清單02配方法應用的十一大經(jīng)典題型（11種題型解讀（40題））（原卷版）

清單02配方法應用的十一大經(jīng)典題型（11種題型解讀（40題））【知識導圖】【知識清單】【考試題型1】利用配方法確定二次根式中字母的取值范圍1．當字母取什么值時，4x【考試題型2】配方法在化簡二次根式時的應用2．數(shù)學教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開平方運算是互逆運算．如a2±2ab+b2=(a±b)2，那么a2±2ab+材料二：在直角坐標系xOy中，對于點P(x，y)和若y'=y(x≥0)-y(x<0)，則稱點Q為點P的“橫負縱變點”.例：點(3，2)的“橫負縱變點”為(3，2)，點(-2，請選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點(2，-3)的“橫負縱變點”為______，點(-33，(2)化簡：8+215=(3)已知a為常數(shù)(1≤a≤2)，點M(-2，m)且m=22(a+2a-1+a-2a-1)，點3．像4-23，96-如：4-23再如：5+26(1)請你嘗試化簡：①11+230=②13-242=(2)若a+65=m+5n2，且a，4．你見過像4-23,4-2請用上述方法化簡：（1）5-26（2）7-48【考試題型3】配方法在證明代數(shù)式的值為正數(shù)、負數(shù)等方面的應用5．對于任意實數(shù)x，多項式-x2+2x-3的值是一個（A．正數(shù) B．負數(shù) C．非負數(shù) D．不能確定正負的數(shù)6．閱讀材料：若x2-2xy+2y2-8y+16=0，求x、∴x2∴x-y2∴x-y2=0，∴y=4，x=4．根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：(1)試說明不論x，y取什么有理數(shù)時，多項式x2(2)已知a、b滿足2a2+b2+2ab-6a+9=0．求7．用配方法求證：代數(shù)式3x8．不論x，y為什么數(shù)，代數(shù)式4x2+3y2+8x﹣12y+7的值（）A．總大于7 B．總不小于9C．總不小于﹣9 D．為任意有理數(shù)9．已知代數(shù)式A=2x(1)當x為何值時，代數(shù)式A比B的值大2；(2)求證：對于任意x的值，代數(shù)式A-B的值恒為正數(shù)．【考試題型4】利用配方法解決最值問題10．配方法在代數(shù)式求值、解方程、求最值問題……中都有著廣泛的應用．例如：若代數(shù)式M=a利用配方法求M的最小值：M===∵(a-b)2≥0，∴當a=b=1時，代數(shù)式M有最小值為1．請根據(jù)上述材料解決下列問題：(1)在橫線上添上一個常數(shù)項使之成為完全平方式：a2+6a+(2)若代數(shù)式M=a2+4a+6(3)已知a2+2b11．配方法是數(shù)學中一種重要的恒等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它．下面我們就求函數(shù)的極值，介紹一下配方法．例：已知代數(shù)式a2+6a+2，當a=時，它有最小值，是解：a因為a+32≥0，所以所以當a=-3時，它有最小值，是-7．參考例題，試求：(1)填空：當a=時，代數(shù)式a-32+5有最小值，是(2)已知代數(shù)式a2+8a+2，當12．閱讀材料：把形如ax2+bx+c例如：①我們可以將代數(shù)式a2a∵a+32∴a+32因此，該式有最小值1．材料二：我們定義：如果兩個多項式A與B的差為常數(shù)，且這個常數(shù)為正數(shù)，則稱A是B的“雅常式”，這個常數(shù)稱為A關于B的“雅常值”．如多項式A=x2+2x+1，B=則A是B的“雅常式”，A關于B的“雅常值”為9．(1)已知多項式C=x2+x-1，D=x+2x-1，判斷C是否為D的“雅常式”，若不是，請說明理由，若是，請證明并求出C關于D(2)已知多項式M=x-a2，N=x2-2x+b（a，b為常數(shù)），M是N的“雅常式”，且當x為實數(shù)時，N的最小值為-2，求M關于N【考試題型5】配方法與根的判別式綜合運用13．定義：若x1、x2是方程ax2+bx+c=0a≠0的兩個實數(shù)根，若滿足(1)判斷：方程x2-4x=0______“差積方程”（填“是”或“不是(2)已知關于x的方程x2①證明：不論m取何值，方程總有實數(shù)根；②若該方程是“差積方程”，求m的值．14．已知一元二次方程x2(1)當其中一個根為1時，求另一個根．(2)證明不論a取何實數(shù)，該方程都有兩個不相等的實數(shù)根．15．已知關于x的一元二次方程ax(1)當這個方程二次項系數(shù)和常數(shù)項的符號不同時，證明：該方程一定有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若這個方程有兩個不相等的實數(shù)根，那么該方程二次項系數(shù)和常數(shù)項的符號是否一定不同？若是，請證明；若不是，請舉出一個反例．【考試題型6】配方法在恒等變形時的應用16．已知三角形三邊長為a、b、c，且滿足a2-4b=7，b2-4c=-6，A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．無法確定17．選取二次三項式ax2+bx+c(a≠0)中的兩項，配成完全平方式的過程叫作配方．例如①選取二次項和一次項配方：x2-4x+2=(x-2)2-2；②選取二次項和常數(shù)項配方：根據(jù)上述材料解決下面問題：（1）寫出x2（2）已知x2+y（3）已知a、b、c為三條線段，且滿足14a2+b2+c18．先閱讀，再解決問題，例題：若m2+2mn+2n解：∵m∴(∴m+n∴n=3，(1)若x2+2y(2)已知ΔABC的三邊長a，b，c都是正整數(shù)，且滿足a2+b(3)根據(jù)以上的方法是說明代數(shù)式：x219．我們把一個式子或一個式子部分改寫成完全平方式或者幾個完全平方式的和的形式，這種解題方法叫做配方法，配方法常常用于恒等變形、化簡求值、解一元二次方程、求最值等問題．(1)已知三角形ABC的三邊長a、b、c都是正整數(shù)，并且滿足a2+2b2﹣6a﹣4b+11＝0，求三角形ABC的周長，你能利用配方法解決這個問題嗎？(2)某商品現(xiàn)在每件盈利10元，每天可賣出30件．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如調(diào)整價格，每漲價1元，每天要少賣1件，當每件商品漲價多少元時，每天的利潤最大？【考試題型7】利用配方法求字母的值20．若方程9x2-(k+2)x+4=0的左邊可以寫成一個完全平方式，則kA．10 B．10或14C．10或14 D．10或1421．設a、b、c為實數(shù)，x=a2-2b+π3,y=b2-2c+πA．大于0 B．等于0 C．不大于0 D．小于022．對于多項式x2+2x+4，由于x2+2x+4=x+12+3≥3，所以x2+2x+4有最小值3A．1 B．-1 C．-10 D．-1923．關于x的多項式-x2+6x-m的最大值為10A．1 B．-1 C．-10 D．-1924．閱讀下列材料：我們可以通過以下方法求代數(shù)式x2∵x2+6x+5=x∴當x=-3時，x2+6x+5有最小值請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式m2(2)填空：代數(shù)式4-x2+2x當x=______時，有最______(3)若代數(shù)式2x2+kx+7的最小值為-1【考試題型8】利用配方法求代數(shù)式的值25．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b為整數(shù)，求a＋b之值為何()A．20 B．12 C．－12 D．－2026．若關于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程x+a2=1，則a＋A．8 B．9 C．10 D．1127．已知a，b，c滿足a2+6b=7，b2-2c=-1，c2A．-1 B．5 C．6 D．-728．若a，b滿足2a2+b2+2ab-4a+4=0【考試題型9】配方法解決多結論問題29．已知多項式A=x2+7x+10，B=x+1①若A-5B=5，則x1=0②當x=-2時，A-3B有最小值，最小值為3；③無論x取任何實數(shù)，A>B恒成立；以上結論正確的個數(shù)有（

）個A．0 B．1 C．2 D．330．對代數(shù)式(x+3)2，老師要求任意取一個x的值后求出代數(shù)式的值．圓圓發(fā)現(xiàn)，大家所求得的代數(shù)式的值都大于等于0，即x＝－3時代數(shù)式的最小值是0．利用這個發(fā)現(xiàn)，圓圓試著寫出另外一些結論：①在x＝－3時，代數(shù)式(x＋3)2＋2的最小值為2；②在a＝－b時，代數(shù)式(a＋b)2＋m的最小值為m；③在c＝－d時，代數(shù)式－(c＋d)2＋n的最大值為n；④在x=-3時，代數(shù)式-x2-6x+20的最大值為A．①②③ B．①③ C．①④ D．①②③④31．已知A=x2+6x+n2，①若A=x2+6x+②B－A的最小值是2；③若n是A+B=0的一個根，則4n④若2022-AA-2019=2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個32．配方法是代數(shù)計算或變形的常用方法之一，某數(shù)學學習小組在利用配方法解決問題的過程中，得到如下的結論：①用配方法解方程x2-8x-10=0，變形后的結果是②已知方程x2-8x+q=0可以配成x-42=12，那么③若關于x的方程x-22=k有實數(shù)根，則④若x2+ax+9可以配成形如x+m2⑤用配方法可以求得代數(shù)式x2-6x+10的最小值是其中正確結論的個數(shù)有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考試題型10】利用配方法解決比較大小問題33．已知P=x2-x，Q=x-2為任意實數(shù)，則P-Q的值A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．無法確定34．已知M=8x2-y2+6x-2，N=9xA．為正數(shù) B．為負數(shù) C．為非正數(shù) D．不能確定35．閱讀材料：利用完全平方式，將多項式x2+bx+c變形為x+m2+n的形式，然后由例題：求x2解：x==無論x取何值，(x+4)2即x+42≥0所以：當x=-4時，x2+8x+21根據(jù)上述材料，解答下列問題：(1)填空：x(2)將多項式x2+16x-1變形為x+m2(3)若一個長方形的長和寬分別為2a+3和3a+5，面積記為S1，另一個長方形的長和寬分別為5a和a+3，面積記為S2，試比較S1【考試題型11】利用配方法解決新定義問題36．定義：若一個整數(shù)能表示成a2+b2（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“平和數(shù)”．例如，5是“平和數(shù)”．理由：因為5=22+12．再如，M=x2+2xy+2解決問題：(1)請你再寫一個小于5的“平和數(shù)”_____；判斷29是否為“平和數(shù)”____（填“是”或“否”）；(2)若二次三項式x2-6x+13（x是整數(shù)）是“平和數(shù)”，可配方成x-m2+n（m，n(3)已知“平和數(shù)”x2+y2-4x+6y+13（x，y是整數(shù)）的值為0(4)已知S=x2+9y2+6x-6y+k（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“平和數(shù)(5)已知實數(shù)x，y滿足-x2+9x+y-25=037．定義：關于x的一元二次方程：a1x-m2+n=0與a2x-m2+n=0，稱為“同族二次方程”．如2x-32+4=0與3x-32+4=0是“同族二次方程”．若關于A．2024 B．2023 C．2022 D．202138．陰陽觀念是具有鮮明中國特色的哲學思想，它幾乎滲透到社會生活、文學藝術、醫(yī)學等許多方面，以至形成“陰陽對偶律”，比如說“陰陽對偶律”導致左右相對的形式在中國裝飾藝術中地位突出，對偶的神獸或神人往往相對而列，多半會形成左右相對（包含左右對稱）的樣式，對偶在數(shù)學上也多有滲透，下面我們就研究下多項式中的對偶．對于x的多項式x2-2x+3，由于x2-2x+3=（x-1）2+2，所以x-1取任意一對互為相反數(shù)時，例如當x-1=±2時，即x=3或-1時，x2-2x＋3的值均為6．那么我們稱x2-2x+3定義：對于關于x的多項式，若當x-t取任意一對互為相反數(shù)的數(shù)時，該多項式的值相等，就稱該多項式關于x=t對偶，例如：x2-2x＋(1)多項式x2-8x+(2)當x=m或4-m時，關于x的多項式2x2+bx+c(3)若整式(2x2+8x+8)(x39．【閱讀材料】配方法是數(shù)學中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結合非負數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為5=22+(1)【解決問題】數(shù)11“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；數(shù)53“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)【探究問題】已知x2+y2(3)【拓展提升】已知S=2x2+y2+2xy+12x+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為40．[項目學習]配方法是數(shù)學中重要的一種思想方法.它是指將一個式子的某部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法，這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結合非負數(shù)的意義來解決一些問題．例