高中數(shù)學(xué)不動(dòng)點(diǎn)解特殊方程

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)不動(dòng)點(diǎn)解特殊方程利用不動(dòng)點(diǎn)法解特殊方程任何一個(gè)方程的求解都可以化為求某個(gè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)間題．因?yàn)?，任一方程總可以?xiě)成的形式，這里是x的函數(shù)，將變?yōu)榈仁?，記，就能得到與的同解方程，從而將求的解變成求函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題了．在解方程之前，我們往往先要了解方程解的情況，如果方程根本就無(wú)解，那么研究它的解法是沒(méi)有意義的．另一方面，有些實(shí)際和理論問(wèn)題的解決，只要求出方程的近似解，甚至并不需要對(duì)方程進(jìn)行具體求解，而只要知道方程的解是否存在．舉一個(gè)頗有影響的例子：公元1799年德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（Gauss）證明了“在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，n次代數(shù)方程：至少有一個(gè)根”．即著名代數(shù)基本定理．利用不動(dòng)點(diǎn)理論，我們可以把方程的求根問(wèn)題化為求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，由于方程的根不可能超越復(fù)平面的某個(gè)半徑很大的圓域，且函數(shù)顯然是連續(xù)的．因此，在這個(gè)大圓域內(nèi)運(yùn)用布勞韋爾（Brouwer）不動(dòng)點(diǎn)理論，知道至少存在一個(gè)，使，即，也就是說(shuō)方程至少有一個(gè)根．可是，當(dāng)時(shí)證明這個(gè)定理是艱辛的．也許上述這個(gè)例子較抽象．我們不妨來(lái)看方程（*）要判定它是否有解，用常規(guī)方法是難以奏效的．事實(shí)上，判定方程（*）是否有解，就是判定是否存在不動(dòng)點(diǎn)．顯然在時(shí)有意義，且時(shí)，．故，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)正、余弦函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)．所以也連續(xù)，由布勞韋爾不動(dòng)點(diǎn)理論可知必有不動(dòng)點(diǎn)，即方程（*）必有解．對(duì)于初等數(shù)學(xué)中的一類(lèi)特殊的方程，下面我們?cè)趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)，研究不動(dòng)點(diǎn)與這類(lèi)方程的求解問(wèn)題．定理1．若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，且，則在上，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)也是其n次選代函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，即方程的解也是方程的解．證明：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為，即．因?yàn)?，所以．所以成立．?）設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立．即．則當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)命題也成立，綜上，可知命題對(duì)均成立．例1．求方程的實(shí)數(shù)根．解：所以（*）令，顯然，所以的不動(dòng)點(diǎn)就是的不動(dòng)點(diǎn)．即，的實(shí)根就是方程（*）的實(shí)根．解得．所以原方程的實(shí)根為．例2．解方程解：令，則設(shè)，則原方程為，因?yàn)榈慕鉃椋缘慕庖酁椋栽匠痰慕鉃椋?．解方程解：令，則原方程為，對(duì)于，易知．可知的不動(dòng)點(diǎn)就是的不動(dòng)點(diǎn)．所以解方程，得；（舍去）因而原方程的解為．例4．解方程解：原方程可化為令，故原方程為由，解得所以．因?yàn)?，所以或．故原方程有四個(gè)實(shí)根，即．定理2．若方程的解集為N，的不動(dòng)點(diǎn)集為M，則．證明：①若無(wú)不動(dòng)點(diǎn)，則顯然有．②若是的任一不動(dòng)點(diǎn)，，則因?yàn)樗允欠匠痰慕猓矗C上知有．事實(shí)上，定理2說(shuō)明互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)未必一定在直線上，如：函數(shù)與其反函數(shù)的圖像的三個(gè)交點(diǎn)，其中只有點(diǎn)在直線．定理3．若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則方程的解是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．證明：①若方程無(wú)解，則由定理2可知，無(wú)不動(dòng)點(diǎn)．②若方程有解，設(shè)是它的任一解，則．若，因在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則，這與假設(shè)矛盾．同理，也不成立，故，即為不動(dòng)點(diǎn)．反之，若函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為，由定理2可知，是方程的解．例5．已知函數(shù)．解方程．解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故只需解方程，解得．所以方程的解為．我們常把一些方程的求解問(wèn)題化為不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題來(lái)考慮，有些方程還可用逐步通近來(lái)解，它是代數(shù)方程及計(jì)算數(shù)學(xué)中的重要方法，其主要思想是：若是實(shí)函數(shù)，要解方程，可將化為等價(jià)方程（即求的不動(dòng)點(diǎn)）．由于該不動(dòng)點(diǎn)不易求出，因此，我們考慮的遞歸數(shù)列．如果數(shù)列初始值，且數(shù)列有極限，即，當(dāng)連續(xù)時(shí)，，所以，即方程的實(shí)根為，其中稱為的n次近似根．例6．求方程的近似根．解：原方程可化為，兩邊同除得．令因?yàn)榈牟粍?dòng)點(diǎn)不易求出，考慮其遞歸數(shù)列設(shè)，因?yàn)椋嗜〕跏贾担畡t，當(dāng)時(shí)，，即所以，故方程的一個(gè)近似根為必須指出：若將方程化為，兩邊同除x得，令，則其通歸數(shù)列當(dāng)時(shí)，，我們發(fā)現(xiàn)（讀者可在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算），當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，不趨于任何一個(gè)常數(shù)．用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說(shuō)就是，數(shù)列是一個(gè)發(fā)散數(shù)列，這樣就求不出原方程的根了．因此，如何構(gòu)造遞歸數(shù)列，構(gòu)造的遞歸數(shù)列是否有極限是關(guān)鍵的．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．解方程．2．解方程．3．若，解方程．4．求方程的正的近似根（精確到）．答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．.【分析】令，由不動(dòng)點(diǎn)法解方程的定理，要求原方程的解只需求的解即可.【詳解】設(shè)，則的不動(dòng)點(diǎn)也是的不動(dòng)點(diǎn)，所以方程的根是原方程的根，方程有唯一解，所以原方程的根為．2．.【分析】研究的不動(dòng)點(diǎn)，可得原方程的部分解，進(jìn)而知是的一個(gè)因式，應(yīng)用因式分解得到其它因式并求解，即可得原方程的解.【詳解】令，則．方程的解為，也是方程的解，所以多項(xiàng)式有因式，故，由，得，故原方程的根是．3．.【分析】根據(jù)的單調(diào)性與反函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為求的解即可.【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，圖象關(guān)于對(duì)稱，所以圖象交點(diǎn)就是圖象交點(diǎn)，故方程的解就是方程的解，