1812平行四邊形的判定(精講)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)（原卷版）

平行四邊形的判定不等式的基本性質(zhì)平行四邊形的判定1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.注意：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).題型1：平行四邊形的判定（邊的關(guān)系）1.下列條件中，能判定一個(gè)四邊形是平行四邊形的是（）A．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等 B．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等 C．一組鄰邊相等，一組對(duì)角相等 D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角互補(bǔ)【變式11】如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A．AB∥DC，AB＝DC B．AB＝DC，AD＝BC C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD【變式12】如圖，已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊的中點(diǎn)，連DE并延長DE交AB延長線于點(diǎn)F，求證：四邊形DBFC是平行四邊形．題型2：平行四邊形的判定（角的關(guān)系）2.下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．1：2：3：4 B．1：4：2：3 C．1：2：2：1 D．3：2：3：2【變式21】求證：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形．【變式22】如圖，在四邊形ABCD中，AH、CG、BE、FD分別是∠A、∠C、∠B、∠D的角平分線，且BE∥FD，AH∥CG，證明四邊形ABCD為平行四邊形．題型3：平行四邊形的判定（對(duì)角線關(guān)系）3.如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，下列能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AO＝OC，AC＝BD B．BO＝OD，AC＝BD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝OC，BO＝OD【變式31】如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，且AD＝DC，則下列說法：①四邊形ABCD是平行四邊形；②AB＝BC；③AC⊥BD④AC平分∠BAD；⑤若AC＝6，BD＝8，則四邊形ABCD的面積為24．其中正確的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式32】如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥CD，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是OB，OD的中點(diǎn)，求證：四邊形AFCE是平行四邊形．題型4：平行四邊形的判定與坐標(biāo)4.在平面直角坐標(biāo)系中，以A（0，2），B（﹣1，0），C（0．﹣2），D為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，下列各點(diǎn)中，不能作為頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，4） B．（﹣1，﹣4） C．（﹣2，0） D．（1，0）【變式41】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找一點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)不可能是（）（2，4） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（﹣3，2）【變式42】在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣2，4）、（﹣5，2），點(diǎn)M是x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)N是y軸上的點(diǎn)，如果以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，那么符合條件的點(diǎn)M有（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式43】已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三點(diǎn)A（2，1），B（3，﹣1），C（﹣2，2），在平面內(nèi)求一點(diǎn)D，使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)．題型5：二次證明平行四邊形5.如圖，已知點(diǎn)E，C在線段BF上，BE＝EC＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）試判斷：四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式51】已知：如圖，在?ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分線AE、CF分別與對(duì)角線BD相交于點(diǎn)E，F(xiàn)．證明：四邊形AECF是平行四邊形．【變式52】如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)為BD上的點(diǎn)，BF＝DE，那么四邊形AECF是什么圖形？試用兩種方法證明．題型6：平行四邊形的判定與動(dòng)點(diǎn)問題6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為（10，0），（2，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，四邊形PCDA是平行四邊形？并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)△ODP是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式61】如圖，在?ABCD中，AB＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多長時(shí)間后，四邊形APQD是平行四邊形？【變式62】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13cm，BC＝10cm，BF∥AC，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以2cm/s的速度沿CA向終點(diǎn)A移動(dòng)，過P作PE∥BC交BF于點(diǎn)E，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示AP的長；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BPAE為平行四邊形，并說明理由；（3）求出四邊形BPAE的面積．題型7：平行四邊形的判定簡(jiǎn)單綜合7.如圖，在?ABCD中，E、F是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）連接BD交EF于點(diǎn)O，當(dāng)BE⊥EF時(shí)，BE＝8，BF＝10，求BD的長．【變式71】如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于O點(diǎn)，DE⊥AC于E點(diǎn)，BF⊥AC于F．（1）求證：四邊形DEBF為平行四邊形；（2）若AB＝20，AD＝13，AC＝21，求△DOE的面積．【變式72】如圖，四邊形ABCD中，EF過對(duì)角線交點(diǎn)，且OB+BE＝OD+DF，若OE＝OF，證明四邊形ABCD為平行四邊形．【變式73】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長線上的一點(diǎn)，且CF＝3BF，連接DB，EF．（1）求證：四邊形DEFB是平行四邊形；（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四邊形DEFB的周長．三角形的中位線1．連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.2．定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.注意：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都有相應(yīng)的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可重合的4個(gè)小三角形.因而每個(gè)小三角形的周長為原三角形周長的，每個(gè)小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.題型8：三角形的中位線（一條）8.如圖，在△ABC中，AC＝10，DE是△ABC的中位線，則DE的長度是（）A．3 B．4 C．4.8 D．5【變式81】如圖，DE為△ABC的中位線，點(diǎn)F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝7，BC＝10，則EF的長為．【變式82】如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直AE，垂足為點(diǎn)N，∠ACB的平分線垂直AD，垂足為點(diǎn)M，連接MN．若BC＝7，MN＝，則△ABC的周長為（）A．17 B．18 C．19 D．20【變式83】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，BE的延長線與CD的延長線相交于點(diǎn)F．（1）求證：DE是△BCF的中位線．（2）試連接BD，AF，判斷四邊形ABDF的形狀，并證明你的結(jié)論．題型9：三角形的中位線（多條）9.如圖，△ABC中，三條中位線圍成的△DEF的周長是15cm，則△ABC的周長是cm．【變式91】如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CD，M、N、P分別是AD、BC、BD的中點(diǎn)，若∠MPN＝130°，則∠NMP的度數(shù)為．【變式92】如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，P、M、N分別是AB、AC、BD的中點(diǎn)，若BC＝6，則△PMN的周長是．【變式93】如圖，△ABC的周長為a，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A1B1C1，再以△AB1C1各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A2B2C2，…如此下去，則△AnBn?n的周長為（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C．a(chǎn) D．a(chǎn)題型10：構(gòu)造三角形中位線解題10.如圖，已知AB＝AC，BD＝CD，DB⊥AB，DC⊥AC，且E、F、G、H分別為AB、AC、CD、BD的中點(diǎn)，求證：EH＝FG．【變式101】如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長線與AC的交點(diǎn)，求證：