ACB=120°,所以AB=A=256+64×2+3×2-3=256+64答案:852.(2023·吉安模擬)如圖,洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù),現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個(gè)觀景臺(tái)P,已知射線AB,AC為濕地兩邊夾角為120°的公路(長度均超過2千米),在兩條公路AB,AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)M,N,從觀景臺(tái)P到M,N建造兩條觀光線路PM,PN,測得AM=2千米,AN=2千米.(1)求線段MN的長度;(2)若∠MPN=60°,求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值.【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN22AM·ANcos∠MAN,即MN2=22+222×2×2×(12)=12,可得MN=23,所以線段MN的長度為23千米(2)設(shè)∠PMN=α∈(0,2π3),因?yàn)椤螹PN=π3,所以∠PNM=2π在△PMN中,由正弦定理得MNsin∠MPN=PMsin∠PNM=PNsin∠PMN所以PM=4sin∠PNM=4sin(2π3α),PN=4sin∠PMN=4sinα因此PM+PN=4sin(2π3α)+4sinα=4(32cosα+12sinα=6sinα+23cosα=43sin(α+π6),因?yàn)?<α<2π3,所以π6<α+π6<5π6,所以當(dāng)α+π6=π2,即α=π3時(shí),考點(diǎn)二測量高度問題[例2](1)如圖,某同學(xué)為測量鸛雀樓的高度MN,在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB,高約為37m,在地面上點(diǎn)C處(B,C,N三點(diǎn)共線)測得建筑物頂部A,鸛雀樓頂部M的仰角分別為30°和45°,在A處測得鸛雀樓頂部M的仰角為15°,則鸛雀樓的高度約為 ()A.91m B.74m C.64m D.52m【解析】選B.在Rt△ABC中,AC=2AB=74,在△MCA中,∠MCA=105°,∠MAC=45°,則∠AMC=180°∠MCA∠MAC=30°,由正弦定理得MCsin∠MAC=即MCsin45°=74sin30°,解得MC=742,在Rt△MNC中(2)一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛,在A,B,C三處測得道路一側(cè)山頂P的仰角分別為30°,45°,60°,其中AB=a,BC=b(0<a<3b),則此山的高度為 ()A.122ab(aC.125ab(a【解析】選D.如圖,設(shè)點(diǎn)P在地面上的投影為點(diǎn)O,則∠PAO=30°,∠PBO=45°,∠PCO=60°,設(shè)山高PO=h,則AO=3h,BO=h,CO=3h在△AOC中,cos∠ABO=cos∠CBO,由余弦定理可得:a2+h整理得h2=3ab(a+b)【解題技法】測量高度問題的求解策略(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是關(guān)鍵.(2)在實(shí)際問題中,若遇到空間與平面(地面)同時(shí)研究的問題,最好畫兩個(gè)圖形,一個(gè)空間圖形,一個(gè)平面圖形.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·廣州模擬)赤崗塔是廣州市級(jí)文物保護(hù)單位,是廣州市明代建筑中較具特色的古塔之一,與琶洲塔、蓮花塔并稱為廣州明代三塔.如圖,在A點(diǎn)測得塔底位于A點(diǎn)北偏東60°方向上的點(diǎn)D處,塔頂C的仰角為30°,在A的正東方向且距D點(diǎn)61m的B點(diǎn)測得塔底位于B點(diǎn)北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面),則塔的高度CD約為(參考數(shù)據(jù):6≈2.45) ()A.40m B.45m C.50m D.55m【解析】選C.由題意,BD=61,∠DAB=30°,∠DBA=45°,所以ADsin45°=61sin30°,則AD=612m,又∠DAC=30°,則所以CD=13AD=13×612≈50(2.(2023·江門模擬)某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C處進(jìn)行該儀器的垂直彈射,觀測點(diǎn)A,B兩地相距100米,∠BAC=60°,BC的距離比AC短40米.A地測得該儀器彈至最高點(diǎn)H時(shí)的仰角為30°.(1)求A,C兩地間的距離;(2)求該儀器的垂直彈射高度CH.【解析】(1)由題意,設(shè)AC=x,則BC=x40.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=BA2+AC22BA·ACcos∠BAC,即(x40)2=10000+x2100x,解得x=420,所以A,C兩地間的距離為420米.(2)在Rt△ACH中,AC=420,∠CAH=30°,所以CH=AC·tan∠CAH=1403,即該儀器的垂直彈射高度CH為1403米.考點(diǎn)三測量角度問題[例3](2023·鄭州模擬)在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏西75°的方向,與A距離2海里的B處有一艘走私船,在A處北偏東45°方向,與A距離(31)海里的C處的緝私船奉命以103海里/小時(shí)的速度追截走私船.此時(shí),走私船正以10海里/小時(shí)的速度從B處向北偏西30°方向逃竄,問:(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí),緝私船距離走私船多遠(yuǎn)?在走私船的什么方向?(2)緝私船沿什么方向能最快追上走私船?【解析】(1)由題意,可得AB=2,AC=31,∠BAC=120°,則BC=AB2+AC在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,即解得sin∠ACB=22,因?yàn)?°<∠ACB<60°,所以∠ACB=45°,所以BC為水平線所以剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí),緝私船距離走私船6海里,在走私船的正東方向.(2)設(shè)經(jīng)過t小時(shí)后,緝私船追上走私船,在△BCD中,可得BD=10t,CD=103t,∠DBC=120°,由正弦定理得sin∠BCD=BDsin∠CBDCD=10因?yàn)椤螧CD為銳角,所以∠BCD=30°,所以緝私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船.【解題技法】測量角度問題的求解策略測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上,畫出表示實(shí)際問題的圖形,并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解.提醒:確定方向角時(shí),必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2023·贛州模擬)如圖,某運(yùn)動(dòng)員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)15km的速度向東進(jìn)行長跑訓(xùn)練,長跑開始時(shí),在A市南偏東方向距A市75km的B處有一艘小艇,小艇與海岸距離為45km,若小艇與該運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā),要追上這位運(yùn)動(dòng)員.(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員?(2)求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB的夾角.【解析】(1)如圖,設(shè)小艇以每小時(shí)vkm的速度從B處出發(fā),沿BD方向行駛,t小時(shí)后與該運(yùn)動(dòng)員在D處相遇,在△ABD中,AB=75,AD=15t,BC=45,故sin∠BAD=4575=35,cos∠BAD=由余弦