湖北省武漢市5G聯(lián)合體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

20232024學(xué)年度下學(xué)期武漢市重點(diǎn)中學(xué)5G聯(lián)合體期末考試高一數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：育才高級(jí)中學(xué)命題教師：趙勝軍審題教師：柳蔚考試時(shí)間：2024年6月28日試卷滿分：150分★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某校高三年級(jí)有810名學(xué)生，其中男生有450名，女生有360名，按比例分層隨機(jī)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數(shù)分別為（）A.40，32 B.42，30 C.44，28 D.46，26【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣原理求出抽取的人數(shù)．【詳解】根據(jù)分層抽樣原理知，，，所以抽取男生40人，女生32人．故選：A.2.下列統(tǒng)計(jì)量中，都能度量樣本的集中趨勢(shì)的是（）A.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差與極差B.樣本的中位數(shù)與平均數(shù)C.樣本的極差與眾數(shù)D.樣本的方差與平均數(shù)【答案】B【解析】【分析】利用度量集中趨勢(shì)和離散程度數(shù)據(jù)區(qū)別，可判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)書中知識(shí)可知：度量數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的是中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，度量數(shù)據(jù)離散程度的是方差，標(biāo)準(zhǔn)差，極差，所以本題B是正確的，故選:B.3.在正方體中，二面角的大小是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，根據(jù)二面角的定義，結(jié)合正方體的線面關(guān)系判斷出待求二面角的平面角即可求解.【詳解】如圖，由正方體的性質(zhì)易知平面，平面，平面，則，而平面平面，則為二面角的平面角，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，即二面角的大小?故選：B.4.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列結(jié)論不正確的是（）A.若，則B.若，，則C.若，則D.若，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)空間中的直線、平面的位置關(guān)系結(jié)合反例一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，若，則可能相交，如下圖所示，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，若，，則或，如下圖所示，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，如圖所示，，顯然不一定垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)可知若，則，即D正確.故選：ABC5.設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則下列關(guān)系中正確的是A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】∵∴?=3(?)；∴=?.故選A6.如圖，一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面直徑和它們的高都與一個(gè)球的直徑相等，下列結(jié)論不正確的是（）A.圓柱的側(cè)面積為B.圓錐的側(cè)面積為C.圓柱的體積等于圓錐與球的體積之和D.三個(gè)幾何體的表面積中，球的表面積最小【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓錐，圓柱，以及球的表面積和體積公式，即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)A，圓柱的側(cè)面積等于，A正確；對(duì)B，圓錐的母線長為，所以圓錐的側(cè)面積為，B正確；對(duì)C，圓柱的體積為，圓錐的體積為，球的體積為，所以，C正確，對(duì)D，圓柱的表面積，圓錐的表面積，球的表面積為，由于，所以圓錐的表面積最小，D錯(cuò)誤；故選：D．7.如圖，四棱錐中，底面為菱形，側(cè)面為等邊三角形，分別為的中點(diǎn)，給出以下結(jié)論：①平面；②平面；③平面與平面交線為，則；④平面．則以上結(jié)論正確的序號(hào)為A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②③④【答案】C【解析】【分析】首先分析圖形，取PD中點(diǎn)M，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，易知，，故①②正確，根據(jù)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理，可證得，得到③正確，非常容易得出④不正確，從而選出正確的結(jié)果.【詳解】取中點(diǎn)，易知，結(jié)合平面，平面，根據(jù)線面平行的判定定理，得知①正確；根據(jù)題意，可知，從而得到四邊形FCME是平行四邊形，所以，根據(jù)線面平行的判定定理，得知②正確；得平面，由線面平行的性質(zhì)可知，③正確，④顯然不正確，故選C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)判定立體幾何中的命題的正確性的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線面平行的判定，線面平行的性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵.8.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，有四個(gè)結(jié)論：①與是異面直線；②相交于一點(diǎn)；③過A，M，P的平面截正方體所得的圖形為平行四邊形；④過A，M，N的平面截正方體所得的圖形為五邊形；其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由空間中直線與直線，直線與平面位置關(guān)系依次判斷即可.【詳解】對(duì)于①，連接，如圖所示：由分別是的中點(diǎn)，可得，可得與共面，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫杂僧惷嬷本€的定義可得，與是異面直線，則不相交于一點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由①知，過A，M，P的平面截正方體所得的圖形為四邊形，而，故四邊形不是平行四邊行，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，取，則過A，M，N的平面截正方體所得的圖形為五邊形，故④正確.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.設(shè)復(fù)數(shù)，則下列命題結(jié)論不正確的是（）A.的虛部為1B.C.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限D(zhuǎn).是方程的根【答案】BCD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算就可以作出判斷.【詳解】由，可得：，所以的虛部為，即A是錯(cuò)誤的；由，可知，即B是正確的；由可知在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，即C是正確的；由方程的根為，即D是正確的；故選：BCD.10.已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.與的夾角為 D.在上的投影向量為【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)模長公式即可求解A，根據(jù)向量的線性的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解B，根據(jù)夾角公式即可求解C，根據(jù)投影向量的定義，即可求解D.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B,,而，故與不共線，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，，由于，故與的夾角為，C正確，對(duì)于D，在上的投影向量為，故D正確，故選：CD11.已知正四面體的棱長為，則（）A.正四面體的外接球表面積為B.正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值C.正四面體的相鄰兩個(gè)面所成二面角的正弦值為D.正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的體積最大值為【答案】BD【解析】【分析】將棱長為的正四面體放到棱長為的正方體中，正方體的外接球即為正四面體的外接球，從而判斷A，利用等體積法判斷B，設(shè)中點(diǎn)為，連接，，則為所求二面角的平面角，利用余弦定理計(jì)算可判斷C，求出正四面體內(nèi)切球的半徑此時(shí)即為最大的正四面體的外接球的半徑，從而判斷D.【詳解】棱長為的正四面體的外接球與棱長為的正方體的外接球半徑相同，設(shè)外接球的半徑為，則，所以，所以A錯(cuò)誤．設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離分別為，設(shè)正四面體的高為，又，由等體積法可得，，所以為定值，所以B正確．如圖所示，設(shè)中點(diǎn)為，連接，，則，，故為所求二面角的平面角，，，由余弦定理得，則，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)D，要使正四面體在四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正四面體的外接球要在四面體內(nèi)切球內(nèi)部，當(dāng)正四面體的外接球恰好為四面體內(nèi)切球時(shí)，正四面體的體積最大值，又，，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為，則，即，解得，所以正四面體的外接球半徑為．設(shè)正四面體的邊長為，則，所以，故體積，即正四面體的體積最大值為，所以D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及到正四面體外接球一般將其放到正方體中，正方體的體對(duì)角線即為正方體外接球的直徑.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，若，則的面積為__________.【答案】【解析】【分析】利用直觀圖與原圖形的面積比求解即可.【詳解】由題意得，而，故，解得，故的面積為.故答案為：13.已知向量，則與垂直的單位向量的坐標(biāo)為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)與向量垂直的單位向量為，利用與向量垂直，且為單位向量得到關(guān)于的方程組，再解方程組可得答案.【詳解】設(shè)與向量垂直的單位向量為，則，解得，或，所以，或.故答案為：.14.如圖，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為，正三棱錐的側(cè)面和底面所成角為和位于平面的異側(cè)，且兩個(gè)正三棱錐的所有頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則__________，的最大值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知為外接球直徑即得；先設(shè)，外接球半徑為R，則由以及已知條件可求得，再根據(jù)幾何體結(jié)構(gòu)特征得，再結(jié)合兩角和正切公式以及基本不等式即可求解.【詳解】由幾何體結(jié)構(gòu)特征可知為外接球直徑，所以；連接，交平面于點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，由正棱錐性質(zhì)知，且，則、，，設(shè)，外接球半徑為R，則，所以由得，，又，故，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，故.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解的關(guān)鍵是由以及已知數(shù)據(jù)求出.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.果切是一種新型水果售賣方式，商家通過對(duì)整果進(jìn)行消洗?去皮?去核?冷藏等操作后，包裝組合銷售，在“健康消費(fèi)”與“瘦身熱潮”的驅(qū)動(dòng)下，果切更能滿足消費(fèi)者的即食需求.（1）統(tǒng)計(jì)得到10名中國果切消費(fèi)者每周購買果切的次數(shù)依次為：，求這10個(gè)數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)與方差；（2）統(tǒng)計(jì)600名中國果切消費(fèi)者的年齡，他們的年齡均在5歲到55歲之間，按照分組，得到頻率分布直方圖.估計(jì)這600名中國果切消費(fèi)者年齡的中位數(shù)及平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）.【答案】（1）第70百分位數(shù)為6.5；方差（2）；【解析】【分析】(1)百分位數(shù)先排序，再利用分位數(shù)公式求解即可.(2)根據(jù)頻率直方圖結(jié)合中位數(shù)和平均數(shù)的求法計(jì)算求解.【小問1詳解】按從小到大順序：1，3，4，4，5，6，6，7，7，7，由于，故第70百分位數(shù)為；平均數(shù)，【小問2詳解】由可得，所以，解得，所以這600名中國果切消費(fèi)者年齡的中位數(shù)為24.其平均數(shù)16.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若．（i）求的值；（ii）求的面積．【答案】（1）（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）（i）結(jié)合三角函數(shù)的同角公式，以及正弦兩角和公式，即可求解；（ii）結(jié)合正弦定理，以及三角形的面積公式，即可求解.【小問1詳解】已知，由余弦定理，則，又，則.【小問2詳解】（i），由正弦定理有，得，故，.（ii）由正弦定理可知，，故的面積為.17.如圖，正方體的棱長為1，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：平面.（2）求異面直線與所成角的大小.（3）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用線線平行證明線面平行即得；（2）利用平移得到與所成角為，解三角形即得；（3）連接，過作于點(diǎn)，先證平面，再證平面，即得直線與平面所成角，結(jié)合即可求得.【小問1詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，且平面，所以平?【小問2詳解】因，且，易得，則有，由（1）得，故與所成角為（或其補(bǔ)角）.因?yàn)?，所以，即與所成角的大小為.【小問3詳解】連接，過作于點(diǎn).因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又且，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，又，且，平面，所以平面，所以直線與平面所成角為（或其補(bǔ)角）.因?yàn)檎襟w的邊長為1，所以，，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決異面直線的夾角問題，大多通過平移將兩直線集中到一個(gè)三角形中，利用三角函數(shù)定義或正弦定理，余弦定理求解；對(duì)于線面所成角，一般需要作出并證明直線在平面上的射影，借助于直角三角形求解.18.（1）已知，，點(diǎn)在線段的延長線上，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若是夾角為的兩個(gè)單位向量，求：（i）的值；（ii）函數(shù)的最小值；（3）請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)結(jié)論中任選一個(gè)用向量方法證明．①余弦定理；②平行四邊形的對(duì)角線的平方和等于其四邊長的平方和；③三角形的三條中線交于一點(diǎn)．注：如果選擇多個(gè)結(jié)論分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）（i），（ii）；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，依題意可得，從而得到方程組，解得即可；（2）（i）根據(jù)及數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得；（ii）由，結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解；（3）根據(jù)所選條件，畫出圖形，結(jié)合向量的運(yùn)算證明即可.【詳解】（1）設(shè)，則，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段的延長線上，且，所以，所以，解得，所以；（2）（i）因?yàn)?，為單位向量，所以，，所以；（ii）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為；（3）若選①：余弦定理：三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍．證明：如圖，設(shè)，由三角形法則有，所以即.同理可得，，.若選②：在平行四邊形中，，為對(duì)角線，證明：.根據(jù)條件作出圖形，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，，，所以，因?yàn)?，所以，所以，即平行四邊形的?duì)角線的平方和等于其四邊長的平方和；若選③：在中，，，分別為，，的中點(diǎn)，證明：，，相交于一點(diǎn).由題意作出圖形，設(shè)，，則，，，設(shè)，相交于一點(diǎn)，，，則，，又，所以，解得，，所以，再設(shè)，相交于一點(diǎn)，同理可證得，即，重合，即，，相交于一點(diǎn)，所以三角形的三條中線交于一點(diǎn).19.如圖，已知三棱臺(tái)的體積為，平面平面，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，且，

（1）證明：平面；（2）求點(diǎn)到面的距離；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在，求出的長，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明