湖南省邵陽市邵東市223-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2024年上學(xué)期高一聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算以及復(fù)數(shù)模的定義即可得到答案.【詳解】，所以故選：D．2.某校高一學(xué)生550人，高二學(xué)生500人，高三學(xué)生450人，現(xiàn)有分層抽樣，在高三抽取了18人，則高二應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.24 B.22 C.20 D.18【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的知識求得正確答案.【詳解】設(shè)高二應(yīng)抽取的人數(shù)為人，則，解得人.故選：C3.已知向量滿足，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】向量在向量上的投影向量的定義計算即可.【詳解】解：因為向量，且，那么，所以向量在向量上的投影向量為，故選：C.4.已知、、是三個不同的平面，、、是三條不同的直線，則（）A.若，，則 B.若，，，則C.若，，，則 D.若，且，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.【詳解】對于A：若，，則或與相交或與異面，故A錯誤；對于B：根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可知，若，且，，則，故B正確；對于C：若，，則，又，則或與相交或與異面，故C錯誤；對于D：若，且，則或，故D錯誤.故選：B5.下表是足球世界杯連續(xù)八屆的進(jìn)球總數(shù)年份19941998200220062010201420182022進(jìn)球總數(shù)141171161147145171169172則進(jìn)球總數(shù)的第一四分位數(shù)是（）A.145 B.146 C.147 D.166【答案】B【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序重新排列，取第二和第三個數(shù)的平均數(shù)即可求得第一四分位數(shù).【詳解】將八屆進(jìn)球總數(shù)按照從小到大的順序重新排列為：，由可得，第一四分位數(shù)應(yīng)該是第二個數(shù)和第三個數(shù)的平均數(shù)，即，所以進(jìn)球總數(shù)的第一四分位數(shù)是146.故選：B6.一個質(zhì)地均勻的正四面體的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4.連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，并記錄每次正四面體朝下的面上的數(shù)字.記事件為“兩次記錄的數(shù)字和為奇數(shù)”，事件為“兩次記錄的數(shù)字和大于4”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則（）A.與互斥 B.與對立C.與相互獨立 D.與相互獨立【答案】D【解析】【分析】列舉出基本事件，對四個選項一一判斷：對于A：由事件A與D有相同的基本事件，否定結(jié)論；對于B：由事件C與D有相同的基本事件，否定結(jié)論；對于C、D：利用公式法進(jìn)行判斷.【詳解】連續(xù)拋擲這個正四面體兩次，基本事件有：.其中事件A包括：.事件B包括：.事件C包括：.事件D包括：.對于A：因為事件A與D有相同的基本事件，故與互斥不成立.故A錯誤；對于B：因為事件C與D有相同的基本事件，故C與對立不成立.故B錯誤；對于C：因為,,而.因為，所以與不是相互獨立.故C錯誤；對于D：因為,,而.因為兩個事件的發(fā)生與否互不影響，且，所以與相互獨立.故D正確.故選：D7.點為所在平面內(nèi)的點，且有，，，則點分別為的（）A.垂心，重心，外心 B.垂心，重心，內(nèi)心C.外心，重心，垂心 D.外心，垂心，重心【答案】A【解析】【分析】由題中向量的關(guān)系，根據(jù)數(shù)量積轉(zhuǎn)化為位置上的關(guān)系，進(jìn)而可判斷.【詳解】由，得，即，則，得所以，則，同理可得，，即是三邊上高的交點，則為的垂心；由，得，設(shè)的中點為，則，即，，三點共線，所以在的中線上，同理可得在的其余兩邊的中線上，即是三邊中線的交點，故為的重心；由，得，即，又是的中點，所以在的垂直平分線上，同理可得，在，的垂直平分線上，即是三邊垂直平分線交點，故是的外心，故選：A8.在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在中由余弦定理求得，即知為等邊三角形，又由已知，若的外接圓的圓心為有為菱形，則平面ABC，進(jìn)而確定外接球球心O，由球心與相關(guān)點的位置關(guān)系求球的半徑，最后求表面積即可.【詳解】在中，，即，又，∴為等邊三角形根據(jù)題意，有如下示意圖：如圖，設(shè)的外接圓的圓心為，連接，，，連接PH.由題意可得，且，.∴由上知：且，又，∴，由，平面ABC.設(shè)O為三棱錐外接球的球心，連接，，OC過O作，垂足為D，則外接球的半徑R滿足，，，代入解得，即有，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用三角形的性質(zhì)確定三棱錐一面的外接圓圓心，由三棱錐外接球球心與面的外接圓圓心的關(guān)系以及已知線段的長度求球體半徑，即可求球體的體積.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某校舉辦數(shù)學(xué)文化節(jié)活動，10名教師組成評委小組，給參加數(shù)學(xué)演講比賽的選手打分.已知各位評委對某名選手的打分如下：則下列結(jié)論正確的為（）A.平均數(shù)為48 B.極差為9C.中位數(shù)為47 D.第75百分位數(shù)為51【答案】BC【解析】【分析】運用平均數(shù)、極差、中位數(shù)及百分位數(shù)的公式計算即可.【詳解】對于A項，平均數(shù)為，故A項錯誤；對于B項，極差為，故B項正確；對于C項，這組數(shù)從小到大排序為：、、、、、、、、、，所以中位數(shù)為.故C項正確；對于D項，因為，所以第75百分位數(shù)為49.故選：BC10.中，內(nèi)角的對邊分別為，為的外心，，，的面積滿足.若.則下列結(jié)論正確的是（

）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】分析】由余弦定理、面積公式、輔助角公式化簡條件可判斷A；利用面積公式計算可判斷B；分別取的中點可得，求出、，再計算可判斷C；對兩邊分別乘以可判斷D．【詳解】對于A，由，得，由余弦定理得，即，得，又，故，∴，即，所以A正確；對于B，，所以B錯誤；對于C，如圖，分別取的中點，連接，，所以，，，所以C正確；對于D，，由，可知，得，解得：，，故，所以D正確．故選：ACD.11.如圖，在正方體中，，點為線段上的一動點，則（）A.三棱錐的體積為定值B.當(dāng)時，直線與平面所成角的正切值為C.直線與直線所成角的余弦值可能為D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用等體積法可知三棱錐的體積為定值，即A正確；由可得為的中點，利用線面角的定義可得直線與平面所成角的正切值為，即B錯誤；將直線平移可知當(dāng)時，滿足直線與直線所成角的余弦值為，即C正確；利用平面展開圖和正方體的棱長即可求得的最小值為，可得D正確.【詳解】對于A，根據(jù)等體積法可知，點在線段上運動時，的面積為定值，，此時即為三棱錐的高，所以；即點在線段上運動時，三棱錐的體積為定值，即A正確；對于B，當(dāng)時即可知，為線段的中點，取的中點為，連接，如下圖所示：易知，由正方體性質(zhì)可得平面，所以可得平面；即直線與平面所成角的平面角即為，易知，且，所以，所以B錯誤；對于C，在上取一點，使，取中點為，連接，如下圖所示：則可得，異面直線與直線所成的角的平面角即為，易知，所以可得，因此，若直線與直線所成角的余弦值為，即，可得；又，可得符合題意；所以C正確；對于D，易知，所以，即當(dāng)取最小時，的值最??；將正方體展開使得在同一平面內(nèi)，如下圖所示：易知，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，取最小值，所以，即的最小值為，所以D正確.故選：ACD【點睛】方法點睛：在立體幾何中求解距離最值問題時，往往利用平面展開圖轉(zhuǎn)化成平面距離最值問題，從而求得空間當(dāng)中距離最值的問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若，則實數(shù)__________．【答案】【解析】【分析】由向量的加法、減法運算，數(shù)乘運算可得：,,由向量共線的坐標(biāo)運算可得：，求解即可.【詳解】解:因為向量，所以,,又，所以,解得,故答案為.【點睛】本題考查了向量的加法、減法運算，數(shù)乘運算及向量共線的坐標(biāo)運算，重點考查了運算能力，屬基礎(chǔ)題.13.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如，在不超過11的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)的概率是________（用分?jǐn)?shù)表示）．【答案】##【解析】【分析】先把不超過11的素數(shù)列舉出來，再利用列舉法與古典概型的概率求法求解即可.【詳解】因為不超過11的素數(shù)有五個數(shù)，從中選取兩個不同的數(shù)的基本事件有共10件；其中和為偶數(shù)的基本事件有共6件；所以和為偶數(shù)的概率為.故答案為：.14.《九章算術(shù)·商功》中描述幾何體“陽馬”為底面為矩形，一棱垂直于底面的四棱錐.現(xiàn)有陽馬，如圖，平面，，，點，分別在線段，上，則當(dāng)空間四邊形的周長最小時，直線與平面所成角的正切值為____________.【答案】【解析】【分析】將平面沿展開，延長到，使得，可確定當(dāng)空間四邊形周長最小時，四點共線，此時在四棱錐中，作，，由線面垂直和面面垂直的判定與性質(zhì)可證得即為所求角，根據(jù)長度關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】把平面PAB沿AB展開到與平面ABCD共面的的位置，如圖1，延長DC到使得連接則.因為PD的長度為定值，所以要使空間四邊形PEFD的周長最小，只需使最小,即四點共線，此時，在圖2中，過點作的延長線于點G,連接PG,平面平面,又平面平面PAG,平面,平面平面,過作于點H,則平面,故即直線PA與平面PFD所成的角.,則在中,故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何中的直線與平面所成角的求解，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)空間四邊形周長最小確定四點共線，由此可得四棱錐中各點的位置關(guān)系.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知向量，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；（2）若當(dāng)時，關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，；；（2）.【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算,并利用兩角和差的三角函數(shù)公式化簡得到函數(shù)的解析式，有三角函數(shù)的性質(zhì)求得周期，單調(diào)增區(qū)間；（2）將不等式分離參數(shù)，根據(jù)不等式有解的意義得到；然后根據(jù)角的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而求得的的取值范圍.【詳解】（1）因為所以函數(shù)的最小正周期；因為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，所以，，解得，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，；（2）不等式有解，即；因為，所以，又，故當(dāng)，即時，取得最小值，且最小值為，所以.16.如圖，在三棱柱中，直線平面，平面平面.（1）求證：；（2）若，在棱上是否存在一點，使得四棱錐的體積為？若存在，指出點的位置；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見講解；（2）當(dāng)點為中點時，四棱錐的體積為，理由見詳解.【解析】【分析】（1）過點作，垂足為，由面面垂直性質(zhì)定理及線面垂直判定定理，即可證明；（2）設(shè)點到平面的距離為，由棱錐的體積公式求出，與到平面的距離比較可得出點為中點時，符合題意.【小問1詳解】過點作，垂足為，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以，又因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】當(dāng)點為中點時，四棱錐的體積為，理由如下：過點作，交于點，因為平面，平面，所以，又，所以，由（1）可知，，所以，即，所以，設(shè)點到平面的距離為，則，所以，即到平面的距離為，在三棱柱中，，由（1）可知，平面，所以平面，又，所以，又，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為，即，故為中點，所以為中點時，四棱錐體積為.17.4月23日是聯(lián)合國教科文組織確定的“世界讀書日”.某高校為了了解全體師生閱讀時間的分配情況，對全校師生進(jìn)行抽樣問卷調(diào)查日平均閱讀時間（單位：小時），得到樣本數(shù)據(jù)，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖估算全校師生日平均閱讀時間；（每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點值作代表）（3）將（2）所得到的日平均閱讀時間保留為整數(shù)，并根據(jù)頻率分布直方圖估算師生日平均閱讀時間的方差.【答案】（1）（2）9.16（小時）（3）9；13.28.【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖概率之和為1，求解即可；（2）由頻率分布直方圖平均數(shù)的計算公式求解即可；（3）由頻率分布直方圖的方差公式求解即可.【小問1詳解】由概率和為1得：，解得.【小問2詳解】由題意知，為全校師生日平均閱讀時間，則，所以全校師生日平均閱讀時間為（小時）.【小問3詳解】將保留整數(shù)則，由題意知：所以估算師生日平均閱讀時間的方差為13.28.18.如圖所示，長方形中，，，點是邊的中點，將沿翻折到，連接，得到圖的四棱錐．（1）求四棱錐的體積的最大值；（2）若棱的中點為，求的長；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）確定當(dāng)平面⊥平面時四棱錐的體積取得最大值，結(jié)合棱錐的體積公式計算即可求解；（2）如圖，根據(jù)題意和中位線的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，結(jié)合勾股定理計算即可求解.【小問1詳解】取的中點，連接，因為，則，當(dāng)平面⊥平面時，點到平面的距離最大，四棱錐的體積取得最大值，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，易得此時平面，且，底面為梯形，面積為，則四棱錐的體積最大值為；【小問2詳解】取中點，連接，因為為