安徽省合肥市七中、合肥十中聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題含解析

安徽省合肥市七中、合肥十中聯(lián)考2025屆數(shù)學(xué)高二上期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，2．在等差數(shù)列中，若，，則公差d=（）A. B.C.3 D.－33．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺4．如圖，橢圓的右焦點為，過與軸垂直的直線交橢圓于第一象限的點，點關(guān)于坐標原點的對稱點為，且，，則橢圓方程為（）A. B.C. D.5．函數(shù)極小值為（）A. B.C. D.6．已知函數(shù)，在上隨機取一個實數(shù)，則使得成立的概率為（）A. B.C. D.7．雙曲線的左、右焦點分別為、，點P在雙曲線右支上，，，則C的離心率為（）A. B.2C. D.8．函數(shù)區(qū)間上有（）A.極大值為27，極小值為-5 B.無極大值，極小值為-5C.極大值為27，無極小值 D.無極大值，無極小值9．若函數(shù)在上有且僅有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.10．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.11．若圓的半徑為，則實數(shù)（）A. B.-1C.1 D.12．如圖，在長方體中，是線段上一點，且，若，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果________14．點在以，為焦點的橢圓上運動，則的重心的軌跡方程是___________.15．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點，且的中點坐標為，則___________.16．在空間直角坐標系中，已知向量，則的值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°.（I）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；(II)若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.18．（12分）已知橢圓的中心在原點，對稱軸為坐標軸且焦點在軸上，拋物線：，若拋物線的焦點在橢圓上，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）已知斜率存在且不為零的直線滿足：與橢圓相交于不同兩點、，與直線相交于點.若橢圓上一動點滿足：，，且存在點，使得恒為定值，求的值.19．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個焦點與短軸的一個端點為頂點構(gòu)成的三角形的面積為（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點作直線l與橢圓C相切于點Q，且直線l斜率大于0，過線段PQ的中點R作直線交橢圓于A，B兩點（點A，B不在y軸上），連結(jié)PA，PB，分別與橢圓交于點M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請求出該定值20．（12分）已知函數(shù)在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：21．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求的最大值和最小值；（2）說明的圖象由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？22．（10分）在等差數(shù)列中，，.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即為，，故選：A2、C【解析】由等差數(shù)列的通項公式計算【詳解】因為，，所以.故選：C【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式，利用等差數(shù)列通項公式可得，3、A【解析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A4、C【解析】連結(jié)，設(shè)，則，，由可求出，進而可求出，得出橢圓方程.【詳解】由題意設(shè)橢圓的方程：，設(shè)左焦點為，連結(jié)，由橢圓的對稱性易得四邊形為平行四邊形，由得，又，設(shè)，則，，又，解得，又由，，解得，，，則橢圓的方程為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了橢圓的標準方程求解及橢圓的簡單幾何性質(zhì)，在求解橢圓標準方程時，關(guān)鍵是求解基本量，，.5、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求得該函數(shù)的極小值.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得，令，可得或，列表如下：減極小值增極大值減所以，函數(shù)的極小值為.故選：A.6、B【解析】首先求不等式的解集，再根據(jù)區(qū)間長度，求幾何概型的概率.【詳解】由，得，解得，在區(qū)間上隨機取一實數(shù)，則實數(shù)滿足不等式的概率為故選：B7、C【解析】由，所以為直角三角形，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合勾股定理可得答案.【詳解】由，所以為直角三角形.,根據(jù)雙曲線的定義可得所以，即，即，所以故選：C8、B【解析】求出得出的單調(diào)區(qū)間，從而可得答案.【詳解】當時，，單調(diào)遞減.當時，，單調(diào)遞增.所以當時，取得極小值，極小值為，無極大值.故選：B9、C【解析】根據(jù)極值點的意義,可知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上有且僅有一個零點.結(jié)合零點存在定理,即可求得的取值范圍.【詳解】函數(shù)則因為函數(shù)在上有且僅有一個極值點即在上有且僅有一個零點根據(jù)函數(shù)零點存在定理可知滿足即可代入可得解得故選:C【點睛】本題考查了函數(shù)極值點的意義,函數(shù)零點存在定理的應(yīng)用,屬于中檔題.10、B【解析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.11、B【解析】將圓的方程化為標準方程，即可求出半徑的表達式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點睛】本題考查圓的方程，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關(guān)于、、的表達式，進而可求得的值.【詳解】連接、，因，因為是線段上一點，且，則，因此，因此，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、132【解析】根據(jù)程序框圖模擬程序運行，確定變量值的變化可得結(jié)論【詳解】程序運行時，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿足，，；判斷循環(huán)條件，滿足，，；判斷循環(huán)條件，不滿足，輸出故答案為：13214、【解析】設(shè)出點和三角形的重心，利用重心坐標公式得到點和三角形的重心坐標的關(guān)系，，代入橢圓方程即可求得軌跡方程，再利用，，三點不共線得到.【詳解】設(shè)，，由，得，即，，因為為的重心，所以，，即，，代入，得，即，因為，，三點不共線，所以，則的重心的軌跡方程是.故答案：.15、-1【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出點A，B的坐標，再借助“點差法”即可計算得解.【詳解】依題意，線段的中點在橢圓C內(nèi)，設(shè)，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：16、【解析】由題知，進而根據(jù)向量數(shù)量積運算的坐標表示求解即可.【詳解】解：因為向量，所以，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.【解析】本題考查線面平行、線線平行、向量法等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、分析問題的能力、計算能力.第一問，利用線面平行的定理，先證明線線平行，再證明線面平行；第二問，可以先找到線面角，再在三角形中解出正弦值，還可以用向量法建立直角坐標系解出正弦值.試題解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB與CD不平行.延長AB，DC，相交于點M（M∈平面PAB），點M即為所求的一個點.理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四邊形BCDE是平行四邊形.從而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，所以CM∥平面PBE.（說明：延長AP至點N，使得AP=PN，則所找的點可以是直線MN上任意一點）（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.從而CD⊥PD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.過點A作AH⊥CE，交CE的延長線于點H，連接PH.易知PA⊥平面ABCD，從而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.過A作AQ⊥PH于Q，則AQ⊥平面PCE.所以APH是PA與平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH==，所以sinAPH==.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.從而PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.設(shè)BC=1，則在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A為原點，以,的方向分別為x軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，則A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）設(shè)平面PCE的法向量為n=(x,y,z)，由得設(shè)x=2，解得n=(2,-2,1).設(shè)直線PA與平面PCE所成角為α，則sinα==.所以直線PA與平面PCE所成角的正弦值為.考點：線線平行、線面平行、向量法.18、（1）（2）【解析】（1）先求得橢圓的，代入公式即可求得橢圓的方程；（2）以設(shè)而不求的方法得到兩根和，再由條件，得到四邊形為平行四邊形，并以向量方式進行等價轉(zhuǎn)化，再與恒為定值進行聯(lián)系，即可求得的值.【小問1詳解】由條件可設(shè)橢圓：，因為拋物線：的焦點為，所以，解得因為橢圓離心率為，所以，則，故橢圓的方程為【小問2詳解】設(shè)直線：，，，把直線的方程代入橢圓的方程，可得，所以，因為，，所以四邊形為平行四邊形，得，即，得由在橢圓上可得，，即因為，又所以，所以將代入得，所以，即.【點睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。19、（1）（2）是，【解析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓兩個焦點與短軸的一個端點為頂點構(gòu)成的三角形的面積列出等式即可求解；（2）設(shè)出相關(guān)直線與相關(guān)點的坐標，直線與橢圓聯(lián)立，點的坐標配合斜率公式化簡，再運用韋達理化簡可證明.【小問1詳解】由題意得，解得，則橢圓C的標準方程為【小問2詳解】設(shè)切線PQ的方程為，，，，，由，消去y得①，則，解得或（舍去），將代入①得，，解得，則，所以，又R為PQ中點，則，因為PA，PB斜率都存在，不妨設(shè)，，由①可得，所以，，同理，，則，又R，A，B三點共線，則，化簡得，所以.20、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，解方程求得，進而得到切線方程；（2）當時，由，知不等式成立；當時，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，從而得到，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當時，，，，即，；②當時，令，，，當時，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點睛】思路點睛：本題第二問考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題；通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結(jié)論.21、（1）2，；（2）答案見解析.【解析】(1)根據(jù)，求出范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖像即可求值域；(2)根據(jù)正弦函數(shù)圖像變換對解析式的影響即可求解.【小問1詳解】當時，有，可得，故，則的最大值為2，最小