2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.1.1合情推理課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版選修1-2

PAGE2.1.1合情推理[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．“魯班獨(dú)創(chuàng)鋸子”的思維過程為：帶齒的草葉能割破行人的腿，“鋸子”能“鋸”開木材，它們?cè)诠δ苌鲜穷愃频模虼耍鼈冊(cè)谛螒B(tài)上也應(yīng)當(dāng)類似，“鋸子”應(yīng)當(dāng)是齒形的．該過程體現(xiàn)了()A．歸納推理 B．類比推理C．沒有推理 D．以上說法都不對(duì)解析：推理是依據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的推斷來確定一個(gè)新的推斷的思維過程，上述過程是推理，由性質(zhì)類比可知是類比推理．答案：B2．已知扇形的弧長(zhǎng)為l，半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f(底×高,2)，可知扇形面積公式為()A.eq\f(r2,2) B.eq\f(l2,2)C.eq\f(lr,2) D．無法確定解析：扇形的弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)三角形的底，扇形的半徑對(duì)應(yīng)三角形的高，因此可得扇形面積公式S＝eq\f(lr,2).答案：C3．“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法上自古以來就始終運(yùn)用的紀(jì)年方法．干支是天干和地支的總稱．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個(gè)符號(hào)叫地支．把干支依次相配正好六十為一周，周而復(fù)始，循環(huán)記錄，這就是俗稱的“干支表”.2024年是干支紀(jì)年法中的己亥年，那么2050年是干支紀(jì)年法中的()A．丁酉年 B．庚午年C．乙未年 D．丁未年解析：天干是以10為構(gòu)成的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，2024年是干支紀(jì)年法中的己亥年，則2050的天干為庚，地支為午，故選B.答案：B4．n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列下表：依據(jù)規(guī)律，從2019到2021箭頭的方向依次為()A．↓→ B．→↑C．↑→ D．→↓解析：視察特例的規(guī)律知：位置相同的數(shù)字都是以4為公差的等差數(shù)列，由可知從2024到2024為→↓，故應(yīng)選D.答案：D5．如圖所示，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝3nC．a(chǎn)n＝3n－2n D．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－3解析：∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，∴猜想an＝3n－1.答案：A6．視察下列等式：1＝1，2＋3＋4＝9，3＋4＋5＋6＋7＝25，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49，……照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為________．解析：等式的左邊是2n－1個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，最小的為序號(hào)n，右邊是(2n－1)2.所以第5個(gè)等式為5＋6＋7＋…＋13＝(2×5－1)2.答案：5＋6＋7＋8＋…＋13＝817．等差數(shù)列{an}中，an>0，公差d>0，則有a4·a6>a3·a7，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若bn>0，q>1，寫出b5，b7，b4，b8的一個(gè)不等關(guān)系：________.解析：將乘積與和對(duì)應(yīng)，再留意下標(biāo)的對(duì)應(yīng)，有b4＋b8>b5＋b7.答案：b4＋b8>b5＋b78．已知△ABC的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，內(nèi)切圓半徑為r，用S△ABC表示△ABC的面積，則S△ABC＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)．類比這一結(jié)論有：若三棱錐A-BCD的內(nèi)切球半徑為R，則三棱錐體積VA-BCD＝________.解析：內(nèi)切圓半徑req\o(→,\s\up7(類比))內(nèi)切球半徑R.△ABC周長(zhǎng)a＋b＋ceq\o(→,\s\up7(類比))棱錐A-BCD各面面積和．答案：VA-BCD＝eq\f(1,3)R(S△ABC＋S△ACD＋S△BCD＋S△ABD)9．如圖所示，在長(zhǎng)方形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1，則在立體幾何中，給出類比猜想．解析：在長(zhǎng)方形ABCD中，cos2α＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))2＝eq\f(a2＋b2,c2)＝eq\f(c2,c2)＝1.于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.證明如下：cos2α＋cos2β＋cos2γ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,l)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g,l)))2＝eq\f(m2＋n2＋g2,l2)＝eq\f(l2,l2)＝1.[B組實(shí)力提升]1．將正整數(shù)排成下表：12345678910111213141516……則在表中數(shù)字2019出現(xiàn)在()A．第44行第78列 B．第45行第82列C．第44行第77列 D．第45行第83列解析：第n行有2n－1個(gè)數(shù)字，前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.∵442＝1936,452＝2025，且1936＜2019＜2025，∴2019在第45行．又2025－2019＝6，且第45行有2×45－1＝89個(gè)數(shù)字，∴2019在第89－6＝83列．答案：D2．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形態(tài)來探討數(shù)．比如：他們探討過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通項(xiàng)公式為an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn＝n2.將四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，使得n都為正整數(shù)的只有1225.答案：C3．類比平面內(nèi)一點(diǎn)P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距離公式，猜想空間中一點(diǎn)P(x0，y0，z0)到平面Ax＋By＋Cz＋D＝0(A2＋B2＋C2≠0)的距離公式為d＝________.解析：類比平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))，易知答案應(yīng)填eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2)).答案：eq\f(|Ax0＋By0＋Cz0＋D|,\r(A2＋B2＋C2))4．在平面中，△ABC的∠ACB的平分線CE分△ABC面積所成的比eq\f(S△AEC,S△BEC)＝eq\f(AC,BC)，將這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中，平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB交于E，則類比的結(jié)論為________．解析：平面中的面積類比到空間為體積，故eq\f(S△AEC,S△BEC)類比成eq\f(VA-CDE,VB-CDE).平面中的線段長(zhǎng)類比到空間為面積，故eq\f(AC,BC)類比成eq\f(S△ACD,S△BDC).故有eq\f(VA-CDE,VB-CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC).答案：eq\f(VA-CDE,VB-CDE)＝eq\f(S△ACD,S△BDC)5．已知橢圓具有以下性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上隨意一點(diǎn)，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1寫出具有類似的性質(zhì)，并加以證明．解析：類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上隨意一點(diǎn)，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．證明如下：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)為(m，n)，(x，y)，則N(－