人教版九年級(jí)數(shù)學(xué) 第二十一章 一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破（17題型清單）

試卷第=page4242頁(yè)，共=sectionpages4343頁(yè)第二十一章一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破（17題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、一元二次方程的概念1.概念等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程滿(mǎn)足的條件(三要素)(1)是整式方程;(2)只含有一個(gè)未知數(shù);(3)整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2.3.對(duì)“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”的理解(1)該項(xiàng)系數(shù)不為0:(2)該項(xiàng)未知數(shù)指數(shù)為2;(3)當(dāng)方程中的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí),字母取值不確定,這個(gè)方程不一定是一元二次方程二、一元二次方程的一般形式1.一般形式一元二次方程的一般形式是(a≠0).其中是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).2.一元二次方程的一般形式的特點(diǎn):方程右邊是0,左邊是關(guān)于x的二次整式,且二次項(xiàng)系數(shù)不為0.3.特殊形式二次項(xiàng)系數(shù)不為0,當(dāng)b取0或c取0時(shí),一元二次方程的一般形式呈現(xiàn)如下情況:4.注意事項(xiàng)確定一元二次方程的各項(xiàng)和各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要丟掉前面的符號(hào).一般情況下,將一元二次方程整理為一般形式時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù),要乘“-1”把它轉(zhuǎn)化為正數(shù),若有的項(xiàng)系數(shù)是分?jǐn)?shù),要把它轉(zhuǎn)化為整數(shù).三、一元二次方程的解(根)1.概念使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5都是方程的解(根).2.一元二次方程的解(根)滿(mǎn)足的條件(1)未知數(shù)的值;(2)使方程左右兩邊相等3.判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解(根)的方法4.一元一次方程和一元二次方程根的區(qū)別四、一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法直接開(kāi)平方法解一元二次方程：將方程化成x+a2=b(b≥0)的形式，則x五、一元二次方程的解法：配方法1.配方法：配方法是一種以配方為手段，以開(kāi)平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的方法．2.用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(a≠0）的一般步驟是：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；（2）移項(xiàng)，即使方程的左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；（3）配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值一半的平方；（4）化原方程為(x+m）2=n的形式；（5）如果n≥0就可以用兩邊開(kāi)平方來(lái)求出方程的解；如果n＜0，則原方程無(wú)解．注意：實(shí)際在解方程的過(guò)程中，一般也只是針對(duì)且為偶數(shù)時(shí)，才使用配方法，否則可以考慮使用公式法來(lái)更加簡(jiǎn)單。六、公式法1.公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通過(guò)配方推導(dǎo)出來(lái)的．一元二次方程的求根公式是:(=b2－4ac≥0)2.推導(dǎo)過(guò)程：一元二次方程，用配方法將其變形為：3.公式法解方程的步驟：①化方程為一元二次方程的一般形式；②確定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，則代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4ac＜0，則方程無(wú)解．七、一元二次方程根的判別式()1.=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)根。判別式作用：①定根的個(gè)數(shù)；②求待定系數(shù)的值。注意：(1)在使用根的判別式之前，應(yīng)將一元二次方程化成一般式；(2)在確定一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍時(shí)，必須檢驗(yàn)二次項(xiàng)系數(shù)a≠0(3)證明恒為正數(shù)的常用方法：把△的表達(dá)式通過(guò)配方化成“完全平方式+正數(shù)”的形式。七、因分解法1.元二次方程通過(guò)因式分解，分解為兩個(gè)一次因式乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次因式分別等于0，實(shí)現(xiàn)降次的方法。即將一元二次方程化簡(jiǎn)為；從而得出：，因式分解法的關(guān)鍵是分解成兩個(gè)一次因式相乘的形式。2.分解的主要方法：提取公因式法：通過(guò)提取公因式達(dá)到因式分解的目的，進(jìn)而求解一元二方程。乘法公式：因式分解的目的在將方程化成兩個(gè)因式乘積等于0的形式，利用如下乘法公式，有時(shí)可以很好解決。=1\*GB3①平方差公式：a2?b2=（a+b）（a?b）；=2\*GB3②完全平方公式：a2十字相乘法：十字相乘法能將某些二次三項(xiàng)式因式分解。十字相乘法的二次三項(xiàng)式需滿(mǎn)足三個(gè)條件：=1\*GB3①十字左邊上下兩數(shù)相乘等于二次項(xiàng)；=2\*GB3②十字右邊上下兩數(shù)相乘等于常數(shù)項(xiàng)；=3\*GB3③十字交叉相乘積的和等于一次項(xiàng)。例如：用十字相乘法解方程：2x2?x?6=0∴方程可分解為：（2x+3）（x－2）=0∴x1=?=1\*GB3①雖然所有的一元二次都可以用公式法來(lái)求解，但它往往并非最簡(jiǎn)單的，一定要注意方法的選用。②解一元二次方程時(shí)一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握。=3\*GB3③四種求方程方法的一定要合理選用，依次按直接開(kāi)平方、因式分解，配方法和公式法的順序考慮選用。八、因分解法韋達(dá)定理：如果是一元二次方程的兩個(gè)根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．九、一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟=1\*GB3①根據(jù)題意和實(shí)際問(wèn)題涉及的類(lèi)型，建立等量關(guān)系式；=2\*GB3②以利于表示等量關(guān)系式為原則，設(shè)未知數(shù)x；=3\*GB3③依據(jù)等量關(guān)系式和未知數(shù)x建立方程；=4\*GB3④解方程并解答。注：一元二次方程通常有2解，但是，應(yīng)檢驗(yàn)方程的2個(gè)根是否都符合實(shí)際情況。十、二次方程應(yīng)用題常見(jiàn)類(lèi)型：1）面積問(wèn)題；2）平均變化率問(wèn)題；3）銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題；4）傳播問(wèn)題；5）循環(huán)問(wèn)題；6）數(shù)字問(wèn)題。十一、變化率問(wèn)題1.增長(zhǎng)率問(wèn)題a(1+x)2=b，其中a為增長(zhǎng)前的量，x為增長(zhǎng)率，2為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.2.降低率問(wèn)題a(1-x)2=b，其中a為降低前的量，x為降低率，2為降低次數(shù)，b為降低后的量.注意1與x位置不可調(diào)換.總結(jié)：有關(guān)增長(zhǎng)率和降低率的有關(guān)數(shù)量關(guān)系增長(zhǎng)率的問(wèn)題在實(shí)際生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增長(zhǎng)(或降低)百分率為x，增長(zhǎng)(或降低)前的量是a，增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b，則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(其中增長(zhǎng)取“+”，降低取“－”).十二、傳播問(wèn)題實(shí)例探索數(shù)量關(guān)系：第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2十三、循環(huán)問(wèn)題（1）重疊類(lèi)型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m?！?支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽和B與A比賽是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法有重疊部分∴m=1（2）不重疊類(lèi)型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次為m。∵1支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽在A(yíng)的主場(chǎng)，B與A比賽在B的主場(chǎng)，不是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法無(wú)重疊∴m=n（n?1）0303題型歸納題型一一元二次方程的定義例題：（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4鞏固訓(xùn)練2．（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期末）下列方程中，屬于一元二次方程的是（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）下列方程中一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．4．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A． B．2 C． D．4題型二一元二次方程的一般形式例題：5．（24-25九年級(jí)上·浙江·假期作業(yè)）若一元二次方程（為常數(shù)），化成一般形式為，則的值分別是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練6．（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·期末）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（

）A．1，2，3 B．0，2， C．0，， D．1，2，7．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，將其化成二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項(xiàng)是．8．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．(1)；(2)；(3)關(guān)于的方程．題型三一元二次方程的解例題：9．（23-24八年級(jí)下·山東威?！て谀┤鬭，b，c滿(mǎn)足，則關(guān)于x的方程的兩個(gè)根的平方和是（

）A．2 B．3 C．5 D．8鞏固訓(xùn)練10．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期末）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．202711．（23-24八年級(jí)下·浙江衢州·期中）若m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是．12．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程，如果a，b，c滿(mǎn)足，我們就稱(chēng)這個(gè)一元二次方程為波浪方程．(1)判斷方程是否為波浪方程，并說(shuō)明理由．(2)已知關(guān)于x的波浪方程的一個(gè)根是，求這個(gè)波浪方程．題型四用配方法解一元二次方程例題：13．（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期末）解方程：．鞏固訓(xùn)練14．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）用配方法解一元二次方程，配方正確的是（

）A． B．C． D．15．（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）用配方法解方程時(shí)，變形結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．16．（23-24八年級(jí)下·浙江衢州·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（

）A． B． C． D．題型五配方法的應(yīng)用例題：17．（23-24九年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A． B．0 C．2 D．4鞏固訓(xùn)練18．（23-24八年級(jí)下·浙江嘉興·期末）已知關(guān)于的多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，該多項(xiàng)式的值為，則多項(xiàng)式的值可以是（

）A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.7519．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期中）代數(shù)式的值恒為（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)20．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，設(shè)，則的最大值是（

）A． B． C． D．121．（2024八年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）用配方法說(shuō)明，無(wú)論取何值，代數(shù)式的值總小于0．22．（23-24八年級(jí)下·廣西梧州·期中）先閱讀下面內(nèi)容，再解決問(wèn)題：若關(guān)于、的方程，求、的值．解；因?yàn)樗运约此?，所以，解得?1)模仿閱讀內(nèi)容解關(guān)于、的方程，已知，求、的值；(2)若、是方程的解，求關(guān)于的一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所圍成的三角形的面積．題型六用公式法解一元二次方程例題：23．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）解方程：．鞏固訓(xùn)練24．（24-25九年級(jí)上·安徽·假期作業(yè)）用求根公式解一元二次方程時(shí)，，的值是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，25．（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根時(shí)，小珺正確地代入了a，b，c得到，則她求解的一元二次方程是（

）A． B．C． D．26．（2024·浙江金華·二模）設(shè)關(guān)于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈M條件中選擇其中一組，的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程．題型七用根的判別式判斷根的情況例題：27．（23-24八年級(jí)下·廣東廣州·期末）方程的根的情況是（

）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根鞏固訓(xùn)練28．（2024·河南駐馬店·三模）下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．題型八根據(jù)根的判別式求字母的值例題：29．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．(1)若是方程的一個(gè)根，求k的值；(2)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．鞏固訓(xùn)練30．（23-24八年級(jí)下·廣西梧州·期中）關(guān)于的一元二次方程的根情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由的值確定31．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程的根的判別式等于，則的值是（

）A． B． C． D．或32．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）已知關(guān)于的方程．(1)判斷此方程根的情況；(2)若是該方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．33．（2024·甘肅金昌·三模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若該方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．34．（2024·遼寧朝陽(yáng)·三模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的最小整數(shù)值是（

）A． B． C． D．35．（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．836．（2024九年級(jí)·云南·專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B．C．且 D．且題型九用因式分解法解一元二次方程例題：37．（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期末）解方程：(1)．(2)．鞏固訓(xùn)練38．（23-24八年級(jí)下·廣西梧州·期中）解關(guān)于的方程得（

）A．， B．，C．， D．，39．（12-13九年級(jí)上·廣東廣州·期末）已知x為實(shí)數(shù)，若，則．40．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若的兩邊的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為5，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求k的值．題型十換元法例題：41．（2024九年級(jí)下·云南·專(zhuān)題練習(xí)）用換元法解方程時(shí)，設(shè)，則原方程可化為關(guān)于的方程是（）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練42．（2024·上海徐匯·三模）如果實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，那么的值是．43．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．202744．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程（都是常數(shù)，且）的解為，則方程（都是常數(shù)，且）的解為．題型十一一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系例題：45．（2024·云南昆明·三模）已知和是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（

）A． B． C．6 D．鞏固訓(xùn)練46．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知a、b、c是的三條邊的長(zhǎng)，那么方程的根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根47．（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）已知、是一元二次方程的兩根，則．48．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)當(dāng)時(shí)，解這個(gè)方程；(2)試判斷這個(gè)一元二次方程根的情況，并說(shuō)明理由；(3)，是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若n、t為正整數(shù)，且，求n的值.題型十二增長(zhǎng)率問(wèn)題例題：49．（23-24八年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）公安部門(mén)提醒市民，騎車(chē)出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷(xiāo)商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷(xiāo)量，該品牌頭盔4月份銷(xiāo)售1500個(gè)，6月份銷(xiāo)售2160個(gè)，且從4月份到6月份銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率相同．(1)求該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率；(2)按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)7月份該品牌頭盔銷(xiāo)售量是多少？鞏固訓(xùn)練50．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）某企業(yè)今年1月份的利潤(rùn)為200萬(wàn)元，2月份和3月份的利潤(rùn)合計(jì)為750萬(wàn)元，設(shè)2月份和3月份利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．51．（2024·云南·中考真題）兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為60元．設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．52．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）某單位響應(yīng)綠色環(huán)保倡議，提出要節(jié)約用紙，逐步走向“無(wú)紙化”辦公．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該單位2月份紙的用紙量為1000張，到了4月份紙的用紙量降到了640張．求從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率．題型十三傳播問(wèn)題例題：53．（17-18九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感。(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有多少人患流感？鞏固訓(xùn)練54．（23-24八年級(jí)下·重慶九龍坡·期末）甲流病毒是一種傳染性極強(qiáng)的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床以發(fā)熱、乏力、干咳為主要表現(xiàn)．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，則每輪傳染平均一個(gè)人傳染x人，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有256人感染了“甲流”．則關(guān)于x的方程為（

）A． B．C． D．55．（2024·云南昭通·一模）有一臺(tái)電腦感染了某種電腦病毒，經(jīng)過(guò)兩輪感染后，共有臺(tái)電腦感染了該病毒．設(shè)每輪感染中，平均一臺(tái)電腦可以感染臺(tái)電腦，下列方程正確的是（

）A． B． C． D．56．（23-24八年級(jí)下·山東威?！て谥校┙晔謾C(jī)微信上的垃圾短信泛濫成災(zāi)，嚴(yán)重影響了人們的生活，最近小王收到一條垃圾短信，此短信要求接到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給若干人，如果收到此短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開(kāi)始計(jì)算，轉(zhuǎn)發(fā)兩輪后共有91人有此短信．(1)請(qǐng)求出這個(gè)短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給多少人？(2)如果收到短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開(kāi)始計(jì)算，三輪后會(huì)有多少人有此短信？題型十四幾何圖形問(wèn)題例題：57．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，校園空地上有一面長(zhǎng)為4米的墻．為了創(chuàng)建美麗校園，學(xué)校決定用這面墻和20米的圍欄圍成一個(gè)矩形花園．(1)如圖1，利用墻圍成矩形花園，若圍成的花園面積為32平方米，求花園的邊長(zhǎng)：(2)如圖2，用圍欄補(bǔ)墻得到矩形花園，花園的面積可能為36平方米嗎？若能，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．鞏固訓(xùn)練58．（23-24八年級(jí)下·山東威?！て谀┤鐖D，在寬10米、長(zhǎng)22米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使草坪的面積為160平方米．設(shè)道路的寬為x米，可列方程（

）A．B．C．D．59．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）《增刪算法統(tǒng)宗》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，其中記載“圓中方形”問(wèn)題：其大意為“有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好平方步，從水池邊到圓周，每邊最大相距步遠(yuǎn)，在這個(gè)不變圖形中，應(yīng)該能求出正方形的邊長(zhǎng)和圓的直徑．”如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是步，則列出的方程是（）A． B．C． D．60．（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期末）如圖1，將面積為4的正方形分為①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形，則長(zhǎng)為．題型十五營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題例題：61．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期末）某汽車(chē)租賃公司共有300輛可供出租的某款汽車(chē)，2021年每輛汽車(chē)的日租金為100元，由于物價(jià)上漲，到2023年日租金上漲到121元．(1)求2021年至2023年日租金的平均增長(zhǎng)率．(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，從2023年開(kāi)始，當(dāng)每輛汽車(chē)的日租金定為121元時(shí)，汽車(chē)可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2輛．已知汽車(chē)租賃公司每日需為每輛租出的汽車(chē)支付各類(lèi)費(fèi)用31元，每輛未租出的汽車(chē)支付各類(lèi)費(fèi)用10元．①在每輛汽車(chē)日租金121元的基礎(chǔ)上，設(shè)上漲元，則每輛汽車(chē)的日租金為_(kāi)_____元，實(shí)際能租出______輛車(chē)．②當(dāng)每輛汽車(chē)的日租金上漲多少元時(shí)，該租賃公司的日收益可達(dá)28200元？(日收益總租金各類(lèi)費(fèi)用)鞏固訓(xùn)練62．（2024·浙江溫州·三模）某品牌店銷(xiāo)售一款進(jìn)價(jià)為每件50元的男士短袖，若按每件80元出售，每月可銷(xiāo)售200件．值此父親節(jié)來(lái)臨之際，該店實(shí)行降價(jià)促銷(xiāo)．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這款男士短袖的售價(jià)每下降1元，其銷(xiāo)售數(shù)量就增加20件．當(dāng)每件男士短袖降價(jià)多少元時(shí)，該店銷(xiāo)售這款男士短袖的利潤(rùn)為8000元？設(shè)每件男士短袖降價(jià)x元，可列出方程為（

）A． B．C． D．63．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）濟(jì)南市公安交警部門(mén)提醒市民：“出門(mén)戴頭盔，放心平安歸”.某商店統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔的銷(xiāo)售量，四月份售出375個(gè)，六月份售出540個(gè)，且從四月份到六月份月增長(zhǎng)率相同.(1)求該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率；(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，此種品牌頭盔如果每個(gè)盈利10元，月銷(xiāo)售量為500個(gè)，若在此基礎(chǔ)上每個(gè)漲價(jià)1元，則月銷(xiāo)售量將減少20個(gè)，現(xiàn)在既要使月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到6000元，又要盡可能讓顧客得到實(shí)惠，那么該品牌頭盔每個(gè)應(yīng)漲價(jià)多少元？64．（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期末）某社區(qū)超市銷(xiāo)售甲、乙兩種面粉，已知購(gòu)買(mǎi)20袋甲種面粉和16袋乙種面粉需要資金800元，購(gòu)買(mǎi)40袋甲種面粉和8袋乙種面粉需要資金1000元．(1)甲、乙兩種面粉每袋的售價(jià)分別為多少元？(2)已知該超市在四月份共售出甲種面粉500袋、乙種面粉300袋．五月份超市將甲種面粉每袋的售價(jià)提高元，乙種面粉每袋的售價(jià)不變，結(jié)果與四月份相比，五月份甲種面粉的銷(xiāo)量下降了袋，乙種面粉的銷(xiāo)量上升了袋，但甲種面粉的銷(xiāo)量仍高于乙種面粉，銷(xiāo)售總額比四月份多出3000元，求的值．題型十六動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題例題：65．（23-24九年級(jí)上·四川眉山·期末）如圖，在中，，，，P、Q分別是上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)從M、N兩點(diǎn)出發(fā)分別沿方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度都是，要使的面積為面積的一半，則需經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（

）

A．2或 B． C． D．鞏固訓(xùn)練66．（23-24九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，一直到達(dá)點(diǎn)為止;同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊以的速度向點(diǎn)移動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)時(shí)，（）

A． B．或4 C．或 D．

67．（22-23九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，矩形中，，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)D移動(dòng)，當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(

)A． B． C．6 D．68．（23-24九年級(jí)上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿其對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，再把沿著方向平移，得到，若兩個(gè)三角形重疊部分的面積為，則它移動(dòng)的距離等于（

）

A． B． C．或 D．題型十七其它問(wèn)題例題：69．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測(cè)）圖1是我國(guó)古代傳說(shuō)中的洛書(shū)，圖2是洛書(shū)的數(shù)字表示．相傳，大禹時(shí)，洛陽(yáng)西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書(shū)”，獻(xiàn)給大禹．大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．又依此定九章大法，治理社會(huì)，流傳下來(lái)收入《尚書(shū)》中，名《洪范》．《易?系辭上》說(shuō)：“河出圖，洛出書(shū)，圣人則之”．洛書(shū)是一個(gè)三階幻方，就是將已知的9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線(xiàn)上的數(shù)字之和都相等．圖3是一個(gè)不完整的幻方，根據(jù)幻方的規(guī)則，由已知數(shù)求出x的值應(yīng)為（）A．或 B．1或 C．或4 D．1或4鞏固訓(xùn)練70．（23-24八年級(jí)下·廣西梧州·期中）某商店以2400元購(gòu)進(jìn)一種盒裝茶葉，第一個(gè)月每盒按進(jìn)價(jià)增加20%作為售價(jià)，售出50盒．第二個(gè)月每盒以低于進(jìn)價(jià)5元作為售價(jià)，售完余下的茶葉．全部售完后共盈利350元，求每盒茶葉的進(jìn)價(jià)．設(shè)每盒茶葉的進(jìn)價(jià)為元．下面選項(xiàng)列方程正確的是（

）A．B．C．D．71．（23-24八年級(jí)下·浙江·期中）為了測(cè)一個(gè)礦井的深度，將一塊石頭從井口丟下去，6.5秒后聽(tīng)到它落地的聲音，已知音速為330米/秒，石頭從井口落下的距離s與時(shí)間t的關(guān)系式為（g為10米秒）．若設(shè)石頭從井口落到并底用了x秒，則可列方程為（

）A． B．C． D．72．（2024·天津和平·一模）如圖，在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)，使雕像的上部（腰以上）與下部（腰以下）的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，可以增加視覺(jué)美感．按此比例，如果雕像的高為，設(shè)雕像下部高，則下列結(jié)論不正確的是（）A．雕像的上部高度與下部高度的關(guān)系為：B．依題意可以列方程C．依題意可以列方程D．雕塑下部高度為

第二十一章一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破（17題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、一元二次方程的概念1.概念等號(hào)兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程滿(mǎn)足的條件(三要素)(1)是整式方程;(2)只含有一個(gè)未知數(shù);(3)整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2.3.對(duì)“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”的理解(1)該項(xiàng)系數(shù)不為0:(2)該項(xiàng)未知數(shù)指數(shù)為2;(3)當(dāng)方程中的二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí),字母取值不確定,這個(gè)方程不一定是一元二次方程二、一元二次方程的一般形式1.一般形式一元二次方程的一般形式是(a≠0).其中是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).2.一元二次方程的一般形式的特點(diǎn):方程右邊是0,左邊是關(guān)于x的二次整式,且二次項(xiàng)系數(shù)不為0.3.特殊形式二次項(xiàng)系數(shù)不為0,當(dāng)b取0或c取0時(shí),一元二次方程的一般形式呈現(xiàn)如下情況:4.注意事項(xiàng)確定一元二次方程的各項(xiàng)和各項(xiàng)系數(shù)時(shí)注意不要丟掉前面的符號(hào).一般情況下,將一元二次方程整理為一般形式時(shí),若二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù),要乘“-1”把它轉(zhuǎn)化為正數(shù),若有的項(xiàng)系數(shù)是分?jǐn)?shù),要把它轉(zhuǎn)化為整數(shù).三、一元二次方程的解(根)1.概念使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5都是方程的解(根).2.一元二次方程的解(根)滿(mǎn)足的條件(1)未知數(shù)的值;(2)使方程左右兩邊相等3.判斷一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解(根)的方法4.一元一次方程和一元二次方程根的區(qū)別四、一元二次方程的解法：直接開(kāi)平方法直接開(kāi)平方法解一元二次方程：將方程化成x+a2=b(b≥0)的形式，則x五、一元二次方程的解法：配方法1.配方法：配方法是一種以配方為手段，以開(kāi)平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的方法．2.用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(a≠0）的一般步驟是：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；（2）移項(xiàng)，即使方程的左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；（3）配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值一半的平方；（4）化原方程為(x+m）2=n的形式；（5）如果n≥0就可以用兩邊開(kāi)平方來(lái)求出方程的解；如果n＜0，則原方程無(wú)解．注意：實(shí)際在解方程的過(guò)程中，一般也只是針對(duì)且為偶數(shù)時(shí)，才使用配方法，否則可以考慮使用公式法來(lái)更加簡(jiǎn)單。六、公式法1.公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通過(guò)配方推導(dǎo)出來(lái)的．一元二次方程的求根公式是:(=b2－4ac≥0)2.推導(dǎo)過(guò)程：一元二次方程，用配方法將其變形為：3.公式法解方程的步驟：①化方程為一元二次方程的一般形式；②確定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，則代人求根公式，求出x1,x2．若b2－4ac＜0，則方程無(wú)解．七、一元二次方程根的判別式()1.=1\*GB3①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；=2\*GB3②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；=3\*GB3③當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)根。判別式作用：①定根的個(gè)數(shù)；②求待定系數(shù)的值。注意：(1)在使用根的判別式之前，應(yīng)將一元二次方程化成一般式；(2)在確定一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍時(shí)，必須檢驗(yàn)二次項(xiàng)系數(shù)a≠0(3)證明恒為正數(shù)的常用方法：把△的表達(dá)式通過(guò)配方化成“完全平方式+正數(shù)”的形式。七、因分解法1.元二次方程通過(guò)因式分解，分解為兩個(gè)一次因式乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次因式分別等于0，實(shí)現(xiàn)降次的方法。即將一元二次方程化簡(jiǎn)為；從而得出：，因式分解法的關(guān)鍵是分解成兩個(gè)一次因式相乘的形式。2.分解的主要方法：提取公因式法：通過(guò)提取公因式達(dá)到因式分解的目的，進(jìn)而求解一元二方程。乘法公式：因式分解的目的在將方程化成兩個(gè)因式乘積等于0的形式，利用如下乘法公式，有時(shí)可以很好解決。=1\*GB3①平方差公式：a2?b2=（a+b）（a?b）；=2\*GB3②完全平方公式：a2十字相乘法：十字相乘法能將某些二次三項(xiàng)式因式分解。十字相乘法的二次三項(xiàng)式需滿(mǎn)足三個(gè)條件：=1\*GB3①十字左邊上下兩數(shù)相乘等于二次項(xiàng)；=2\*GB3②十字右邊上下兩數(shù)相乘等于常數(shù)項(xiàng)；=3\*GB3③十字交叉相乘積的和等于一次項(xiàng)。例如：用十字相乘法解方程：2x2?x?6=0∴方程可分解為：（2x+3）（x－2）=0∴x4）解一元二次方程的方法選擇：=1\*GB3①雖然所有的一元二次都可以用公式法來(lái)求解，但它往往并非最簡(jiǎn)單的，一定要注意方法的選用。②解一元二次方程時(shí)一般不使用配方法（除特別要求外）但又必須熟練掌握。=3\*GB3③四種求方程方法的一定要合理選用，依次按直接開(kāi)平方、因式分解，配方法和公式法的順序考慮選用。八、因分解法韋達(dá)定理：如果是一元二次方程的兩個(gè)根,由解方程中的公式法得,．那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．九、一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟=1\*GB3①根據(jù)題意和實(shí)際問(wèn)題涉及的類(lèi)型，建立等量關(guān)系式；=2\*GB3②以利于表示等量關(guān)系式為原則，設(shè)未知數(shù)x；=3\*GB3③依據(jù)等量關(guān)系式和未知數(shù)x建立方程；=4\*GB3④解方程并解答。注：一元二次方程通常有2解，但是，應(yīng)檢驗(yàn)方程的2個(gè)根是否都符合實(shí)際情況。十、二次方程應(yīng)用題常見(jiàn)類(lèi)型：1）面積問(wèn)題；2）平均變化率問(wèn)題；3）銷(xiāo)售利潤(rùn)問(wèn)題；4）傳播問(wèn)題；5）循環(huán)問(wèn)題；6）數(shù)字問(wèn)題。十一、變化率問(wèn)題1.增長(zhǎng)率問(wèn)題a(1+x)2=b，其中a為增長(zhǎng)前的量，x為增長(zhǎng)率，2為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.2.降低率問(wèn)題a(1-x)2=b，其中a為降低前的量，x為降低率，2為降低次數(shù)，b為降低后的量.注意1與x位置不可調(diào)換.總結(jié)：有關(guān)增長(zhǎng)率和降低率的有關(guān)數(shù)量關(guān)系增長(zhǎng)率的問(wèn)題在實(shí)際生活中普遍存在，有一定的模式.若平均增長(zhǎng)(或降低)百分率為x，增長(zhǎng)(或降低)前的量是a，增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b，則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(其中增長(zhǎng)取“+”，降低取“－”).十二、傳播問(wèn)題實(shí)例探索數(shù)量關(guān)系：第一輪傳播后的量=傳播前的量×（1+傳播速度）第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×（1+傳播速度）=傳播前的量×（1+傳播速度）2十三、循環(huán)問(wèn)題（1）重疊類(lèi)型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m?！?支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽和B與A比賽是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法有重疊部分∴m=1（2）不重疊類(lèi)型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次為m?！?支球隊(duì)要和剩下的（n－1）支球隊(duì)比賽，∴1支球隊(duì)需要比（n－1）場(chǎng)∵存在n支這樣的球隊(duì)，∴比賽場(chǎng)次為：n（n－1）場(chǎng)∵A與B比賽在A(yíng)的主場(chǎng)，B與A比賽在B的主場(chǎng)，不是同一場(chǎng)比賽，∴上述求法無(wú)重疊∴m=n（n?1）0303題型歸納題型一一元二次方程的定義例題：（23-24八年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期中）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥，一元二次方程的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程，據(jù)此求解即可．【詳解】解：①，是一元二次方程；②，當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程；③，不是整式方程，不是一元二次方程；④，是一元二次方程；⑤，含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程；；⑥，即，未知數(shù)的最高次不是2，不是一元二次方程；∴一元二次方程有2個(gè)，故選：B．鞏固訓(xùn)練2．（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期末）下列方程中，屬于一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義：“含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程”進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】解：A、含有兩個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，不是一元二次方程，故不符合題意；B、未知數(shù)的最高次數(shù)是1，不是一元二次方程，故不符合題意；C、含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，是一元二次方程，故符合題意；D、不是整式方程，故不符合題意；故選：C．3．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)寧·期末）下列方程中一定是關(guān)于x的一元二次方程的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程的定義即可解答．【詳解】解：A、，當(dāng)時(shí)不是一元二次方程，故不符合題意；B、，當(dāng)時(shí)不是一元二次方程，故不符合題意；C、，含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故不符合題意；D、是一元二次方程，故符合題意．故選：D．4．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義解方程求解以及不等式即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得出且解得：，故選：A．題型二一元二次方程的一般形式例題：5．（24-25九年級(jí)上·浙江·假期作業(yè)）若一元二次方程（為常數(shù)），化成一般形式為，則的值分別是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式．要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式，根據(jù)完全平方公式、移項(xiàng)法則把原方程化為一般形式，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：，則，∴，由題意得：，，解得：，，故選：B．鞏固訓(xùn)練6．（23-24八年級(jí)下·江蘇南通·期末）一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別是（

）A．1，2，3 B．0，2， C．0，， D．1，2，【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的一般形式，解題關(guān)鍵在于將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程的一般形式即可解答.將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程的一般形式，然后找出方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)即可.【詳解】解：方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)分別是1，，，故選D7．（2023·湖北孝感·一模）已知一元二次方程，將其化成二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一般形式后，它的常數(shù)項(xiàng)是．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，熟練掌握運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．先把化方程為一般式，從而得到常數(shù)項(xiàng)．【詳解】解：，去括號(hào)，得，合并，得，所以常數(shù)項(xiàng)是．故答案為：．8．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·假期作業(yè)）將下列方程化成一元二次方程的一般形式，并寫(xiě)出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)．(1)；(2)；(3)關(guān)于的方程．【答案】(1)，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為(2)，二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為0(3)，二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本題的關(guān)鍵；（1）先移項(xiàng)，把方程的右邊化為0，從而可得答案；（2）先去括號(hào)，再移項(xiàng)，把方程的右邊化為0，從而可得答案；（3）先移項(xiàng)，把方程的右邊化為0，從而可得答案；【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得．二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為．（2），去括號(hào)，得；移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得，整理，得．二次項(xiàng)系數(shù)為3，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為0．（3）移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)，得．二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為．題型三一元二次方程的解例題：9．（23-24八年級(jí)下·山東威海·期末）若a，b，c滿(mǎn)足，則關(guān)于x的方程的兩個(gè)根的平方和是（

）A．2 B．3 C．5 D．8【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的根，根據(jù)題意，得到方程的兩個(gè)根為和，進(jìn)而求出兩個(gè)根的平方和即可．【詳解】解：∵a，b，c滿(mǎn)足，∴關(guān)于x的方程的兩個(gè)根分別為和，∴；故選C．鞏固訓(xùn)練10．（23-24八年級(jí)下·河南鄭州·期末）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的定義，理解一元二次方程根的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的定義，可得一元二次方程中，滿(mǎn)足該方程，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：設(shè)，則一元二次方程可化為，，關(guān)于x的一元二次方程有一根為，一元二次方程有一個(gè)根為，則，即，一元二次方程必有一根為2025．故選：B．11．（23-24八年級(jí)下·浙江衢州·期中）若m是方程的一個(gè)根，則代數(shù)式的值是．【答案】【分析】本題考查了代數(shù)式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，則，再把變形為，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：是方程的一個(gè)根，，，．故答案為：．12．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知關(guān)于x的一元二次方程，如果a，b，c滿(mǎn)足，我們就稱(chēng)這個(gè)一元二次方程為波浪方程．(1)判斷方程是否為波浪方程，并說(shuō)明理由．(2)已知關(guān)于x的波浪方程的一個(gè)根是，求這個(gè)波浪方程．【答案】(1)該方程是波浪方程(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，理解題中所給波浪方程的定義及熟知一元二次方程解得定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)波浪方程的定義對(duì)所給方程進(jìn)行判斷即可．（2）根據(jù)波浪方程的定義，結(jié)合方程的一個(gè)根為，得到關(guān)于a，c的方程組即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：，，，，故該方程是波浪方程；（2）解：由已知得：解得，這個(gè)波浪方程為．題型四用配方法解一元二次方程例題：13．（23-24八年級(jí)下·安徽亳州·期末）解方程：．【答案】，【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的各種解法是解題的關(guān)鍵．利用配方法即可求解．【詳解】解：配方得：即或，，．鞏固訓(xùn)練14．（23-24八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）用配方法解一元二次方程，配方正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查解一元二次方程-配方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式．方程移項(xiàng)變形后，利用完全平方公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，即可做出判斷．【詳解】解：，移項(xiàng)，得，配方，得，即，故選：C．15．（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）用配方法解方程時(shí)，變形結(jié)果正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．根據(jù)配方法的步驟先把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，再在等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，配成完全平方的形式，從而得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴；故選：A．16．（23-24八年級(jí)下·浙江衢州·期中）用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查用配方法解一元二次方程，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得．【詳解】．故選：D．題型五配方法的應(yīng)用例題：17．（23-24九年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）已知，則的最小值是（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用．利用配方法對(duì)原式進(jìn)行變形，再根據(jù)偶次方的運(yùn)算計(jì)算出結(jié)果．【詳解】解：因?yàn)椋?，，所以?dāng)，時(shí)，原式有最小值4，故選：D．鞏固訓(xùn)練18．（23-24八年級(jí)下·浙江嘉興·期末）已知關(guān)于的多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，該多項(xiàng)式的值為，則多項(xiàng)式的值可以是（

）A．3.5 B．3.25 C．3 D．2.75【答案】A【分析】本題考查了代數(shù)式及配方法，不等式及偶次方的非負(fù)性，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．先將代入原式，可整理得，再代入到，配方得，進(jìn)而求解即可．【詳解】∵當(dāng)時(shí)，該多項(xiàng)式的值為，∴，整理得，即∵，∴，即，∴，∴，四個(gè)選項(xiàng)中，只有A符合，故選：A．19．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期中）代數(shù)式的值恒為（

）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非正數(shù) D．非負(fù)數(shù)【答案】A【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．將原式整理為，即可獲得答案．【詳解】解：∵，又∵，∴，∴代數(shù)式的值恒為正數(shù)．故選：A．20．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，設(shè)，則的最大值是（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)，可以得到，然后可以得到，進(jìn)而得到，再設(shè)，即可得到，然后即可寫(xiě)出的最大值，從而可以得到的最大值．本題考查配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出的最大值．【詳解】解：，，，，設(shè)，則，則，的最大值為，即的最大值為，故選：B．21．（2024八年級(jí)下·浙江·專(zhuān)題練習(xí)）用配方法說(shuō)明，無(wú)論取何值，代數(shù)式的值總小于0．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題主要考查配方的應(yīng)用，將配方，先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后再加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，然后根據(jù)配方后的形式，再根據(jù)這一性質(zhì)即可證得．【詳解】證明：，，，，無(wú)論為何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值總小于零．22．（23-24八年級(jí)下·廣西梧州·期中）先閱讀下面內(nèi)容，再解決問(wèn)題：若關(guān)于、的方程，求、的值．解；因?yàn)樗运约此?，所以，解得?1)模仿閱讀內(nèi)容解關(guān)于、的方程，已知，求、的值；(2)若、是方程的解，求關(guān)于的一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所圍成的三角形的面積．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，一次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法和一次函數(shù)的性質(zhì)．（1）根據(jù)題意把方程進(jìn)行配方即可求解；（2）先根據(jù)配方法求出、，進(jìn)而得到一次函數(shù)的解析式，再求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，最后利用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）解：即，，解得：，；（2）即，解得，將，代入一次函數(shù)，得，令，則；令，則，解得；該函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，于軸的交點(diǎn)為一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交點(diǎn)所圍成的三角形的面積為．題型六用公式法解一元二次方程例題：23．（23-24八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）解方程：．【答案】【分析】本題考查解一元二次方程，先將所給一元二次方程化成一般形式，再利用公式法求解．【詳解】解：，，，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，即．鞏固訓(xùn)練24．（24-25九年級(jí)上·安徽·假期作業(yè)）用求根公式解一元二次方程時(shí)，，的值是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】本題主要考查解一元二次方程的一般形式，認(rèn)知一次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．按照未知數(shù)的降冪排列，據(jù)此可得答案．【詳解】解：，，則，，，故選：C25．（23-24八年級(jí)下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根時(shí)，小珺正確地代入了a，b，c得到，則她求解的一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握求根公式中字母所表示的意義．根據(jù)求根公式解答．【詳解】解：由知：，，．所以該一元二次方程為：．故選：A．26．（2024·浙江金華·二模）設(shè)關(guān)于的一元二次方程，已知①，；②，；③，．請(qǐng)?jiān)谏鲜鋈M條件中選擇其中一組，的值，使這個(gè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，并解這個(gè)方程．【答案】若選①，則方程的解為；若選②，則方程的解為【分析】本題考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判別式，根據(jù)題意解一元二次方程，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)，，∴，∴解得：；②，；∴∴解得：；③，．，原方程無(wú)解．題型七用根的判別式判斷根的情況例題：27．（23-24八年級(jí)下·廣東廣州·期末）方程的根的情況是（

）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式．利用一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】解：∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：C鞏固訓(xùn)練28．（2024·河南駐馬店·三模）下列一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查根的判別式．分別求出每個(gè)方程判別式的值，根據(jù)判別式的值與方程的解的個(gè)數(shù)間的關(guān)系得出答案．【詳解】解：A、，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不符合題意；B、，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，不符合題意；C、，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，符合題意；D、，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，不符合題意；故選：C．題型八根據(jù)根的判別式求字母的值例題：29．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）已知：關(guān)于x的一元二次方程．(1)若是方程的一個(gè)根，求k的值；(2)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．（1）把代入一元二次方程得到關(guān)于的一次方程，然后解一次方程即可；（2）先計(jì)算根的判別式的值得到，則可判斷，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論．【詳解】（1）解：把代入得，解得；（2）證明：，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．鞏固訓(xùn)練30．（23-24八年級(jí)下·廣西梧州·期中）關(guān)于的一元二次方程的根情況是（

）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D．實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)由的值確定【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，配方法，熟記判別式并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．先確定a、b、c的值，計(jì)算的值進(jìn)行判斷即可求解．【詳解】由題意可知：，，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．31．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·階段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程的根的判別式等于，則的值是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，利用根的判別式的定義得到，然后解關(guān)于的方程即可．解題的關(guān)鍵是掌握：一元二次方程的根的判別式為．也考查了解一元二次方程．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程的根的判別式等于，∴，整理，得：，解得：，，即的值為或．故選：D．32．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）已知關(guān)于的方程．(1)判斷此方程根的情況；(2)若是該方程的一個(gè)根，求代數(shù)式的值．【答案】(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的解，熟練掌握“當(dāng)根的判別式時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出，由此得出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）將代入原方程可求出，將其代入代數(shù)式中即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：將代入方程，得，即，，．33．（2024·甘肅金昌·三模）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)當(dāng)時(shí)，求方程的解；(2)若該方程有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判別式．（1）利用配方法解方程即可；（2）根據(jù)一元二次方程跟的判別式，列出不等式求解即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程可化為，配方，得，解得；（2）解：∵該方程有實(shí)數(shù)根，∴，解得，即若該方程有實(shí)數(shù)根，的取值范圍是．34．（2024·遼寧朝陽(yáng)·三模）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的最小整數(shù)值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的根的存在性，熟練掌握利用判別式確定一元二次方程的根的存在性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得，是關(guān)于的一元二次方程，，的最小整數(shù)值為．故選：D．35．（23-24八年級(jí)下·浙江紹興·期末）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．8【答案】C【分析】本題主要考查解一元二次方程根的判別式，掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．本題有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，代入數(shù)值計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵該方程有兩個(gè)相等實(shí)根，∴，解得；故答案為：C．36．（2024九年級(jí)·云南·專(zhuān)題練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B．C．且 D．且【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及判別式的應(yīng)用，根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，得出，再解出的取值范圍，即可作答．【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根∴∴且故選：C題型九用因式分解法解一元二次方程例題：37．（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期末）解方程：(1)．(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本題考查解一元二次方程，解方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、配方法、公式法等，熟練掌握并靈活運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵．（1）先移項(xiàng)，利用因式分解解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可；【詳解】（1）解：，，∴，．（2），∴，．鞏固訓(xùn)練38．（23-24八年級(jí)下·廣西梧州·期中）解關(guān)于的方程得（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題主要考查了解一元二次方程，掌握運(yùn)用因式分解法求解即可．直接運(yùn)用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，，或，，．故選B．39．（12-13九年級(jí)上·廣東廣州·期末）已知x為實(shí)數(shù)，若，則．【答案】1【分析】本題主要考查了換元法解一元二次方程，換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，設(shè)，則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程，然后利用因式分解法解該方程求得y的值即可．【詳解】解：設(shè)，則，整理，得．所以或．解得或．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)該方程無(wú)解，故舍去．綜上所述，．故答案為：1．40．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若的兩邊的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊的長(zhǎng)為5，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求k的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)k的值為12或3【分析】本題考查一元二次方程綜合，涉及一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系，一元二次方程根與直角三角形結(jié)合等，熟練掌握一元二次方程相關(guān)定義與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出進(jìn)而可證出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）利用因式分解法可求出的長(zhǎng)，分為直角邊及為斜邊兩種情況，利用勾股定理可得出關(guān)于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三邊關(guān)系判定其是否構(gòu)成三角形）即可得出結(jié)論．【詳解】（1）由題意得：∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根（2）∵，即解得：當(dāng)為直角邊時(shí)，，解得：當(dāng)為斜邊時(shí)，，解得：（不合題意，舍）綜上：k的值為12或3題型十換元法例題：41．（2024九年級(jí)下·云南·專(zhuān)題練習(xí)）用換元法解方程時(shí)，設(shè)，則原方程可化為關(guān)于的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了用換元法解分式方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵．設(shè)，則原方程化為，再整理即可．【詳解】解：，設(shè)，則原方程化為：，，，故選：．鞏固訓(xùn)練42．（2024·上海徐匯·三模）如果實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，那么的值是．【答案】3【分析】本題主要考查了用換元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程變形是解題的關(guān)鍵．利用完全平方公式把方程變形為，利用換元法，設(shè)，則，轉(zhuǎn)化為解一元二次方程，求出可能的值，分別得出分式方程，計(jì)算檢驗(yàn)是否有解，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，，設(shè)，則，因式分解得：，∴或，解得：或，當(dāng)時(shí)，則，整理得：，∴，解得：，，經(jīng)檢驗(yàn)，，都是方程的解，∴的值為；當(dāng)時(shí)，則，整理得：，，∴時(shí)，方程無(wú)解．綜上所述，的值為，故答案為：．43．（23-24八年級(jí)下·安徽合肥·期中）若關(guān)于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（

）A．2024 B．2025 C．2026 D．2027【答案】C【分析】本題考查了換元法解一元二次方程，利用整體思想解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．利用整體思想設(shè)得到方程，再根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有一根為，即可得到t的值，從而可求解．【詳解】解：∵，∴，即．設(shè)，則．∵關(guān)于x的一元二次方程有一根為，∴在中，，∴，解得：，∴一元二次方程必有一根為2026．故選C．44．（23-24八年級(jí)下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程（都是常數(shù)，且）的解為，則方程（都是常數(shù)，且）的解為．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解，根據(jù)題意，可得：或，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（都是常數(shù)，且）的解為，∴方程，即：的解為：或，∴；故答案為：．題型十一一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系例題：45．（2024·云南昆明·三模）已知和是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，牢記“兩根之和等于，兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵．利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出，將其代入中，即可求出結(jié)論．【詳解】解：∵和是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，故選：D．鞏固訓(xùn)練46．（2024八年級(jí)下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知a、b、c是的三條邊的長(zhǎng)，那么方程的根的情況是（）A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根 D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的判別式、三角形的三邊關(guān)系，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，判斷出方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根．根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到，然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式求解即可．【詳解】解：在方程中，可得：，∵a、b、c是的三條邊的長(zhǎng)，∴．，即，∴，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又∵兩根的和是，兩根的積是，∴方程有兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根．故選：C．47．（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）已知、是一元二次方程的兩根，則．【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，，由題意得出，，從而得出，將式子變形為，整體代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵、是一元二次方程的兩根，∴，，∴，∴，故答案為：．48．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)當(dāng)時(shí)，解這個(gè)方程；(2)試判斷這個(gè)一元二次方程根的情況，并說(shuō)明理由；(3)，是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若n、t為正整數(shù)，且，求n的值.【答案】(1)，(2)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．理由見(jiàn)詳解(3)的值為1或2【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先計(jì)算根的判別式的值得到△，利用根的判別式的意義即可解答；（3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，當(dāng)，則，利用整除性得當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時(shí)，，．也考查了根的判別式．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，原方程化為，，或，∴，；（2）解：方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解．理由如下：，當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；綜上所述，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；（3）依題意，解方程得或，，或，當(dāng)時(shí)，，、為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，的值為1或2．題型十二增長(zhǎng)率問(wèn)題例題：49．（23-24八年級(jí)下·福建福州·階段練習(xí)）公安部門(mén)提醒市民，騎車(chē)出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定．某頭盔經(jīng)銷(xiāo)商統(tǒng)計(jì)了某品牌頭盔4月份到6月份的銷(xiāo)量，該品牌頭盔4月份銷(xiāo)售1500個(gè)，6月份銷(xiāo)售2160個(gè)，且從4月份到6月份銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率相同．(1)求該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率；(2)按照這個(gè)增長(zhǎng)率，預(yù)計(jì)7月份該品牌頭盔銷(xiāo)售量是多少？【答案】(1)(2)2592【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可；（2）根據(jù)題意列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：設(shè)該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為x，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．∴該品牌頭盔銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為；（2）（個(gè)）．∴預(yù)計(jì)7月份該品牌頭盔銷(xiāo)售量是2592個(gè)．鞏固訓(xùn)練50．（23-24八年級(jí)下·安徽滁州·期末）某企業(yè)今年1月份的利潤(rùn)為200萬(wàn)元，2月份和3月份的利潤(rùn)合計(jì)為750萬(wàn)元，設(shè)2月份和3月份利潤(rùn)的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)2月份和3月份的利潤(rùn)合計(jì)為750萬(wàn)元列出一元二次方程即可．【詳解】解：1月份的利潤(rùn)為200萬(wàn)元，則2月份的利潤(rùn)為，則3月份的利潤(rùn)為，∴根據(jù)題意可列方程為．故選：D．51．（2024·云南·中考真題）兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為60元．設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為，根據(jù)題意，下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)甲種藥品成本的年平均下降率為，利用現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本年（平均下降率），即可得出關(guān)于的一元二次方程．【詳解】解：甲種藥品成本的年平均下降率為，根據(jù)題意可得，故選：B．52．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·假期作業(yè)）某單位響應(yīng)綠色環(huán)保倡議，提出要節(jié)約用紙，逐步走向“無(wú)紙化”辦公．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該單位2月份紙的用紙量為1000張，到了4月份紙的用紙量降到了640張．求從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率為，利用該單位4月份紙的用紙量該單位2月份紙的用紙量從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率為，根據(jù)題意得：，，解得：，（不符合題意，舍去）．答：該單位紙的用紙量月平均降低率為．題型十三傳播問(wèn)題例題：53．（17-18九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）有一個(gè)人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感。(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？(2)如果按照這樣的傳染速度，經(jīng)過(guò)三輪傳染后共有多少人患流感？【答案】(1)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人．(2)．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意，設(shè)出合適的未知數(shù)，找出等量關(guān)系，列方程求解．（1）設(shè)第一個(gè)人傳染了人，根據(jù)兩輪傳染后共有人患了流感；列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，求出三輪之后患流感的人數(shù)．【詳解】（1）解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人，由題意得：，解得：，，，不合題意，舍去，，答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染個(gè)人．（2）則第三輪的患病人數(shù)為：．故答案為：．鞏固訓(xùn)練54．（23-24八年級(jí)下·重慶九龍坡·期末）甲流病毒是一種傳染性極強(qiáng)的急性呼吸道傳染病，感染者的臨床以發(fā)熱、乏力、干咳為主要表現(xiàn)．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，則每輪傳染平均一個(gè)人傳染x人，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有256人感染了“甲流”．則關(guān)于x的方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，第一輪傳染了x人，第二輪傳染了人，根據(jù)“經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有256人感染”列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染平均一個(gè)人傳染x人，根據(jù)題意，得，故選：C．55．（2024·云南昭通·一模）有一臺(tái)電腦感染了某種電腦病毒，經(jīng)過(guò)兩輪感染后，共有臺(tái)電腦感染了該病毒．設(shè)每輪感染中，平均一臺(tái)電腦可以感染臺(tái)電腦，下列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了從實(shí)際問(wèn)題中抽象出一元二次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確找出等量關(guān)系．經(jīng)過(guò)一輪感染，1臺(tái)電腦感染了臺(tái)電腦，這臺(tái)電腦又感染給了，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪感染了臺(tái)電腦列等量關(guān)系即可．【詳解】解：設(shè)每輪感染中，平均一臺(tái)電腦可以感染臺(tái)電腦，根據(jù)題意可得：，整理得：，故選：D．56．（23-24八年級(jí)下·山東威?！て谥校┙晔謾C(jī)微信上的垃圾短信泛濫成災(zāi)，嚴(yán)重影響了人們的生活，最近小王收到一條垃圾短信，此短信要求接到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給若干人，如果收到此短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開(kāi)始計(jì)算，轉(zhuǎn)發(fā)兩輪后共有91人有此短信．(1)請(qǐng)求出這個(gè)短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給多少人？(2)如果收到短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā)，從小王開(kāi)始計(jì)算，三輪后會(huì)有多少人有此短信？【答案】(1)這個(gè)短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給9人(2)從小王開(kāi)始計(jì)算，三輪后會(huì)有820人有此短信．【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，含乘方的有理數(shù)混合計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用：（1）設(shè)這個(gè)短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給x人，則第一輪小王會(huì)發(fā)給x人，第一輪被轉(zhuǎn)發(fā)的x人每個(gè)人又要轉(zhuǎn)發(fā)x人，據(jù)此列出方程求解即可；（2）根據(jù)（1）所求列式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)這個(gè)短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給x人，由題意得，，整理得，解得或（舍去），答：這個(gè)短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給9人；（2）解：人，答：從小王開(kāi)始計(jì)算，三輪后會(huì)有820人有此短信．題型十四幾何圖形問(wèn)題例題：57．（23-24八年級(jí)下·浙江寧波·期末）如圖，校園空地上有一面長(zhǎng)為4米的墻．為了創(chuàng)建美麗校園，學(xué)校決定用這面墻和20米的圍欄圍成一個(gè)矩形花園．(1)如圖1，利用墻圍成矩形花園，若圍成的花園面積為32平方米，求花園的邊長(zhǎng)：(2)如圖2，用圍欄補(bǔ)墻得到矩形花園，花園的面積可能為36平方米嗎？若能，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)矩形花園的邊長(zhǎng)分別為8米和4米(2)的長(zhǎng)為6米【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)米，則米，根據(jù)圍成的花園面積為32平方米，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出的值，再結(jié)合墻長(zhǎng)4米，即可確定結(jié)論；（2）花園的面積能為36平方米，設(shè)米，則米，根據(jù)圍成的花園面積為36平方米，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出的值，再將其代入中，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)米，則米，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意．答：花園的邊長(zhǎng)為8米和4米；（2）解：花園的面積能為36平方米，設(shè)米，則米，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，．答：花園的面積能為36平方米，的長(zhǎng)為6米．鞏固訓(xùn)練58．（23-24八年級(jí)下·山東威海·期末）如圖，在寬10米、長(zhǎng)22米的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使草坪的面積為160平方米．設(shè)道路的寬為x米，可列方程（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)草坪的面積為160平方米，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)道路的寬為x米，根據(jù)題意得：，故選：A．59．（2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）《增刪算法統(tǒng)宗》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作，其中記載“圓中方形”問(wèn)題：其大意為“有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測(cè)量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好平方步，從水池邊到圓周，每邊最大相距步遠(yuǎn)，在這個(gè)不變圖形中，應(yīng)該能求出正方形的邊長(zhǎng)和圓的直徑．”如圖，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是步，則列出的方程是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是步，根據(jù)圓的面積減去正方形的面積即可求解．【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是步，則列出的方程是．故選：C．60．（23-24八年級(jí)下·浙江金華·期末）如圖1，將面積為4的正方形分為①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形，則長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了關(guān)于圖形的剪拼的一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題目的意思，然后會(huì)根據(jù)題目隱含條件找到數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．已知圖中的①和②，③和④形狀大小分別完全相同，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可知①④能拼成一個(gè)直角三角形，②③能拼成一個(gè)直角三角形，并且這兩個(gè)直角三角形形狀大小相同，利用這兩個(gè)直角三角形即可拼成矩形；利用拼圖前后的面積相等列出方程求解即可得出答案．【詳解】解：如圖圖1中的正方形面積為4正方形邊長(zhǎng)為2直角三角形①中的長(zhǎng)直角邊為2解得：（負(fù)值已舍去）故答案為：．題型十五營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題例題：61．（23-24八年級(jí)下·浙江杭州·期末）某汽車(chē)租賃公司共有300輛可供出租的某款汽車(chē)，2021年每輛汽車(chē)的日租金為100元，由于物價(jià)上漲，到2023年日租金上漲到121元．(1)求2021年至2023年日租金的平均增長(zhǎng)率．(2)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，從2023年開(kāi)始，當(dāng)每輛汽車(chē)的日租金定為121元時(shí)，汽車(chē)可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2輛．已知汽車(chē)租賃公司每日需為每輛租出的汽車(chē)支付各類(lèi)費(fèi)用31元，每輛未租出的汽車(chē)支付各類(lèi)費(fèi)用10元．①在每輛汽車(chē)日租金121元的基礎(chǔ)