006第六章離散系統(tǒng)Z域分析

第六章離散系統(tǒng)的Z域分析在連續(xù)系統(tǒng)中為微分方程，為避免解微分方程的麻煩，用拉普拉斯變換將求解微分方程的問題將轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的問題。在離散系統(tǒng)中我們有類似的方法。即Z變換，它也可以將求解差分方程的問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的問題?！?.1Z變換定義及其收斂域離散信號可以由連續(xù)信號抽樣得到：兩邊求雙邊拉普拉斯變換：定義序列f(k)的雙邊Z變換：定義序列f(k)的單邊Z變換：單邊Z變換后是一個關(guān)于z的冪級數(shù)F(z)是否存在，即F(z)是否等于一有限值，要看級數(shù)是否收斂§6.1Z變換定義及其收斂域序列收斂的充分必要條件為使級數(shù)收斂的Z的取值范圍稱為收斂域例：f(k)=akε(k)求F(z)及其收斂區(qū)。解：

說明：1、Z變換與連續(xù)系統(tǒng)中的拉普拉斯變換相對應(yīng)，也有雙邊與單邊之分。2、Z變換與拉普拉斯變換是有聯(lián)系的，它們之間的關(guān)系由表明。3、能量有限的有限長序列，單邊Z變換的收斂區(qū)為|z|>0。4、有始無終的單邊序列，單邊Z變換的收斂區(qū)總是在某一圓外。5、在收斂區(qū)中不應(yīng)包含極點(diǎn)。二、常用序列的Z變換1、單位函數(shù)δ(k)2、單位階躍序列ε(k)3、單邊指數(shù)序列f(k)=vkε(k)4、單邊正弦和余弦序列sin(βkT)

ε(k)，

cos(βkT)

ε(k)§6.1Z變換定義及其收斂域二、常用序列的Z變換1、單位函數(shù)δ(k)收斂區(qū)為整個Z平面∞≥|z|≥0。

2、單位階躍序列ε(k)3、單邊指數(shù)序列f(k)=vkε(k)4、單邊正弦和余弦序列sin(βkT)

ε(k)，

cos(βkT)

ε(k)同理§6.1Z變換定義及其收斂域所以：§6.1Z變換定義及其收斂域3、尺度變換4、Z域的微分性（時域線性加權(quán)）5、卷積定理1、線性性質(zhì)2、移序性質(zhì)6、初值定理和終值定理§6.2Z變換的性質(zhì)1、線性性質(zhì)若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)則：a1f1(k)+a2f2(k)←→a1F1(z)+a2F2(z)

a1，a2為常數(shù)。2、移序性質(zhì)若：f(k)←→F(z)

則：

收斂域保持不變§6.2Z變換的性質(zhì)例如：3、尺度變換證明：例如：4、Z域的微分（時域線性加權(quán)）證明：例：已知

則：這個性質(zhì)也可以重復(fù)使用§6.2Z變換的性質(zhì)5、卷積定理若：f1(k)←→F1(z),f2(k)←→F2(z)則：f1(k)*f2(k)←→F1(z).F2(z)

證明：

6、初值定理和終值定理終值定理：若F(z)的所有極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)或在z=1處有一個一階極點(diǎn)。則終值定理證明：6、初值定理和終值定理終值定理：若F(z)的所有極點(diǎn)位于單位圓內(nèi)或在z=1處有一個一階極點(diǎn)。則這是一個二階系統(tǒng)的差分方程的模擬方框圖可見它們沒有本質(zhì)的區(qū)別，只是將單位延時器D改成Z-1，相應(yīng)的變量改成Z域的變量即可。也可根據(jù)H(z)來作z域框圖若將寫成級聯(lián)和并聯(lián)也可畫出離散系統(tǒng)的級聯(lián)型和并聯(lián)型模擬方框圖。例：離散系統(tǒng)的方框圖如下，已知系統(tǒng)初值和激勵為y(0)=1,y(1)=2,e(k)=ε(k)。1、求系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定。2、寫出系統(tǒng)差分方程，并求出系統(tǒng)零輸入的初始條件yzi(0),yzi(1)。3、分別求出系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(k)和零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)。

系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、差分方程將k=-2,-1代入差分方程

§6.4離散系統(tǒng)的Z域分析Z變換是求解差分方程的工具一、直接求解例1：已知系統(tǒng)的差分方程為系統(tǒng)的激勵和初始條件為：求全響應(yīng)。

解：差分方程兩邊求Z變換這種方法的實(shí)質(zhì)是：二、從信號分析的角度分析系統(tǒng)將全響應(yīng)分為零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)來求，y(k)=yzi(k)+yzs(k)1、基于Z變換的方法。注意在求零輸入響應(yīng)時應(yīng)代入不包含激勵引起部分的系統(tǒng)的初始條件

例2：已知系統(tǒng)的差分方程為

系統(tǒng)的初始條件和激勵為：求yzi(k)和yzs(k)

。

解：1、求，令輸入為0，兩邊Z變換2、求，令初始條件為0，兩邊Z變換2、基于系統(tǒng)函數(shù)H(z)的方法。(1)、零輸入響應(yīng)yzi(k)H(z)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根，所以可由極點(diǎn)寫出yzi(k)的一般形式，然后由系統(tǒng)的初始條件確定系數(shù)(2)、零狀態(tài)響應(yīng)yzs(k)①、e(k)←→E(z)

②、定義離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)③、Yzs(z)=E(z)?H(z)④、yzs(k)=Z-1[Yzs(z)]例2：已知系統(tǒng)的差分方程為系統(tǒng)的初值和激勵為：

求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

注意：這里的初始條件是包含了激勵引起的初始條件例2：已知系統(tǒng)的差分方程為系統(tǒng)的初值和激勵為：

求零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。

解：確定c1,c2時必須用零輸入的初始條件(3)、H(z)與離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性

可以證明離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是單位函數(shù)響應(yīng)h(k)絕對可和：

在實(shí)際中通常根據(jù)H(z)的極點(diǎn)在Z平面中的位置來判別比較方便。☆如果H(z)的所有極點(diǎn)位于Z平面的單位圓內(nèi)則系統(tǒng)穩(wěn)定；☆如在單位圓上僅有一階極點(diǎn)則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；☆如有極點(diǎn)位于Z平面的單位圓外則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例3：已知系統(tǒng)的差分方程為（1）求系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)；（2）判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；解(1):z變換，令初始條件為零后向差分方程極點(diǎn)2在單位圓外系統(tǒng)不穩(wěn)定！§6.4離散系統(tǒng)的Z域分析離散時間系統(tǒng)連續(xù)時間系統(tǒng)1、分析工具Z變換f(k)?F(z)將差分方程→代數(shù)方程L變換f(t)?F(s)將微分方程→代數(shù)方程3、復(fù)平面中的極點(diǎn)Z平面中的極點(diǎn)：v→

AvkS平面中的極點(diǎn)：λ→

Aeλt