2024春新教材高中數學第八章立體幾何初步章末復習課分層演練含解析新人教A版必修第二冊

PAGE第八章立體幾何初步章末復習課要點訓練一空間幾何體的結構特征1.緊扣結構特征是推斷的關鍵,熟識空間幾何體的結構特征,依據條件構建幾何模型,在條件不變的狀況下,變換模型中的線面關系或增加線、面等基本元素,然后再依據題意判定.2.通過舉反例對結構特征進行辨析,即要說明一個命題是錯誤的,只要舉出一個反例即可.1.設有四個命題:①底面是矩形的平行六面體是長方體;②棱長都相等的直四棱柱是正方體;③側棱垂直于底面兩條邊的平行六面體是直平行六面體;④對角線相等的平行六面體是直平行六面體.其中真命題的個數是()A.1B.2 C.3D.4解析:底面是矩形的直平行六面體是長方體,①錯誤;棱長都相等的直四棱柱是正方體,②正確;側棱垂直于底面兩條相鄰邊的平行六面體是直平行六面體,③錯誤;隨意側面上兩條對角線相等的平行六面體是直平行六面體,④錯誤.故命題正確的個數是1.答案:A2.在四棱錐的四個側面中,直角三角形最多可有()A.1個B.2個C.3個D.4個解析:如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,取四棱錐A1-ABCD,則此四棱錐的四個側面都是直角三角形.答案:D要點訓練二空間幾何體的表面積與體積1.空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題,關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積問題留意連接部分的處理.(3)旋轉體的表面積問題,應留意其側面綻開圖的應用.2.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體問題是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺體,則可干脆利用公式進行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出,則常用轉換法、分割法、補形法等進行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應先依據三視圖得到幾何體的直觀圖,再依據條件求解.1.已知一個六棱錐的體積為23,其底面是邊長為2的正六邊形,側棱長都相等,則該六棱錐的側面積為12.解析:由題意可知,該六棱錐是正六棱錐.設該六棱錐的高為h,則13×6×34×22×h=23,解得h=1.由題意,得底面正六邊形的中心到其邊的距離為3,所以側面等腰三角形底邊上的高為(3)2+12.如圖所示,三棱錐O-ABC為長方體的一角,其中OA,OB,OC兩兩垂直,三個側面OAB,OAC,OBC的面積分別為1.5cm2,1cm2,3cm2,求三棱錐O-ABC的體積.解:設OA,OB,OC的長依次為xcm,ycm,zcm,由已知可得12xy=1.5,12xz=1,12yz=3,解得x=1,y=3,z將三棱錐O-ABC看成以C為頂點,以OAB為底面,易知OC為三棱錐C-OAB的高.故V三棱錐O-ABC=VC-OAB=13S△OAB·OC=13×1.5×2=1(cm33.如圖所示,已知三棱柱ABC-A'B'C',側面B'BCC'的面積是S,點A'到側面B'BCC'的距離是a,求三棱柱ABC-A'B'C'的體積.解:連接A'B,A'C,如圖所示,這樣就把三棱柱ABC-A'B'C'分割成了兩個棱錐,即三棱錐A'-ABC和四棱錐A'-BCC'B'.設所求體積為V,明顯三棱錐A'-ABC的體積是13而四棱錐A'-BCC'B'的體積為13Sa故有13V+13Sa=V,所以V=要點訓練三與球有關的切、接問題與球相關問題的解題策略(1)作適當的截面(如軸截面等)時,對于球內接長方體、正方體,則截面一要過球心,二要過長方體或正方體的兩條體對角線,才有利于解題.(2)對于“內切”和“外接”等問題,首先要弄清幾何體之間的相互關系,主要是指特別的點、線、面之間的關系,然后把相關的元素放到這些關系中來解決.1.正四棱錐的頂點都在同一球面上,若該棱錐的高為6,底面邊長為4,則該球的表面積為()A.443πB.4849πC.814解析:如圖所示,設PE為正四棱錐P-ABCD的高,則正四棱錐P-ABCD的外接球的球心O必在其高PE所在的直線上,延長PE交球面于一點F,連接AE,AF.由球的性質可知△PAF為直角三角形,且AE⊥PF.因為該棱錐的高為6,底面邊長為4,所以AE=22,PE=6,所以側棱長PA=PE2+AE2=62+(22)2=44=211.設球的半徑為R,則PF=2R.由△PAE∽△PFA,得PA2=PF·PE,即44=2R×6,解得R=113答案:B2.一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切,假如這個球的體積是323π,那么這個正三棱柱的體積是(A.963B.163C.243D.483解析:由球的體積公式可求得球的半徑R=2.設球的外切正三棱柱的底面邊長為a,高即側棱長,為h,則h=2R=4.在底面正三角形中,由正三棱柱的內切球特征,得a2×33=R=2,解得a=43.故這個正三棱柱的體積V=12×32×(43)答案:D要點訓練四空間中的平行關系1.平行問題的轉化關系2.直線與平面平行的主要判定方法(1)定義法;(2)判定定理;(3)面與面平行的性質.3.平面與平面平行的主要判定方法(1)定義法;(2)判定定理;(3)推論;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β.1.如圖所示,三棱柱ABC-A'B'C'中,M,N分別為BB',A'C'的中點.求證:MN∥平面ABC'.證明:取B'C'的中點P,連接MP,NP(圖略),則MP∥BC',NP∥A'B'.因為A'B'∥AB,所以NP∥AB.因為AB?平面ABC',NP?平面ABC',所以NP∥平面ABC'.同理MP∥平面ABC'.因為NP∩MP=P,所以平面MNP∥平面ABC'.因為MN?平面MNP,所以MN∥平面ABC'.2.兩個全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,過點M作MH⊥AB于點H.求證:平面MNH∥平面BCE.證明:因為正方形ABCD中,MH⊥AB,BC⊥AB,所以MH∥BC.因為BF=AC,AM=FN,所以FNBF=AM因為MH∥BC,所以AMAC=AH所以FNBF=AH所以NH∥AF∥BE.因為MH?平面MNH,NH?平面MNH,MH∩NH=H,BC?平面BCE,BE?平面BCE,BC∩BE=B,所以平面MNH∥平面BCE.要點訓練五空間中的垂直關系1.空間中垂直關系的相互轉化2.判定線線垂直的方法(1)平面幾何中證明線線垂直的方法.(2)線面垂直的性質:a⊥α,b?α?a⊥b;a⊥α,b∥α?a⊥b.3.判定線面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個,則與另一個平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性質.4.判定面面垂直的方法(1)利用定義:兩個垂直平面相交,所成的二面角是直二面角.(2)判定定理:a?α,a⊥β?α⊥β.1.如圖所示,Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直角邊AO所在直線為軸旋轉得到,且二面角B-AO-C是直二面角,D是AB上隨意一點.求證:平面COD⊥平面AOB.證明:由題意,得CO⊥AO,BO⊥AO,所以∠BOC是二面角B-AO-C的平面角.因為二面角B-AO-C是直二面角,所以∠BOC=90°,所以CO⊥BO.因為AO∩BO=O,所以CO⊥平面AOB.因為CO?平面COD,所以平面COD⊥平面AOB.2.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G為線段PC上的點,O為AC,BD交點.(1)證明:BD⊥平面APC;(2)若G滿意PC⊥平面BGD,求PGGC的值(1)證明:由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分線段AC.所以O為AC的中點,BD⊥AC.因為PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因為AC∩PA=A,AC?平面APC,PA?平面APC,所以BD⊥平面APC.(2)解:連接OG,如圖所示.因為PC⊥平面BGD,OG?平面BGD,所以PC⊥OG.在△ABC中,由余弦定理,得AC=22+2在Rt△PAC中,得PC=AC2+PA所以由△GOC∽△APC可得GC=AC·OCPC從而PG=3155,所以PGGC要點訓練六空間角的求解方法1.找異面直線所成角的三種方法(1)利用圖中已有的平行線平移.(2)利用特別點(線段的端點或中點)作平行線平移.(3)補形平移.2.線面角求斜線與平面所成的角關鍵是找到斜線在平面內的射影,即確定過斜線上一點向平面所作垂線的垂足.通常是解由斜線段、垂線段、斜線在平面內的射影所組成的直角三角形.3.求二面角的兩種常用方法(1)定義法:在二面角的棱上找一個特別點,在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的射線.(2)垂面法:過棱上一點作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個半平面產生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.1.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB≠AC,D,E分別是BC,AB的中點,AC>AD,設PC與DE所成的角為α,PD與平面ABC所成的角為β,二面角P-BC-A的平面角為γ,則α,β,γ的大小關系是α<β<γ.解析:因為D,E分別是BC,AB的中點,所以DE∥AC,所以PC與DE所成的角為∠PCA,即α.因為PA⊥平面ABC,所以PD與平面ABC所成的角為∠PDA,即β.如圖所示,過點A作AH⊥BC,垂足為H,連接PH,易證BC⊥平面PAH,所以∠PHA是二面角P-BC-A的平面角,即γ.因為AB≠AC,所以AD>AH.因為AC>AD,所以AC>AD>AH,所以PAAC<PAAD<所以tanα<tanβ<tanγ,所以α<β<γ.2.如圖所示,AB是☉O的一條直徑,PA垂直于☉O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的一動點.(1)證明:△PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且當直線PC與平面ABC所成角的正切值為2時,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.(1)證明:因為AB是☉O的一條直徑,C是圓周上不同于A,B的一動點,所以BC⊥AC.因為PA⊥平面ABC,所以BC⊥PA.因為PA∩AC=A,PA?平面PAC,AC?平面PAC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△BPC是直角三角形.(2)解:如圖所示,過點A作AH⊥PC于點H,連接BH.因為BC⊥平面PAC,所以BC⊥AH.因為PC∩BC=C,PC?平面PBC,BC?平面PBC,所以AH⊥平面PBC,所以∠ABH是直線AB與平面PBC所成的角.因為PA⊥平面ABC,所以∠PCA即是PC與平面ABC所成的角.因為tan∠PCA=PAAC=2,PA所以AC=2.在Rt△PAC中,AH=PA·ACP在Rt△ABH中,sin∠ABH=2332即AB與平面PBC所成角的正弦值為33要點訓練七轉化思想轉化思想是指在解決數學問題時,一個數學對象在肯定條件下轉化為另一種數學對象的思想.它包括從未知到已知的轉化,從一般到特別的轉化等,折疊問題中體現(xiàn)了轉化思想.解決折疊問題的關鍵在于仔細分析折疊前后元素的位置改變狀況,看看哪些元素的位置變了,哪些元素的位置沒有變,基本思路是利用“不變求變”,一般步驟如下:(1)平面→空間:依據平面圖形折出滿意條件的空間圖形,想象出空間圖形,完成平面圖形與空間圖形在相識上的轉化.(2)空間→平面:為解決空間圖形問題,要回到平面上來,重點分析元素的變與不變.1.如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.若將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構成三棱錐A-BCD,則在三棱錐A-BCD中,下列結論正確的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:因為在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD.因為平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.因為AD⊥AB,AD∩CD=D,AD?平面ADC,CD?平面ADC,故AB⊥平面ADC.因為AB?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.答案:D2.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點,F為線段EC(端點除外)上一動點.現(xiàn)將△AFD沿AF折起,使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB,垂足為K.設AK=t,則t的取值范圍是(12,1)→解析:如圖所示,過點K作KM⊥AF于M點,連接DM,易得DM⊥AF,與折前的圖形對比,可知在折前的圖形中D,M,K三點共線,且DK⊥AF,于是△DAK∽△FDA,所以AKAD=ADDF.所以t1=1DF.所以因為DF∈(1,2),所以t∈(12,1)3.如圖①所示,在等腰梯形CDEF中,DE=CD=2,EF=2+2,將它沿著兩條高AD,CB折疊成四棱錐E-ABCD(E,F兩點重合),如圖②所示.①②(1)求證:BE⊥DE;(2)設M為線段AB的中點,試在線段CE上確定一點N,使得MN∥平面DAE.(1)證明:因為AD⊥EF,所以AD⊥A