專題282銳角三角函數(shù)（全章分層練習）（基礎練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練（人教版）

專題28.2銳角三角函數(shù)（全章分層練習）（基礎練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2018·天津和平·統(tǒng)考一模）的值是（

）A． B． C． D．2．（2023上·山東青島·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，已知AC=3，CD=2，則cosA的值為（

）A． B． C． D．3．（2023上·山東泰安·九年級統(tǒng)考期中）在中，，則的面積為（

）．A． B． C．或 D．或4．（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在等腰中，點D在邊延長線上，若，求（

）A． B．7 C． D．5．（2022上·山東濰坊·九年級?？茧A段練習）如圖，△ABC的頂點都是正方形網(wǎng)格的格點，則sin∠ABC等于（

）A． B． C． D．6．（2016·湖北荊州·中考真題）如圖，在Rt△AOB中，兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，將△AOB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′O′B．若反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過斜邊A′B的中點C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，則k的值為（）A．3 B．4 C．6 D．87．（2023·河北唐山·統(tǒng)考模擬預測）如圖，電線桿的中點處有一標志物，在地面點處測得標志物的仰角為35°，若拉線的長度是米，則電線桿的長可表示為（）A．米B．米 C．米 D．米8．（2020上·吉林長春·九年級統(tǒng)考期末）在中，分別為所對的邊則下列等式中不正確的是（

）A． B． C． D．9．（2018上·吉林長春·九年級階段練習）如圖已知斜坡AB長米，坡角（即∠BAC）為45°，BC⊥AC，現(xiàn)計劃在斜坡中點D處挖去部分斜坡，修建一個平行于水平線CA的休閑平臺DE和一條新的斜坡BE．若修建的斜坡BE的坡度為，休閑平臺DE的長是（）米A．20 B．15 C． D．10．（2022上·福建泉州·九年級泉州五中?？计谥校┮蝗顺搜┣裂仄卤?：的斜坡筆直滑下，滑下的距離s（m）與時間t（s）之間的關系為s＝8t＋2t2，若滑到坡底的時間為5s，則此人下降的高度為（

）A．90m B．45m C．45m D．90m填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2019下·重慶·八年級重慶市鳳鳴山中學校考期中）計算：.12．（2020·四川自貢·?？家荒＃┰谥?，，則的形狀是．13．（2020上·上海靜安·九年級上海市民辦揚波中學?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，垂足為E，如果，，，那么．

14．（2023上·陜西西安·九年級西安市鐵一中學?？茧A段練習）如圖，矩形的頂點A在反比例函數(shù)的圖象上，對角線軸，交y軸于點D．若矩形的面積是6，，則．

15．（2022·遼寧沈陽·沈陽市外國語學校?？家荒＃┤鐖D，在斜坡AB上有一棵樹BD，由于受臺風影響而傾斜，恰好與坡面垂直，在地面上C點處測得樹頂部D的仰角為60°，測得坡角∠BAE=30°，AB=6米，AC=4米．則樹高BD=．16．（2020·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知四邊形ABCD，AC與BD相交于點O，∠ABC=∠DAC=90°，，則=．17．（2023上·上海閔行·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，邊的垂直平分線交邊于點D，交邊于點E，連結(jié)，那么的值是．18．（2019下·九年級單元測試）如圖，某商場停車場門口的柱子上方掛著一塊收費標準牌，收費標準牌的一側(cè)用繩子和牽引著兩排小彩旗，經(jīng)過測量得到如下數(shù)據(jù)：米，米，，，則的長度為米．（結(jié)果保留根號）

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023上·山東泰安·九年級統(tǒng)考期中）計算．（1）； （2）．20．（8分）（2023上·上海閔行·九年級校聯(lián)考期中）已知：如圖，在中，，，，是邊上的中線．（1）求的面積；（2）求的余切值．21．（10分）（2023上·河北秦皇島·九年級統(tǒng)考期中）北海合浦文昌塔始建于明朝萬歷四十年（公元1613），距今已有三百多年歷史，是取南方丁火文明之義．文昌塔現(xiàn)為廣西南部寶塔之冠，這對研究古代文化藝術及建筑力學都有較大的價值．如圖，某校數(shù)學興趣小組的同學欲測量文昌塔的高度，他們先在A處測得文昌塔頂端點D的仰角為，再沿著的方向后退至C處，測得文昌塔頂端點D的仰角為．求該文昌塔的高度.（，結(jié)果保留一位小數(shù)）22．（10分）（2021·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，點P為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點，點P的縱坐標為4，軸，垂足為點B．（1）求m的值；（2）點M是函數(shù)圖象上一動點，過點M作于點D，若，求點M的坐標．23．（10分）（2022·浙江·九年級專題練習）把矩形紙片ABCD，先沿AE折疊使點B落在AD邊上的B'，再沿AC折疊，恰好點E也落到AD上，記為E'．（1）求∠B'EE'的度數(shù)；（2）求∠DAC的正切值．24．（12分）（2022·山東濟寧·統(tǒng)考中考真題）閱讀理解：如圖1在銳角△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，其外接圓的半徑為r，作直徑BD，連接DC，則∠A＝∠D．∵BD是直徑，∴∠BCD＝90°，∴在Rt△BCD中，，∴，．解決問題：如圖2，在△ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，BC=2．（1）求△ABC外接圓的半徑r；（2）求sinC的值．參考答案：1．D【分析】根據(jù)特殊角三角函數(shù)值，可得答案．解：，故選：D．【點撥】本題考查了特殊角三角函數(shù)值，熟記特殊角三角函數(shù)值是解題關鍵．2．A【分析】利用直角三角形的斜邊中線與斜邊的關系，先求出AB，再利用直角三角形的邊角關系計算cosA．解：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的中線，∴AB=2CD=4,∴cosA==.故選A.【點撥】本題考查了直角三角形斜邊的中線與斜邊的關系、銳角三角函數(shù)．掌握直角三角形斜邊的中線與斜邊的關系是解決本題的關鍵．在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半．3．B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理解三角形確定高，即可得出面積．解：如圖，過點作于點，∵，∴，∴，設，則,∴,在中，，∴解得：（負值舍去）∴，此時重合，如圖，∴的面積為,故選：B．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解一元二次方程，掌握勾股定理是解題的關鍵．4．A【分析】過C點作于E點，根據(jù)，，設，，即：，根據(jù)是等腰直角三角形，可得，即有，再根據(jù)，可得，，可得，問題得解．解：過C點作于E點，如圖，∵，∴是直角三角形，∵，，∴設，，即：，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴、是直角三角形，∵，∴，，∵，∴，∴在中，，故選：A．【點撥】本題主要考查了解直角三角形的知識，掌握正切函數(shù)、正弦函數(shù)的基本性質(zhì)是解答本題的關鍵．5．A【分析】如圖，過點A作AD⊥BC于D，解直角三角形即可解決問題．解：如下圖，過點A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，，，故選：A．【點撥】本題考查了勾股定理的應用，解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，注意直角．6．C解：設點C坐標為（x，y），作CD⊥BO′交邊BO′于點D，∵tan∠BAO=2，∴，∵S△ABO=?AO?BO=4，∴AO=2，BO=4，∵△ABO≌△A'O'B，∴AO=A′O′=2，BO=BO′=4，∵點C為斜邊A′B的中點，CD⊥BO′，∴CD=A′O′=1，BD=BO′=2，∴x=BO－CD=4－1=3，y=BD=2，∴k=x?y=3×2=6．故選C．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵在于讀懂題意，作出合適的輔助線，求出點C的坐標，然后根據(jù)點C的橫縱坐標之積等于k值求解即可．7．C【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后根據(jù)中點的定義可得出結(jié)論．解：∵，∴，∵點C是的中點，∴．故選：C．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應用—仰角俯角問題，解答此題的關鍵是熟記銳角三角函數(shù)的定義．8．B【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可．解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則sin，即，故A正確，不符合題意；，即，故B不正確，符合題意；，即，故C正確，不符合題意；，即，故D正確，不符合題意；故選：B．【點撥】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦；銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦；銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切．9．A解：試題解析：作DP⊥AC，垂足為點P，延長DE交BC于點F，∵FD∥CA，∴∠BDF=∠BAC=45°，∵斜坡AB長60米，D是AB的中點，∴BD=30米，∴DF=BD?cos∠BDF=30×=30（米），BF=DF=30米，∵斜坡BE的坡比為3：1，∴，解得：EF=10（米），∴DE=DFEF=3010=20（米）．故選A.10．B【分析】根據(jù)題意求出滑下的距離s，根據(jù)坡度的概念求出坡角，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)解答即可．解：設斜坡的坡角為α，當t=5時，，∵斜坡的坡比1：，∴tanα=，∴α=30°，∴此人下降的高度=×90=45（m），故選：B．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應用坡度坡角問題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．11．【分析】先化簡二次根式，計算零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、絕對值，再計算加減可得．解：＝，故答案為：．【點撥】本題主要考查實數(shù)的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握實數(shù)的混合運算順序和運算法則等知識點．12．等邊三角形【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出，，再根據(jù)三角函數(shù)作答．解：∵，∴，，即，，∴，，∴，則一定是等邊三角形，故答案為:等邊三角形．【點撥】本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，等邊三角形的判定，數(shù)量掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵．13．/【分析】先解直角三角形求得、，再利用平行四邊形的性質(zhì)證得，然后利用等角對等邊證得，在中求解即可求解．解：∵在中，，，∴，則，∵四邊形是平行四邊形，，∴，，，，∴，，∴，在中，，∴，故答案為：．【點撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，證明是解答的關鍵．14．//【分析】過A作軸于M，、則

，先根據(jù)矩形性質(zhì)求得，，再根據(jù)余弦定義得到，證明求得，利用求解k值即可．解：過A作軸于M，、則

，

∵四邊形是矩形，面積是6，∴，，∵，∴，∵軸，∴，又，∴，∴，∴，又，∴，故答案為：．【點撥】本題考查矩形的性質(zhì)、反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，利用相似三角形的性質(zhì)求得的面積是解答的關鍵．15．（2+4）米/（4+）米【分析】過A作AM⊥AB交CD于M，再過M作MN⊥BD于N，可得△MCA是等邊三角形；再由ABNM是矩形求得BN和MN的長；然后解Rt△DMN求得DN的長即可解答.解：如圖，過A作AM⊥AB交CD于M，再過M作MN⊥BD于N，∵∠CAM=180°∠MAB∠BAE=60°，∠C=60°，∴△MCA是等邊三角形，∴AM=AC=4米，∠AMC=60°，∵∠ABN=∠MAB=∠MNB=90°，∴四邊形ABNM是矩形，∴MN=AB=6米，BN=AM=4米，∠AMN=90°，Rt△DMN中，∠DMN=180°∠AMN∠AMC=30°，∴DN=MN?tan∠DMN==米，∴BD=BN+ND=（+4）米，故答案為：（+4）米.【點撥】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形；正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關鍵．16．【分析】過B點作BE//AD交AC于點E，證明，得到再證明利用設利用三角形的面積公式可得答案．解：過B點作BE//AD交AC于點E，BE⊥AD，，∴∴由，∴設則故答案為：17．/【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，設，由線段垂直平分線的性質(zhì)推出，由勾股定理得到，求出，因此，根據(jù)即可求出．解：設，則，垂直平分，∴，，，∴，∴，∴，∴．故答案為：．18．【分析】直接根據(jù)題意得出DM的長，再求出BM，根據(jù)正切函求得CM的長，進而得出答案．解：在Rt△AMD中，∠MAD=45°，∴DM=AM=4（m），在Rt△BMC中，∠MBC=30°，∴CM=BM?tan30°，∵BM=AM+AB=4+8=12（m），∴CM=12，∴CD=CMDM=（米），答：警示牌的高CD為（）米．故答案為：．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用特殊角的三角函數(shù)解答．19．（1）；（2）【分析】此題考查了實數(shù)的混合運算能力，關鍵是能準確確定運算順序和方法，并能進行正確地計算；（1）先計算零次冪、二次根式和特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘法，最后計算加減；（2）先計算絕對值和特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘法，最后計算加減；解：（1）；（2）．20．（1）42；（2）【分析】本題考查了勾股定理，三角函數(shù)的定義，三角形中位線定理．（1）作，垂足為點H．先由，可設，那么，根據(jù)勾股定理得出，在直角中，由，得出，再根據(jù)，列出關于x的方程，解方程求出，得到，然后根據(jù)的面積即可求解；（2）作，垂足為點M．先由，得到，由D為中點，得出M為的中點，由三角形中位線定理得出，則，然后在直角中根據(jù)余切函數(shù)的定義即可求出的余切值．（1）解：過點C作，點H為垂足，在中，，是等腰直角三角形，，在中，，，，設，則，，，，解得，，；（2）解：過點D作，點M為垂足，，，，D為中點，，由（1）知：，，，在中，，．21．該文昌塔的高度約為．【分析】先根據(jù)題意得出：∠BAD、∠BCD的度數(shù)及AC的長，再在Rt△ABD中可得出AB=BD，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出BD的長．解：根據(jù)題意可知：，在中，由，得，在中，由，得．又，，．答：該文昌塔的高度約為．【點撥】本題考查的是解直角三角形的應用仰角俯角問題，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握以上知識是解答此題的關鍵．22．（1）24；（2）M點的坐標為【分析】（1）根據(jù)交點坐標的意義，求得點P的橫坐標，利用k=xy計算m即可；（2）利用分類思想，根據(jù)正切的定義，建立等式求解即可.解：（1）∵點P縱坐標為4，∴，解得，∴，∴．（2）∵，∴，設，則，當M點在P點右側(cè)，∴M點的坐標為，∴（6+2t）（4t）=24，解得：，（舍去），當時，，∴M點的坐標為，當M點在P點的左側(cè)，∴M點的坐標為，∴（62t）（4+t）=24，解得：，，均舍去．綜上，M點的坐標為．【點撥】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)解析式的確定，三角函數(shù)，一元二次方程的解法，熟練掌握函數(shù)圖像交點的意義，靈活運用三角函數(shù)的定義，構(gòu)造一元二次方程并準確解答是解題的關鍵．23．（1）22.5°；（2）tan∠DAC＝【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可證明四邊形ABEB'為正方形．△AEE'為等腰三角形．故AE＝AE'，由∠B'AE＝∠AEB'＝45°，可推出∠AEE'＝∠A