期末真題必刷壓軸60題（18個(gè)考點(diǎn)專練）（原卷版）

期末真題必刷壓軸60題（18個(gè)考點(diǎn)專練）一．冪的乘方與積的乘方（共1小題）1．（2022秋?梁子湖區(qū)期末）閱讀下列材料：一般地，n個(gè)相同的因數(shù)a相乘記為an．如2×2×2＝23＝8，此時(shí)，3叫做以2為底8的對(duì)數(shù)，記為log28（即log28＝3）．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記為logab（即logab＝n）．如34＝81，則4叫做以3為底81的對(duì)數(shù)，記為log381（即log381＝4）．（1）計(jì)算以下各對(duì)數(shù)的值：log24＝，log216＝，log264＝．（2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關(guān)系式，log24、log216、log264之間又滿足怎樣的關(guān)系式；（3）由（2）的結(jié)果，你能歸納出一個(gè)一般性的結(jié)論嗎？logaM+logaN＝；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根據(jù)冪的運(yùn)算法則：an?am＝an+m以及對(duì)數(shù)的含義證明上述結(jié)論．二．多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式（共1小題）2．（2023春?安徽期末）甲、乙兩人共同計(jì)算一道整式乘法題：（2x+a）（3x+b）．甲由于把第一個(gè)多項(xiàng)式中的“+a”看成了“﹣a”，得到的結(jié)果為6x2+11x﹣10；乙由于漏抄了第二個(gè)多項(xiàng)式中x的系數(shù)，得到的結(jié)果為2x2﹣9x+10．（1）求正確的a、b的值．（2）計(jì)算這道乘法題的正確結(jié)果．三．完全平方公式的幾何背景（共1小題）3．（2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末）【探究】若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；【應(yīng)用】請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問(wèn)題：（1）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；【拓展】（2）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為x，E，F(xiàn)分別是AD、DC上的點(diǎn)，且AE＝1，CF＝3，長(zhǎng)方形EMFD的面積是8，分別以MF、DF為邊作正方形．①M(fèi)F＝，DF＝；（用含x的式子表示）②求陰影部分的面積．四．整式的除法（共1小題）4．（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且多項(xiàng)式x3+ax2+bx+c能被多項(xiàng)式x2+3x﹣4整除，（1）求4a+c的值；（2）求2a﹣2b﹣c的值；（3）若a，b，c為整數(shù)，且c≥a＞1，試確定a，b，c的值．五．因式分解十字相乘法等（共1小題）5．（2023春?渠縣校級(jí)期末）閱讀并解決問(wèn)題．對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax﹣3a2，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式x2+2ax﹣3a2中先加上一項(xiàng)a2，使它與x2+2ax的和成為一個(gè)完全平方式，再減去a2，整個(gè)式子的值不變，于是有：x2+2ax﹣3a2＝（x2+2ax+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像這樣，先添﹣適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱為“配方法”．（1）利用“配方法”分解因式：a2﹣6a+8．（2）若a+b＝5，ab＝6，求：①a2+b2；②a4+b4的值．（3）已知x是實(shí)數(shù)，試比較x2﹣4x+5與﹣x2+4x﹣4的大小，說(shuō)明理由．六．因式分解的應(yīng)用（共3小題）6．（2022秋?平城區(qū)校級(jí)期末）綜合與實(shí)踐如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S2．（1）請(qǐng)直接用含a和b的代數(shù)式表示S1＝，S2＝；寫(xiě)出利用圖形的面積關(guān)系所得到的公式：（用式子表達(dá)）．（2）依據(jù)這個(gè)公式，康康展示了“計(jì)算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）”的解題過(guò)程．解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）＝（28﹣1）（28+1）＝216﹣1．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，要學(xué)會(huì)觀察，嘗試從不同角度分析問(wèn)題，請(qǐng)仿照康康的解題過(guò)程計(jì)算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1．（3）對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)要會(huì)舉一反三，請(qǐng)用（1）中的公式證明任意兩個(gè)相鄰奇數(shù)的平方差必是8的倍數(shù)．7．（2022秋?江北區(qū)校級(jí)期末）如果一個(gè)四位自然數(shù)的百位數(shù)字大于或等于十位數(shù)字，且千位數(shù)字等于百位數(shù)字與十位數(shù)字的和，個(gè)位數(shù)字等于百位與十位數(shù)字的差，則我們稱這個(gè)四位數(shù)為親密數(shù)，例如：自然數(shù)4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是親密數(shù)；（1）最小的親密數(shù)是，最大的親密數(shù)是；（2）若把一個(gè)親密數(shù)的千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字交換，得到的新數(shù)叫做這個(gè)親密數(shù)的友誼數(shù)，請(qǐng)證明任意一個(gè)親密數(shù)和它的友誼數(shù)的差都能被原親密數(shù)的十位數(shù)字整除；（3）若一個(gè)親密數(shù)的后三位數(shù)字所表示的數(shù)與千位數(shù)字所表示的數(shù)的7倍之差能被13整除，請(qǐng)求出這個(gè)親密數(shù)．8．（2022秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）若一個(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是正整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“豐利數(shù)”．例如，2是“豐利數(shù)”，因?yàn)?＝12+12，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x+y，y是正整數(shù)），所以M也是“豐利數(shù)”．（1）請(qǐng)你寫(xiě)一個(gè)最小的三位“豐利數(shù)”是，并判斷20“豐利數(shù)”．（填是或不是）；（2）已知S＝x2+y2+2x﹣6y+k（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“豐利數(shù)”，試求出符合條件的一個(gè)k值（10≤k＜200），并說(shuō)明理由．七．分式的加減法（共1小題）9．（2022秋?固始縣期末）分式中，在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次數(shù)不低于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式．例如，分式，是假分式．一個(gè)假分式可以化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和．例如，．（1）將假分式化為一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和；（2）若分式的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值．八．分式的化簡(jiǎn)求值（共2小題）10．（2022秋?鐵嶺縣期末）先化簡(jiǎn)，再對(duì)a取一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，代入求值．﹣÷．11．（2022秋?平城區(qū)校級(jí)期末）定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式，則稱這個(gè)分式為“和諧分式”．如：＝＝+＝1+，＝＝+＝2+，則和都是“和諧分式”．（1）下列式子中，屬于“和諧分式”的是（填序號(hào)）；①；②；③；④（2）將“和諧分式”化成一個(gè)整式與一個(gè)分子為常數(shù)的分式的和的形式為：＝+；（3）應(yīng)用：先化簡(jiǎn)﹣÷，并求x取什么整數(shù)時(shí)，該式的值為整數(shù)．九．分式方程的應(yīng)用（共11小題）12．（2022秋?東昌府區(qū)校級(jí)期末）某縣為了落實(shí)中央的“強(qiáng)基惠民工程”，計(jì)劃將某村的居民自來(lái)水管道進(jìn)行改造．該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若乙隊(duì)單獨(dú)施工，則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的3倍．如果由甲、乙隊(duì)先合做15天，那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需10天．（1）這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天？（2）已知甲隊(duì)每天的施工費(fèi)用為6500元，乙隊(duì)每天的施工費(fèi)用為3500元．為了縮短工期以減少對(duì)居民用水的影響，工程指揮部最終決定該工程由甲、乙隊(duì)合做來(lái)完成．則該工程施工費(fèi)用是多少？13．（2022秋?沙洋縣校級(jí)期末）甲、乙兩車站相距450km，一列貨車從甲車站開(kāi)出3h后，因特殊情況在中途站多停了一會(huì)，耽誤了30min，后來(lái)把貨車的速度提高為原來(lái)的1.2倍，結(jié)果準(zhǔn)時(shí)到達(dá)乙站，求這列貨車原來(lái)的速度．14．（2022秋?湖里區(qū)校級(jí)期末）甲、乙兩輛汽車同時(shí)分別從A、B兩城沿同一條高速公路駛向C城．已知A、C兩城的距離為450千米，B、C兩城的距離為400千米．（1）若甲車比乙車的速度快12千米/時(shí)，結(jié)果兩輛車同時(shí)到達(dá)C城．求兩車的速度．（2）設(shè)乙車的速度x千米/時(shí)，甲車的速度（x+a）千米/時(shí)，若x＝10a，則哪一輛車先到達(dá)C城，并說(shuō)明理由．15．（2022秋?新化縣期末）某工廠對(duì)零件進(jìn)行檢測(cè)，引進(jìn)了檢測(cè)機(jī)器．已知一臺(tái)檢測(cè)機(jī)的工作效率相當(dāng)于一名檢測(cè)員的20倍．若用這臺(tái)檢測(cè)機(jī)檢測(cè)900個(gè)零件要比15名檢測(cè)員檢測(cè)這些零件少3小時(shí)．（1）求一臺(tái)零件檢測(cè)機(jī)每小時(shí)檢測(cè)零件多少個(gè)？（2）現(xiàn)有一項(xiàng)零件檢測(cè)任務(wù)，要求不超過(guò)7小時(shí)檢測(cè)完成3450個(gè)零件．該廠調(diào)配了2臺(tái)檢測(cè)機(jī)和30名檢測(cè)員，工作3小時(shí)后又調(diào)配了一些檢測(cè)機(jī)進(jìn)行支援，則該廠至少再調(diào)配幾臺(tái)檢測(cè)機(jī)才能完成任務(wù)？16．（2022秋?代縣期末）為緩解忻州至太原段的交通壓力，促進(jìn)兩市經(jīng)濟(jì)發(fā)展．山西省委決定修建“太忻大道”，現(xiàn)“太忻大道”正在建設(shè)中．甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與一項(xiàng)工程建設(shè)，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天完成該項(xiàng)工程的，這時(shí)乙隊(duì)加入，兩隊(duì)還需同時(shí)施工15天，才能完成該項(xiàng)工程．（1）若乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要多少天才能完成該項(xiàng)工程？（2）若甲隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過(guò)36天，則乙隊(duì)至少施工多少天才能完成該項(xiàng)工程？17．（2022秋?長(zhǎng)沙期末）某鎮(zhèn)道路改造工程，由甲、乙兩工程隊(duì)合作20天可完成，甲工程隊(duì)單獨(dú)施工完成的天數(shù)是乙工程隊(duì)單獨(dú)施工完天數(shù)的2倍．（1）求甲、乙兩工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天？（2）甲工程隊(duì)獨(dú)做a天后，再由甲、乙兩工程隊(duì)合作天（用含a的代數(shù)式表示）可完成此項(xiàng)工程；（3）如果甲工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)1萬(wàn)元，乙工程隊(duì)施工每天需付施工費(fèi)2.5萬(wàn)元，甲工程隊(duì)至少要單獨(dú)施工多少天后，再由甲、乙兩工程隊(duì)合作施工完成剩下的工程，才能使施工費(fèi)不超過(guò)64萬(wàn)元？18．（2022秋?青云譜區(qū)期末）一項(xiàng)工程，甲、乙兩公司合做，12天可以完成，如果甲乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，乙公司所用時(shí)間是甲公司的1.5倍．（1）甲、乙公司單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天？（2）若已知甲乙合做完成此項(xiàng)工程共需費(fèi)用102000元，并且乙公司每天費(fèi)用比甲公司每天費(fèi)用少1500元，分別計(jì)算甲、乙單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需多少費(fèi)用并選擇合理的施工方案．19．（2023春?新吳區(qū)期末）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價(jià)格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬(wàn)元，如果賣(mài)出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬(wàn)元，今年銷售額只有90萬(wàn)元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價(jià)多少萬(wàn)元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬(wàn)元，B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬(wàn)元，公司預(yù)計(jì)用不多于105萬(wàn)元且不少于99萬(wàn)元的資金購(gòu)進(jìn)這兩款汽車共15輛，有幾種進(jìn)貨方案？（3）如果B款汽車每輛售價(jià)為8萬(wàn)元，為打開(kāi)B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬(wàn)元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？此時(shí)，哪種方案對(duì)公司更有利？20．（2023春?開(kāi)江縣校級(jí)期末）某開(kāi)發(fā)公司生產(chǎn)的960件新產(chǎn)品需要精加工后才能投放市場(chǎng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲廠單獨(dú)加工這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品多用20天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工數(shù)量的，公司需付甲工廠加工費(fèi)用每天80元，需付乙工廠加工費(fèi)用每天120元．（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能加工多少個(gè)新產(chǎn)品？（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成，在加工過(guò)程中，公司派一名工程師到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天10元的午餐補(bǔ)助費(fèi)，請(qǐng)你幫助公司選擇一種既省時(shí)又省錢(qián)的加工方案，并說(shuō)明理由．21．（2022秋?扶溝縣校級(jí)期末）在我市某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)，經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？（2）甲隊(duì)施工一天，需付工程款3.5萬(wàn)元，乙隊(duì)施工一天需付工程款2萬(wàn)元．若該工程計(jì)劃在70天內(nèi)完成，在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成工程省錢(qián)？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢(qián)？22．（2022秋?安順期末）周末某班組織登山活動(dòng)，同學(xué)們分甲，乙兩組從山腳下沿著一條道路同時(shí)向山頂進(jìn)發(fā)，設(shè)甲，乙兩組行進(jìn)同一路段所用的時(shí)間之比2：3．（1）直接寫(xiě)出甲、乙兩組行進(jìn)速度之比；（2）當(dāng)甲組到達(dá)山頂時(shí)，乙組行進(jìn)到山腰A處，且A處離山頂?shù)穆烦躺杏?.2千米，試問(wèn)山腳離山頂?shù)穆烦逃卸噙h(yuǎn)？（3）在題（2）所述內(nèi)容（除最后的問(wèn)句處）的基礎(chǔ)上，設(shè)乙組從A處繼續(xù)登山，甲組到達(dá)山頂后休息片刻，再?gòu)脑废律?，并且在山腰B處與乙組相遇，請(qǐng)你先根據(jù)以上情景提出一個(gè)相應(yīng)的問(wèn)題，再給予解答．（要求：①問(wèn)題的提出不需再增添其它條件；②問(wèn)題的解決必須利用上述情景提供的所有書(shū)面條件．）一十．三角形內(nèi)角和定理（共11小題）23．（2022秋?棗陽(yáng)市期末）如圖，在△ABC中∠A＝40°，∠B＝72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，求∠CDF的度數(shù)．24．（2022秋?榆次區(qū)校級(jí)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品——圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，直接寫(xiě)出∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系：；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，∠A＝42°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝140°，則∠DCE＝°；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝142°，∠BG1C＝70°，則∠A＝°．25．（2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖1，一張三角形ABC紙片，點(diǎn)D，E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線DE折疊，使點(diǎn)A落在CE上的點(diǎn)A'處，則∠BDA'與∠A的數(shù)量關(guān)系是；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想∠BDA'，∠CEA'和∠A的數(shù)量關(guān)系是什么，并說(shuō)明理由．26．（2022秋?和平區(qū)校級(jí)期末）【數(shù)學(xué)模型】如圖（1），AD，BC交于O點(diǎn)，根據(jù)“三角形內(nèi)角和是180°”，不難得出兩個(gè)三角形中的角存在以下關(guān)系：①∠DOC＝∠AOB；②∠D+∠C＝∠A+∠B．【提出問(wèn)題】分別作出∠BAD和∠BCD的平分線，兩條角平分線交于點(diǎn)E，如圖（2），∠E與∠D、∠B之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系呢？【解決問(wèn)題】為了解決上面的問(wèn)題，我們先從幾個(gè)特殊情況開(kāi)始探究．已知∠BAD的平分線與∠BCD的平分線交于點(diǎn)E．（1）如圖（3），若AB∥CD，∠D＝30°，∠B＝40°，則∠E＝．（2）如圖（4），若AB不平行CD，∠D＝30°，∠B＝50°，則∠E的度數(shù)是多少呢？易證∠D+∠1＝∠E+∠3，∠B+∠4＝∠E+∠2，請(qǐng)你完成接下來(lái)的推理過(guò)程：∴∠D+∠1+∠B+∠4＝，∵CE、AE分別是∠BCD、∠BAD的平分線，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∴2∠E＝，又∵∠D＝30°，∠B＝50°，∴∠E＝度．（3）在總結(jié)前兩問(wèn)的基礎(chǔ)上，借助圖（2），直接寫(xiě)出∠E與∠D、∠B之間的數(shù)量關(guān)系是：．【類比應(yīng)用】如圖（5），∠BAD的平分線AE與∠BCD的平分線CE交于點(diǎn)E．已知：∠D＝α、∠B＝β，（α＜β）則∠E＝（用α、β表示）．27．（2022秋?大竹縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AD交直線BC于點(diǎn)E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．（1）求∠DAC的度數(shù)；（2）求∠E的度數(shù)．28．（2022秋?天山區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B＝75°，∠C＝45°，求∠DAE與∠AEC的度數(shù)．29．（2022秋?平橋區(qū)校級(jí)期末）如圖，AD為△ABC的高，BE為△ABC的角平分線，若∠EBA＝32°，∠AEB＝70°．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）若點(diǎn)F為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)△EFC為直角三角形時(shí)，則∠BEF的度數(shù)為．30．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的學(xué)習(xí)用品﹣﹣圓規(guī)．我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝°；②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數(shù)；③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數(shù)．31．（2022秋?高新區(qū)校級(jí)期末）敘述并證明“三角形的內(nèi)角和定理”．（要求根據(jù)下圖寫(xiě)出已知、求證并證明）32．（2022秋?開(kāi)江縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E在BC上，EF⊥AB，垂足為F，∠1＝∠2．（1）試說(shuō)明DG∥BC的理由；（2）如果∠B＝34°，且∠ACD＝47°，求∠3的度數(shù)．33．（2022秋?渠縣校級(jí)期末）圖（1）是我們常見(jiàn)的“箭頭圖”，其中隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？下面請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：（1）觀察如圖（1）“箭頭圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間大小的關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，回答下列兩個(gè)問(wèn)題：①如圖（2），把一塊三角板X(qián)YZ放置在△ABC上，使其兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C．若∠A＝50°，則∠ABX+∠ACX＝；②如圖（3），∠ABD，∠ACD的五等分線分別相交于點(diǎn)G1、G2、G3、G4，若∠BDC＝135°，∠BG1C＝67°，求∠A的度數(shù)．一十一．三角形的外角性質(zhì)（共3小題）34．（2022秋?萬(wàn)全區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E在BD上，點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線上，EF∥AD．（1）求∠BAF的度數(shù)．（2）求∠F的度數(shù)．35．（2022秋?建平縣期末）如圖，已知：點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)．（1）求證：∠BPC＞∠A；（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A＝40°，求∠P的度數(shù)．36．（2022秋?黃石港區(qū)期末）已知如圖∠B＝∠C，∠1＝∠2，∠BAD＝40°，求∠EDC度數(shù)．一十二．全等三角形的判定與性質(zhì)（共13小題）37．（2022秋?青秀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（﹣2，0），B（0，3），C（3，0），D（0，2）．（1）求證：AB＝CD且AB⊥CD；（2）以A為直角頂點(diǎn)在第二象限內(nèi)作等腰直角三角形ABE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)P為y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為直角邊作等腰直角三角形APQ，∠APQ＝90°，QR⊥x軸于點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，OP﹣QR的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．38．（2022秋?廣水市期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（m，0）、B（0，n），且，點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線AO勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）求OA、OB的長(zhǎng)；（2）連接PB，若△POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過(guò)P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點(diǎn)E，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△EOP≌△AOB？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．39．（2022秋?蒼梧縣期末）如圖1，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，E在線段AC上，連接AD，BE的延長(zhǎng)線交AD于F．（1）猜想線段BE，AD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系：（不必證明）；（2）當(dāng)點(diǎn)E為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)D和點(diǎn)E分別在AC的兩側(cè)，其它條件不變．①請(qǐng)你在圖2中補(bǔ)全圖形；②（1）中結(jié)論成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．40．（2022秋?興隆縣期末）【閱讀理解】課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE＝AD，請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范圍是．A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【感悟】解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．【問(wèn)題解決】（3）如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求證：AC＝BF．41．（2022秋?宜春期末）【問(wèn)題情境】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，m），B（n，0），且（m﹣n）2+n2﹣4n+4＝0，連接AB，點(diǎn)P、點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，且OP＝BQ．連接AQ，過(guò)O點(diǎn)作OD⊥AQ于點(diǎn)E，交直線AB于點(diǎn)D，連接DP，試問(wèn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠BPD與∠AQO是否存在某種特定的數(shù)量關(guān)系．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）【深入探究】如圖1，當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q在線段OB上，且P點(diǎn)在Q點(diǎn)的左側(cè)時(shí)．①求證：∠DOB＝∠QAO；②試猜想∠BPD與∠AQO的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，點(diǎn)Q在x軸負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若∠AQO＝α，用α表示∠BPD＝．（不需證明）42．（2022秋?沈河區(qū)期末）△ABC，AB＝AC，點(diǎn)D在線段BC上，點(diǎn)F在射線AD上，連接CF，作BE∥CF交射線AD于E，∠CFA＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當(dāng)α＝70°時(shí)，∠ABE＝15°時(shí)，求∠BAE的大??；（2）當(dāng)α＝90°，AB＝AC＝8時(shí)，①如圖2．延長(zhǎng)BF，當(dāng)BF＝BA，求CF的長(zhǎng)；②若AD＝5，直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng)．43．（2022秋?長(zhǎng)壽區(qū)期末）已知：點(diǎn)O到△ABC的兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB＝OC．（1）如圖1，若點(diǎn)O在邊BC上，過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F(xiàn)分別是垂足．求證：△OEB≌△OFC；（2）如圖2，若點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，求證：AB＝AC；（3）若點(diǎn)O在△ABC的外部，AB＝AC成立嗎？請(qǐng)畫(huà)圖表示．44．（2022秋?東西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，a），點(diǎn)B（b，0），點(diǎn)C（﹣3，0），且a、b滿足a2﹣6a+9+|a﹣b|＝0．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）求證：AB＝AC；（3）若∠CAB＝90°，過(guò)點(diǎn)A作射線l（射線l與邊BC有交點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥l于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DC于點(diǎn)F交y軸于點(diǎn)G．①求證：AE＝BD；②求點(diǎn)G的坐標(biāo)．45．（2022秋?東西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知△ABC中，AC＝CB＝20cm，AB＝16cm，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．（1）如果點(diǎn)P在線段AB以6cm/s的速度由A點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由點(diǎn)B向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1s后，△APD與△BQP是否全等？說(shuō)明理由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△APD與△BQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？46．（2022秋?金灣區(qū)期末）如圖1，已知點(diǎn)A（a，0），點(diǎn)B（0，b），且a、b滿足+|4﹣b|＝0．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且∠OCB＝45°，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥OC于點(diǎn)F，求證：FA＝FC；（3）如圖2，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1），過(guò)點(diǎn)A作AE⊥AD，且AE＝AD，連接BE交x軸于點(diǎn)G，求G點(diǎn)的坐標(biāo)．47．（2022秋?鹽山縣校級(jí)期末）如圖，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D、E，BE、CD交于點(diǎn)O，OB＝OC．求證：∠1＝∠2．48．（2022秋?廣水市期末）如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE＝BD，連接AE，DE，DC．（1）求證：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE＝30°，求∠EDC的度數(shù)．49．（2022秋?靈寶市校級(jí)期末）（1）在圖1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，則能得如下兩個(gè)結(jié)論：①DC＝BC；②AD+AB＝AC．請(qǐng)你證明結(jié)論②；（2）在圖2中，把（1）中的條件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改為∠ABC+∠ADC＝180°，其他條件不變，則（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．一十三．等腰三角形的性質(zhì)（共1小題）50．（2022秋?金華期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD為△ABC的角平分線；（1）若AB＝BD，則∠A的度數(shù)為°（直接寫(xiě)出結(jié)果）；（2）如圖1，若E為線段BC上一點(diǎn)，∠DEC＝∠A；求證：AB＝EC．（3）如圖2，若E為線段BD上一點(diǎn)，∠DEC＝∠A，求證：AB＝EC．一十四．等腰三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）51．（2022秋?明水縣校級(jí)期末）（1）如圖①，在△ABC中，BF，CF分別平分∠ABC，∠ACB，過(guò)點(diǎn)F作直線平行于BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，求證：DE＝BD+CE；（2）如圖②，若點(diǎn)F是∠ABC的平分線和外角∠ACG的平分線的交點(diǎn)，其他條件不變，請(qǐng)猜想線段DE，DB，EC之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的猜想．一十五．等邊三角形的性質(zhì)（共2小題）52．（2022秋?榮昌區(qū)期末）如圖1，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，（1）連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；（2）何時(shí)△PBQ是直角三角形？（3）如圖2，若點(diǎn)P、Q在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AB、BC上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M，則∠CMQ變化嗎？若變化，則說(shuō)明理由，若不變，則求出它的度數(shù)．53．（2022秋?上杭縣校級(jí)期末）如圖△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為直線BC上一點(diǎn)，∠ADE交直線a于點(diǎn)E，且∠ADE＝60°．（1）若D在BC上（如圖1）求證CD+CE＝CA；（2）若D在CB延長(zhǎng)線上，CD、CE、CA存在怎樣數(shù)量關(guān)系，給出你的結(jié)論并證明．一十六．多邊形（共1小題）54．（2022秋?西城區(qū)期末）在單位長(zhǎng)度為1的正方形網(wǎng)格中，如果一個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)都是網(wǎng)格線交點(diǎn)，我們稱其為格點(diǎn)凸多邊形，并記該格點(diǎn)多邊形的面積為S，多邊形內(nèi)部的格點(diǎn)數(shù)為N，多邊形邊上的格點(diǎn)數(shù)為L(zhǎng)．（1）對(duì)于圖中的