人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第十一章 三角形知識(shí)歸納與題型突破（10類題型清單）

第十一章三角形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角；③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三角形的定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．三、三角形的分類1.按角分類：要點(diǎn)詮釋：①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點(diǎn)詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.四、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語(yǔ)言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．五、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．六、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．七、三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.要點(diǎn)詮釋：(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．2．性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．要點(diǎn)詮釋：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)詮釋：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°．八、多邊形的概念1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．凸多邊形凹多邊形3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形．如圖：凸多邊形凹多邊形要點(diǎn)詮釋：(1)正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形．九、多邊形內(nèi)角和n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；十、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點(diǎn)詮釋：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．0303題型歸納題型一三角形的穩(wěn)定性例題：（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，墻上置物架的底側(cè)一般會(huì)各設(shè)計(jì)一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構(gòu)成三角形，這是利用三角形的（

）A．全等性 B．對(duì)稱性 C．穩(wěn)定性 D．靈活性鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·云南昆明·期末）我國(guó)建造的港珠澳大橋全長(zhǎng)55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長(zhǎng)的跨海大橋．如圖，這是港珠澳大橋的斜拉索，它能拉住橋面，并將橋面向下的力通過鋼索傳給索塔，確保橋面的穩(wěn)定性和安全性．那么港珠澳大橋斜拉索建設(shè)運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（

）A．三角形的不穩(wěn)定性 B．三角形的穩(wěn)定性C．四邊形的不穩(wěn)定性 D．四邊形的穩(wěn)定性3．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，松花江大橋的鋼架結(jié)構(gòu)采用三角形的形狀，這其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)道理是.4．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，建高樓常需要用塔吊來吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形結(jié)構(gòu)，這是因?yàn)槿切尉哂校}型二判斷三邊是否能構(gòu)成三角形例題：（23-24七年級(jí)下·江蘇鹽城·期末）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長(zhǎng)度(單位：)，其中能搭成三角形的是（

）A．4，5，10 B．5，5，10 C．5，8，10 D．5，10，15鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·海南儋州·期末）下列長(zhǎng)度的三條線段中，能構(gòu)成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）甲同學(xué)對(duì)下列三角形的邊長(zhǎng)分別進(jìn)行標(biāo)注，那么他標(biāo)注錯(cuò)誤的是（

）A．

B．

C．

D．

3．（2024·河北邯鄲·二模）將一根吸管按如圖所示的位置擺放在單位長(zhǎng)度為1的數(shù)軸（不完整）上，吸管左端對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的“”處，右端對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的“5”處．若將該吸管剪成三段圍成三角形，第一刀剪在數(shù)軸上的“”處，則第二刀可以剪在（

）A．“”處 B．“”處 C．“”處 D．“2”處題型三已知三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊的取值范圍例題：（23-24七年級(jí)下·重慶·期末）已知兩邊長(zhǎng)分別為4與5，第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)的最大值為．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·江蘇無錫·期末）已知三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三條邊長(zhǎng)可以為．（請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的答案）2．（23-24七年級(jí)下·黑龍江大慶·期中）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為2和6，第三邊為奇數(shù)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為．3．（23-24七年級(jí)下·內(nèi)蒙古包頭·期中）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，若x為最長(zhǎng)邊且為整數(shù)，則此三角形的周長(zhǎng)為．4．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)三角形的第一條邊長(zhǎng)為，第二條邊長(zhǎng)為(1)求第三條邊長(zhǎng)的取值范圍；（用含，的式子表示）(2)若，滿足，第三條邊長(zhǎng)為整數(shù)，求這個(gè)三角形周長(zhǎng)的最大值題型四判斷是否三角形的高線例題：下列各圖中，正確畫出邊上的高的是（

）A．

B．

C．

D．

鞏固訓(xùn)練1．下面四個(gè)圖形中，線段是的高的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是鈍角，下列圖中作邊上的高線，正確的是（

）A．B．C．D．3．如圖，，，，點(diǎn)，，是垂足，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．中，是邊上的高 B．中，是邊上的高C．中，是邊上的高 D．中，是邊上的高題型五根據(jù)三角形的中線求面積例題：（2023春·廣東茂名·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為20，點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為（）

A．4 B．5 C．6 D．10鞏固訓(xùn)練1．（2023春·山西太原·七年級(jí)山西大附中校考期中）如圖，是的中線，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（）（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的中線，點(diǎn)E、F分別為的中點(diǎn)，若的面積為，則的面積是________．

3．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為的中線，點(diǎn)，分別在，上，且滿足，．若四邊形（圖中陰影部分）的面積為16，則的面積為________．

題型六與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題例題：（23-24七年級(jí)下·上海虹口·期中）如圖，已知，，，，那么．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·陜西渭南·期中）如圖，在三角形中，點(diǎn)D，H，E分別是邊，，上的點(diǎn)，連接，，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接，若，，．則的度數(shù)為．2．（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，平分，平分，于點(diǎn)C，，則下列說法：①；②；③；④，其中正確的是．（填序號(hào)）3．（23-24七年級(jí)下·上海浦東新·期中）如圖，將一副直角三角板放在同一條直線上，其中．將三角尺繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．在旋轉(zhuǎn)的過程中，邊恰好與邊平行，t的值為．題型七與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題例題：（23-24七年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，在中，平分，過點(diǎn)作．若，，則．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在中，，如果與的平分線交于點(diǎn)D，那么度．2．（23-24七年級(jí)下·遼寧大連·期中）如圖，在中，分別平分分別平分三角形的兩個(gè)外角，則．3．（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，在中，，，平分，于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)．(2)求的度數(shù)．題型八三角形的外角的定義及性質(zhì)例題：（23-24七年級(jí)下·四川樂山·期末）如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，則鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，已知直線，，，則度．2．（23-24七年級(jí)下·江蘇淮安·期末）如圖，的兩個(gè)外角的平分線交于點(diǎn)P．若，則．3．（23-24七年級(jí)下·江西南昌·期末）已知直線，將含角的直角三角板按如圖所示擺放．若，則=．

題型九多邊形的內(nèi)角和與外角和例題：（23-24七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）足球的表面是由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成的.如圖，將足球上的一個(gè)正六邊形和它相鄰的一個(gè)正五邊形展開放平，則圖中的．鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級(jí)下·重慶開州·階段練習(xí)）如圖，和是四邊形的外角，若，，則．2．（23-24八年級(jí)下·江西萍鄉(xiāng)·期末）一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的倍，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為．3．（23-24七年級(jí)下·河南駐馬店·階段練習(xí)）如圖，已知，正五邊形的頂點(diǎn)、在射線上，頂點(diǎn)在射線上，則的度數(shù)為．題型十在網(wǎng)格中畫三角形的中線、高線及求三角形的面積例題：（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考期中）下圖為的網(wǎng)格，每一小格均為正方形，已知．

(1)畫出中邊上的中線；(2)畫出中邊上的高．(3)直接寫出的面積為_________．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？计谥校┤鐖D所示方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上．

(1)畫出中邊上的高；(2)畫出中邊上的中線；(3)直接寫出的面積為______．2.（23-24七年級(jí)下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在方格紙內(nèi)將水平向右平移4個(gè)單位得到．

(1)畫出；(2)若連接，，則這兩條線段之間的關(guān)系是_________；(3)畫出邊上的中線；（利用網(wǎng)格點(diǎn)和直尺畫圖）(4)圖中能使的格點(diǎn)P有_________個(gè)（點(diǎn)P異于點(diǎn)A）．3．（23-24七年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，方格紙中每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，在方格紙內(nèi)將的點(diǎn)C平移至點(diǎn)得到．

(1)畫出；(2)線段和的關(guān)系是_______．(3)借助方格畫出邊上的中線和高；(4)四邊形面積為_______．

第十一章三角形知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、三角形的定義由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素：①三角形的邊：即組成三角形的線段；②三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角；③三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三角形的定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.（3）三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的△沒有意義；△ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示．二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的之差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍．（3）證明線段之間的不等關(guān)系．三、三角形的分類1.按角分類：要點(diǎn)詮釋：①銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;②鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.2.按邊分類：要點(diǎn)詮釋：①不等邊三角形：三邊都不相等的三角形；②等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;③等邊三角形：三邊都相等的三角形.四、三角形的三條重要線段三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語(yǔ)言從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段．三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段．三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段．圖形語(yǔ)言作圖語(yǔ)言過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．取BC邊的中點(diǎn)D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D．標(biāo)示圖形符號(hào)語(yǔ)言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點(diǎn)D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語(yǔ)言因?yàn)锳D是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因?yàn)锳D是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項(xiàng)1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長(zhǎng)線)交于一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．一個(gè)三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點(diǎn)．五、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性.要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．六、三角形的內(nèi)角和三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．七、三角形的外角1．定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.要點(diǎn)詮釋：(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說三角形有三個(gè)外角．2．性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．要點(diǎn)詮釋：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)詮釋：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°．八、多邊形的概念1．定義：在平面內(nèi)不在同一直線上的一些線段首尾順次相接所組成的封閉圖形叫做多邊形．其中，各個(gè)角相等、各條邊相等的多邊形叫做正多邊形．2．相關(guān)概念：邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角.外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線．凸多邊形凹多邊形3.多邊形的分類:畫出多邊形的任何一邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形，如果整個(gè)多邊形不在直線的同一側(cè)，這個(gè)多邊形叫凹多邊形．如圖：凸多邊形凹多邊形要點(diǎn)詮釋：(1)正多邊形必須同時(shí)滿足“各邊相等”，“各角相等”兩個(gè)條件，二者缺一不可；(2)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形對(duì)角線的條數(shù)為；(3)過n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線可以把n邊形分成(n-2)個(gè)三角形．九、多邊形內(nèi)角和n邊形的內(nèi)角和為(n-2)·180°(n≥3)．要點(diǎn)詮釋：(1)內(nèi)角和公式的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；十、多邊形的外角和多邊形的外角和為360°．要點(diǎn)詮釋：(1)在一個(gè)多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫做多邊形的外角和．n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)；(2)正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，所以它的每個(gè)外角都相等，都等于；(3)多邊形的外角和為360°的作用是：①已知各相等外角度數(shù)求多邊形邊數(shù)；②已知多邊形邊數(shù)求各相等外角的度數(shù)．0303題型歸納題型一三角形的穩(wěn)定性例題：（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，墻上置物架的底側(cè)一般會(huì)各設(shè)計(jì)一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構(gòu)成三角形，這是利用三角形的（

）A．全等性 B．對(duì)稱性 C．穩(wěn)定性 D．靈活性【答案】C【分析】本題主要考查了三角形具有穩(wěn)定性，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，即可進(jìn)行解答．【詳解】解：墻上置物架的底側(cè)一般會(huì)各設(shè)計(jì)一根斜桿，與水平和豎直方向的支架構(gòu)成三角形，這是利用三角形的穩(wěn)定性，故選；C．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級(jí)上·云南昆明·期末）我國(guó)建造的港珠澳大橋全長(zhǎng)55公里，集橋、島、隧于一體，是世界最長(zhǎng)的跨海大橋．如圖，這是港珠澳大橋的斜拉索，它能拉住橋面，并將橋面向下的力通過鋼索傳給索塔，確保橋面的穩(wěn)定性和安全性．那么港珠澳大橋斜拉索建設(shè)運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（

）A．三角形的不穩(wěn)定性 B．三角形的穩(wěn)定性C．四邊形的不穩(wěn)定性 D．四邊形的穩(wěn)定性【答案】B【分析】本題主要考查了三角形的特性，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的穩(wěn)定性；根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進(jìn)行解答即可．【詳解】解：港珠澳大橋斜拉索建設(shè)運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是：三角形的穩(wěn)定性．故選：B．3．（23-24七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，松花江大橋的鋼架結(jié)構(gòu)采用三角形的形狀，這其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)道理是.【答案】三角形的穩(wěn)定性【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性．根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，即可求解．【詳解】解：松花江大橋的鋼架結(jié)構(gòu)采用三角形的形狀，其中的數(shù)學(xué)道理是三角形的穩(wěn)定性，故答案為：三角形的穩(wěn)定性．4．（23-24七年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）如圖，建高樓常需要用塔吊來吊建筑材料，而塔吊的上部是三角形結(jié)構(gòu)，這是因?yàn)槿切尉哂校敬鸢浮糠€(wěn)定性【解析】略題型二判斷三邊是否能構(gòu)成三角形例題：（23-24七年級(jí)下·江蘇鹽城·期末）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長(zhǎng)度(單位：)，其中能搭成三角形的是（

）A．4，5，10 B．5，5，10 C．5，8，10 D．5，10，15【答案】C【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形三邊關(guān)系定理．在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形，由此即可判斷．【詳解】解：A、，長(zhǎng)度是4，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，長(zhǎng)度是5，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，長(zhǎng)度是8，5，10的小木棒能搭成三角形，故本選項(xiàng)符合題意；D、，長(zhǎng)度是15，5，10的小木棒不能搭成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·海南儋州·期末）下列長(zhǎng)度的三條線段中，能構(gòu)成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】D【分析】題目主要考查了三角形三邊關(guān)系，理解題意，熟練運(yùn)用三角形三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．根據(jù)“三角形三邊的關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，依次判斷即可．【詳解】解：A、，不能構(gòu)成三角形；B、，不能構(gòu)成三角形；C、，不能夠組成三角形；D、，能構(gòu)成三角形．故選：D．2．（23-24七年級(jí)下·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）甲同學(xué)對(duì)下列三角形的邊長(zhǎng)分別進(jìn)行標(biāo)注，那么他標(biāo)注錯(cuò)誤的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求解即可．【詳解】A．∵，故標(biāo)注正確；B．∵，故標(biāo)注正確；C．∵，故標(biāo)注錯(cuò)誤；D．∵，故標(biāo)注正確．故選：C．3．（2024·河北邯鄲·二模）將一根吸管按如圖所示的位置擺放在單位長(zhǎng)度為1的數(shù)軸（不完整）上，吸管左端對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的“”處，右端對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的“5”處．若將該吸管剪成三段圍成三角形，第一刀剪在數(shù)軸上的“”處，則第二刀可以剪在（

）A．“”處 B．“”處 C．“”處 D．“2”處【答案】C【分析】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，有理數(shù)與數(shù)軸，分別求出第二刀位置在四個(gè)選項(xiàng)中的位置時(shí)三段的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進(jìn)行求解即可．【詳解】解：A、第二刀剪在“”處時(shí)，則剪成的三段的長(zhǎng)分別為，∵，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；B、第二刀剪在“”處時(shí)，則剪成的三段的長(zhǎng)分別為，∵，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；C、第二刀剪在“”處時(shí)，則剪成的三段的長(zhǎng)分別為，∵，∴此時(shí)能構(gòu)成三角形，符合題意；D、第二刀剪在“2”處時(shí)，則剪成的三段的長(zhǎng)分別為，∵，∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；故選：C．題型三已知三角形的兩邊長(zhǎng)，求第三邊的取值范圍例題：（23-24七年級(jí)下·重慶·期末）已知兩邊長(zhǎng)分別為4與5，第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)的最大值為．【答案】7【分析】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．首先設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，再解不等式可得x的范圍，然后再確定x的值即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，由題意得：，解得：，∵第三邊的長(zhǎng)為奇數(shù)，∴、5或7，∴第三邊的長(zhǎng)的最大值為7．故答案為：7．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·江蘇無錫·期末）已知三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4，則第三條邊長(zhǎng)可以為．（請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的答案）【答案】5（不唯一）【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系（三角形的第三邊小于兩邊之和大于且大于兩邊之差）．解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系列出關(guān)于的一元一次不等式組，求解后即可得出符合條件的值即可．【詳解】解：設(shè)三角形第三邊長(zhǎng)為，∵三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和4，∴，∴，∴三角形第三邊長(zhǎng)為：5．故答案為：5（不唯一）．2．（23-24七年級(jí)下·黑龍江大慶·期中）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為2和6，第三邊為奇數(shù)，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為．【答案】13或15【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系確定出第三邊的取值范圍，再根據(jù)第三邊為奇數(shù)結(jié)合三角形周長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系的應(yīng)用，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為2和6，設(shè)第三邊長(zhǎng)為x，∴，即∵第三邊為奇數(shù)，∴第三邊長(zhǎng)為5或7當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)為5時(shí)，該三角形的周長(zhǎng)是；當(dāng)?shù)谌呴L(zhǎng)為7時(shí)，該三角形的周長(zhǎng)是；綜上所述，這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為13或15．故答案為：13或15．3．（23-24七年級(jí)下·內(nèi)蒙古包頭·期中）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和7，若x為最長(zhǎng)邊且為整數(shù)，則此三角形的周長(zhǎng)為．【答案】19或20或21或22或23【分析】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，就可以求出第三邊的長(zhǎng)，從而求得三角形的周長(zhǎng)．【詳解】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：，∴，∵x為最長(zhǎng)邊且為整數(shù)，∴，∴x的值是7或8或9或10或11，∵，，，，，∴此三角形的周長(zhǎng)為19或20或21或22或23．故答案為：19或20或21或22或23．4．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知一個(gè)三角形的第一條邊長(zhǎng)為，第二條邊長(zhǎng)為(1)求第三條邊長(zhǎng)的取值范圍；（用含，的式子表示）(2)若，滿足，第三條邊長(zhǎng)為整數(shù)，求這個(gè)三角形周長(zhǎng)的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理即可得出結(jié)論；（1）根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性可確定，的值，從而得出的最大值，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵三角形的第一條邊長(zhǎng)為，第二條邊長(zhǎng)為，∴第三條邊長(zhǎng)的取值范圍是，即，∴第三條邊長(zhǎng)的取值范圍是；（2）∵，滿足，第三條邊長(zhǎng)為整數(shù)，∴，∴，∴，即，則三角形的周長(zhǎng)為：，∵為整數(shù)，∴可取最大值為，此時(shí)這個(gè)三角形周長(zhǎng)的最大值為，∴這個(gè)三角形周長(zhǎng)的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系定理，絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，不等式組的整數(shù)解，三角形的周長(zhǎng)．掌握三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．題型四判斷是否三角形的高線例題：下列各圖中，正確畫出邊上的高的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形高的定義判斷即可得到答案．【詳解】解：中邊上的高即為過點(diǎn)B作的垂線段，該垂線段即為邊上的高，四個(gè)選項(xiàng)中只有選項(xiàng)D符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高線定義，解題的關(guān)鍵是熟知過三角形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線得到的線段叫三角形的高．鞏固訓(xùn)練1．下面四個(gè)圖形中，線段是的高的圖形是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高的定義逐項(xiàng)分析即可解答．【詳解】解：A．線段是的高，選項(xiàng)不符合題意；B．線段是的高，選項(xiàng)不符合題意；C．線段是的高，選項(xiàng)不符合題意；D．線段是的高，選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的高的定義，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)到垂足之間的線段叫做三角形的高．2．（2023秋·甘肅慶陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是鈍角，下列圖中作邊上的高線，正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的高的定義判斷即可．【詳解】解：在中，是鈍角，邊上的高線就是過點(diǎn)A作邊的垂線得到的線段，如圖，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，垂足與頂點(diǎn)之間的線段叫做三角形的高．掌握定義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，，，，點(diǎn)，，是垂足，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．中，是邊上的高 B．中，是邊上的高C．中，是邊上的高 D．中，是邊上的高【答案】B【分析】根據(jù)三角形高的定義依次判斷即可．【詳解】解：A、中，是邊上的高，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、中，不是邊上的高，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、中，是邊上的高故此選項(xiàng)正確，不符合題意；D、中，是邊上的高，故此選項(xiàng)正確，不符合題意．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高的概念，應(yīng)熟記三角形的高應(yīng)具備的兩個(gè)條件：①經(jīng)過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，②垂直于這個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)邊．題型五根據(jù)三角形的中線求面積例題：（2023春·廣東茂名·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的面積為20，點(diǎn)，，分別為的中點(diǎn)，則陰影部分的面積為（）

A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【分析】根據(jù)三角形中線平分三角形面積，先證明，再證明即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接，

為中點(diǎn)，.同理可得，，.的面積為20，.，.故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與三角形中線有關(guān)的面積問題，熟知三角形中線平分三角形面積是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·山西太原·七年級(jí)山西大附中?？计谥校┤鐖D，是的中線，則下列結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)有（）（1）；（2）；（3）；（4）．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】如圖，首先證明（設(shè)為λ），（設(shè)為μ）；進(jìn)而證明，，得到，進(jìn)而得到，此為解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論，運(yùn)用該結(jié)論即可解決問題【詳解】解：∵是的中線，∴；∴（設(shè)為λ），（設(shè)為μ），，∴；同理可證：，即，；∴選項(xiàng)（1）、（2）、（3）均成立，選項(xiàng)（4）不成立，故選：C．【點(diǎn)睛】該題主要考查了三角形中線的定義、三角形的面積公式等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用等底同高的兩個(gè)三角形的面積相等這一規(guī)律，來分析、判斷、推理或解答．2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是的中線，點(diǎn)E、F分別為的中點(diǎn)，若的面積為，則的面積是________．

【答案】8【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形解答即可．【詳解】∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，的面積為，∴．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，．∴．∴，故答案是8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積，主要利用三角形的中線把三角形分成兩個(gè)面積相等的三角形，原理是等底同高的三角形面積相等．3．（2023春·江蘇南京·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，為的中線，點(diǎn)，分別在，上，且滿足，．若四邊形（圖中陰影部分）的面積為16，則的面積為________．

【答案】36【分析】根據(jù)三角形中線與面積的關(guān)系，等高模型進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)的面積為，∵，，∴，，∴，，∴，∵為的中線，∴，∴，則，解得，∴，故答案為：36．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，三角形的面積，熟練掌握三角形的中線與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型六與平行線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題例題：（23-24七年級(jí)下·上海虹口·期中）如圖，已知，，，，那么．【答案】/28度【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后由平行線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】∵，，∴，∵，∴，∵，∴．故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·陜西渭南·期中）如圖，在三角形中，點(diǎn)D，H，E分別是邊，，上的點(diǎn)，連接，，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接，若，，．則的度數(shù)為．【答案】【分析】由，，得到，根據(jù)平行線的判定，得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)，即可求解，本題考查了，平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理．【詳解】解：∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．2．（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，平分，平分，于點(diǎn)C，，則下列說法：①；②；③；④，其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①②③【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，垂直的定義，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)垂直的定義得出，即可判斷①，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出，根據(jù)，得出，即可判斷，得出②正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義得出，即可判斷③，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，再根據(jù)，得到，即可判斷④．【詳解】解：∵，∴，故①正確；∵平分平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故②正確；∵，平分，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，∵，∴，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的說法有①②③．故答案為：①②③．3．（23-24七年級(jí)下·上海浦東新·期中）如圖，將一副直角三角板放在同一條直線上，其中．將三角尺繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．在旋轉(zhuǎn)的過程中，邊恰好與邊平行，t的值為．【答案】或【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和為180度，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的方向，再逐一把滿足條件的圖作出來，再結(jié)合圖形以及運(yùn)用平行線的性質(zhì)列式計(jì)算，即可作答．【詳解】解：如圖：當(dāng)與邊平行時(shí)，∵，∴，，∴，即，∵將三角尺繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．∴，∴；如圖：當(dāng)與邊平行時(shí)，∵，∴，，∴，即，∵將三角尺繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為t秒．∴，∴；綜上：邊恰好與邊平行，t的值為或故答案為：10.5或28.5題型七與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和問題例題：（23-24七年級(jí)下·江蘇南京·期末）如圖，在中，平分，過點(diǎn)作．若，，則．【答案】/70度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線的相關(guān)求解，先根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出的度數(shù)，從而求出的度數(shù)，根據(jù)角平分線以及三角形內(nèi)角和即可得出結(jié)果．【詳解】解：，，，，平分，，，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖，在中，，如果與的平分線交于點(diǎn)D，那么度．【答案】【分析】本題考查了三角形角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得，從而可求，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求解．【詳解】解：∵，，與的平分線相交于點(diǎn)，，，，，．故答案為：．2．（23-24七年級(jí)下·遼寧大連·期中）如圖，在中，分別平分分別平分三角形的兩個(gè)外角，則．【答案】132【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問題，根據(jù)角平分線和三角形的內(nèi)角和定理，推出，，進(jìn)而得到，即可得出結(jié)果．【詳解】解：、分別平分、，，、分別平分三角形的兩個(gè)外角、，∴；故答案為：．3．（23-24七年級(jí)下·湖南衡陽(yáng)·期末）如圖，在中，，，平分，于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知三角形內(nèi)角和定理、角的平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)．（1）由三角形內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，是角平分線，故；（2）在中，可求得的度數(shù)，于是．【詳解】（1）解：，，，平分，；（2）解：，，，，．題型八三角形的外角的定義及性質(zhì)例題：（23-24七年級(jí)下·四川樂山·期末）如圖，在中，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，則【答案】50【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和即可解題．【詳解】解：由三角形的外角性質(zhì)得：，，，故答案為：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）如圖，已知直線，，，則度．【答案】46【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求解即可．【詳解】解：，，，即故答案為：46．2．（23-24七年級(jí)下·江蘇淮安·期末）如圖，的兩個(gè)外角的平分線交于點(diǎn)P．若，則．【答案】/52度【分析】本題考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．解題的關(guān)鍵在于找出角度的數(shù)量關(guān)系．利用角平分線的定義結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，可得，由，利用三角形內(nèi)角和定理可得，即可得到，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，，即，,故答案為：．3．（23-24七年級(jí)下·江西南昌·期末）已知直線，將含角的直角三角板按如圖所示擺放．若，則=．

【答案】/110度【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)和外角和定理，對(duì)頂角角度相等，根據(jù)題意可知三角板的為，，再根據(jù)外角和定理及同位角和對(duì)頂角定理，即可得到答案．【詳解】解：∵角的直角三角板，，∴，又∵，根據(jù)平行線同位角相等得：，∵與為對(duì)頂角，∴，故答案為：．

題型九多邊形的內(nèi)角和與外角和例題：（23-24七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）足球的表面是由12個(gè)正五邊形和20個(gè)正六邊形組成的.如圖，將足球上的一個(gè)正六邊形和它相鄰的一個(gè)正五邊形展開放平，則圖中的．【答案】/132度【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和定理，熟知多邊形內(nèi)角和計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式進(jìn)行求解即可．【詳解】正五邊形內(nèi)角和為正六邊形內(nèi)角和為正五邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為，正六邊形每個(gè)內(nèi)角度數(shù)為故答案為：鞏固訓(xùn)練1．（23-24九年級(jí)下·重慶開州·階段練習(xí)）如圖，和是四邊形的外角，若，，則．【答案】/195度【分析】查看考查了多邊形內(nèi)角和，平角的定義，首先根據(jù)四邊