專題937三角形的中位線（題型分類拓展）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊基礎(chǔ)知識專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.37三角形的中位線（題型分類拓展）【題型目錄】【題型1】坐標(biāo)系背景下的中位線；【題型2】作圖題背景中的中位線；【題型3】中位線性質(zhì)與折疊問題；【題型4】三角形中位線中的旋轉(zhuǎn)問題；【題型5】三角形中位線中的最值問題；【題型6】三角形中位線中的動點(diǎn)問題.單選題【題型1】坐標(biāo)系背景下的中位線；1．（2023下·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)分別是各邊的中點(diǎn)，順次連接各中點(diǎn)，并連接交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的長為（

）

A．2 B．2.5 C．1.5 D．32．（2019下·北京昌平·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），B（4，0），點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（

）A．（1，2） B．（4，2） C．（2，4） D．（2，1）【題型2】作圖題背景中的中位線；3．（2022·河北唐山·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，按如下步驟作圖：①分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑在兩邊作弧，交于兩點(diǎn)，；②作直線，分別交，于點(diǎn)，；③過作

交于點(diǎn)，連接，．則四邊形的周長為（）

A． B． C． D．4．（2022·貴州銅仁·統(tǒng)考二模）如圖，已知在△ABC中，∠ABC<90°，AB≠BC，BE是AC邊上的中線．按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)B，C為圓心，大于線段BC長度一半的長為半徑作弧，相交于點(diǎn)M，N；②過點(diǎn)M，N作直線MN，分別交BC，BE于點(diǎn)D，O；③連接CO，DE．則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．OB=OC B．DEAB C．DB=DE D．=【題型3】中位線性質(zhì)與折疊問題；5．（2023下·貴州黔西·八年級校聯(lián)考期末）在中，，，，是邊上的高．將按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)．重合，折痕為，則的周長為（

）

A．9.5 B．10 C．11 D．15.56．（2022上·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知在中，，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，將沿DE折疊，使得點(diǎn)C恰好落在BA的延長線上的點(diǎn)F處，連結(jié)AD，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）①；②；③和的面積相等；④和的面積相等A．①② B．①③ C．③ D．①②③【題型4】三角形中位線中的旋轉(zhuǎn)問題；7．（2023上·福建龍巖·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知正方形、正方形的邊長分別為4和1，將正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則線段的最大值為（

）．A． B． C． D．8．（2022上·河南南陽·九年級統(tǒng)考期中）如圖，的兩條直角邊分別在軸，軸上，C，D分別是邊，的中點(diǎn)，連接，已知，將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【題型5】三角形中位線中的最值問題；9．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是，邊上的動點(diǎn)，連結(jié)，，分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.810．（2023下·江西九江·八年級濂溪一中校考期末）如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)H、G分別是邊上的動點(diǎn)．連接，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接．則的最大值與最小值的差為（

）

A． B． C． D．2【題型6】三角形中位線中的動點(diǎn)問題.11．（2023下·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，E為上一動點(diǎn)，M，N分別為的中點(diǎn)，則的長為（

）

A．4 B．3 C．2 D．不確定12．（2023下·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，D，E分別是，的中點(diǎn)，是邊上的一個動點(diǎn)，連接，，．若的面積為，則的面積是（）A．3 B．4 C．5 D．6填空題【題型1】坐標(biāo)系背景下的中位線；13．（2023下·福建福州·八年級校考期中）如圖，直線與x軸、y軸分別交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)C，D分別為線段，的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動點(diǎn)，當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

14．（2023下·江西上饒·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中已知點(diǎn)和點(diǎn)，是的中點(diǎn)，若有一動點(diǎn)在折線上運(yùn)動，直線截所得的三角形為直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【題型2】作圖題背景中的中位線；15．（2023上·江蘇南通·九年級海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，的對角線與相交于點(diǎn)，按以下步驟作圖：以點(diǎn)為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，交于點(diǎn)；以點(diǎn)為圓心，以長為半徑作弧，在內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)；過點(diǎn)作射線交于點(diǎn)，若，則線段的長為．

16．（2023上·四川成都·九年級統(tǒng)考期末）如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)，按下列步驟作圖：①分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)分別為點(diǎn)，；②過點(diǎn)，作直線，交于點(diǎn)；③連接．若，則菱形的周長為．【題型3】中位線性質(zhì)與折疊問題；17．（2023上·山東青島·九年級期末）如圖，矩形中，，.F是上一點(diǎn)，將沿所在的直線折疊，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)E處，連接交于點(diǎn)G，取的中點(diǎn)H，連接，則.18．（2022上·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)．將沿折疊得到，連接．若，則線段．【題型4】三角形中位線中的旋轉(zhuǎn)問題；19．（2023上·湖北黃石·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，將線段繞點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，，取中點(diǎn)，，連接，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么將線段繞點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)過程中，的最小值為．

20．（2023下·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，為的中點(diǎn)，連接，若，，當(dāng)時，的長為．

【題型5】三角形中位線中的最值問題；21．（2023上·福建福州·八年級福建省福州第十六中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)D，E分別是，邊上的動點(diǎn)，連結(jié)，F(xiàn)，M分別是，的中點(diǎn)，則的最小值為．22．（2023下·江蘇揚(yáng)州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，矩形的邊，是上一點(diǎn)，，是上一動點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，則周長的最小值為．

【題型6】三角形中位線中的動點(diǎn)問題.23．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，已知矩形，，分別是和上的動點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)．若，，則的長為．24．（2023上·陜西渭南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在邊長為2的正方形中，，分別是邊，上的動點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合），，分別是，的中點(diǎn)，則的最大值為．解答題【題型1】坐標(biāo)系背景下的中位線；25．（2019上·上海青浦·九年級校考期中）如圖，已知點(diǎn)和點(diǎn)都在一次函數(shù)上，是的平分線，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為．

（1）求這條直線的解析式；（2）求證：為的中點(diǎn)；（3）若一次函數(shù)圖像上有點(diǎn)，和點(diǎn)，，構(gòu)成梯形，試求點(diǎn)的坐標(biāo)．26．（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上，．將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)，得，點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為．記旋轉(zhuǎn)角為．

（1）如圖①，當(dāng)時，求與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖②，連接，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A時，求的長；（3）設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，求線段的長的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．【題型2】作圖題背景中的中位線；27．（2023上·廣西南寧·九年級校考期中）如圖，中，點(diǎn)D、E分別為、的中點(diǎn)．（1）過點(diǎn)C作，并交延長線于點(diǎn)F（要求尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡）；（2）求證：；（3）若，求的長．28．（2023上·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，是邊的中點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，且．

（1）用直尺和圓規(guī)在邊上作點(diǎn)，使得；（不寫作法，保留作圖痕跡）（2）在（1）的條件下：①求的長；②線段與線段的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______．【題型3】中位線性質(zhì)與折疊問題；29．（2023上·廣東佛山·九年級校考階段練習(xí)）動手操作：在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，老師引導(dǎo)同學(xué)們對如圖的紙片進(jìn)行以下操作，并探究其中的問題：將紙片沿過邊中點(diǎn)D的直線折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊的中點(diǎn)處，折痕交于點(diǎn)E，連接、．（1）探究一：判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）探究二：若，四邊形的對角線之和為14，求四邊形的面積．30．（2019上·廣東深圳·九年級統(tǒng)考期中）如圖1，一張矩形紙片，其中，，先沿對角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求的長；（3）如圖2，再折疊一次，使點(diǎn)與重合，折痕交于，求的長．【題型4】三角形中位線中的旋轉(zhuǎn)問題；31．（2023上·福建南平·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，將繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在邊上，設(shè)M是的中點(diǎn)，連接，．（1）寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．（2）求的面積．32．（2023上·福建莆田·九年級?？计谥校┤鐖D1，在等邊中，點(diǎn)D、E分別是上的點(diǎn)，與交于點(diǎn)O．（1）填空：度；（2）如圖2，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得，連接，求證：；（3）如圖3，若點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接，判斷與有什么數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【題型5】三角形中位線中的最值問題；33．（2022下·遼寧錦州·八年級統(tǒng)考期末）在與中，，，．

（1）如圖1，若點(diǎn)D，B，C在同一直線上，連接，，則與的關(guān)系為________．（2）如果將圖1中的繞點(diǎn)B在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置，那么請你判斷與的關(guān)系，并說明理由（3）如圖3，若，，連接，分別取，，的中點(diǎn)M，P，N，連接，，，將繞點(diǎn)B在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出旋轉(zhuǎn)過程中的面積最大值和最小值．34．（2023下·湖南婁底·八年級婁底市第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，菱形的邊長為2，，點(diǎn)是邊上任意一點(diǎn)（端點(diǎn)除外）,線段的垂直平分線交，分別于點(diǎn)，，，的中點(diǎn)分別為，．（1）求證：（2）求證：的最小值（3）當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，的大小是否變化?為什么?【題型6】三角形中位線中的動點(diǎn)問題.35．（2024上·上海靜安·八年級上海田家炳中學(xué)?？计谀┤鐖D，直角中，，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊上的一個動點(diǎn)（不與A，B重合），交于點(diǎn)F，設(shè)，．（1）求證：；（2）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）寫出x為何值時，？36．（2023上·湖北武漢·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在的同側(cè)以AB、AC為底邊向外作等腰、，其中，P為BC的中點(diǎn)，連接PD、PE．

圖1

圖2

圖3（1）如圖1，當(dāng)時，直接寫出PD與PE的關(guān)系_____．（2）如圖2，當(dāng)時，（1）的結(jié)論還成立嗎？請你做出判斷并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)，，連接DE，取其中點(diǎn)M，若動點(diǎn)A從的位置運(yùn)動到時停止，則M點(diǎn)的運(yùn)動路徑長為______．參考答案：1．B【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和點(diǎn)分別是各邊的中點(diǎn)可得，，，，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，從而可得四邊形為菱形，從而得到為的中點(diǎn)，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得為的中位線，即可得到答案．解：四邊形是矩形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)分別是各邊的中點(diǎn)，，，，，，，，，，四邊形為菱形，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中位線，，故選：B．【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理、兩點(diǎn)間的距離公式，熟練掌握矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形的中位線定理、兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)，解答即可．解：過N作NE⊥y軸，NF⊥x軸，∴NE∥x軸，NF∥y軸，∵點(diǎn)A（0，2），B（4，0），點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，∴NE=2，NF=1，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1），故選：D【點(diǎn)撥】本題主要考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，掌握三角形的中位線的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)的定義，是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】由根據(jù)題意得是的垂直平分線，即可得，，然后由，可證得，繼而證得四邊形是菱形，根據(jù)勾股定理逆定理可得，所以，可得是的中位線，再根據(jù)三角形中位線定理求出，進(jìn)而求出菱形的周長．解：根據(jù)作圖過程可知：是的垂直平分線，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形，∵，，，∴，，，又∵，∴，即，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴菱形的周長為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查作圖—復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊等對角，平行線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理的逆定理，三角形中位線定理．4．C【分析】作圖步驟可得出直線為線段的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)判斷選項(xiàng)；線段為的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)判斷選項(xiàng)即可．解：由題意可知直線為線段的垂直平分線∴，，故選項(xiàng)A正確；∵為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)∴線段為的中位線∴，，故選項(xiàng)B正確；∴=，故選項(xiàng)D正確；∵∴，故選項(xiàng)C錯誤；故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的中位線等知識．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握垂直平分線的畫法與性質(zhì)以及中位線的性質(zhì)．5．D【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，再根據(jù)垂直的定義、直角三角形的性質(zhì)可得，又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，同理可得出，然后根據(jù)三角形中位線定理可得，最后根據(jù)三角形的周長公式即可得．解：由折疊的性質(zhì)得：AD是BC邊上的高，即，同理可得：又點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)是的中位線則的周長為故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出是解題關(guān)鍵．6．A【分析】先判斷出是直角三角形，再利用三角形的外角判斷出①正確，進(jìn)而判斷出，得出是的中位線判斷出②正確，利用等式的性質(zhì)判斷出④正確．解：如圖，連接，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，由折疊知，，，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確，由折疊知，，∴，∵，∴是的中位線，∴，故②正確，∵，∴，由折疊知，，∴，∴，故④正確，無法判斷和的面積是否相等，∴③不正確，故選：A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了折疊的性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．7．D【分析】本題主要考查了、三角形中位線定理、正方形的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、勾股定理，延長至點(diǎn)，使，連接，，，由三角形中位線定理可得，由正方形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得，，由三角形三邊關(guān)系可得，從而可得的最大值為，即可得解，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．解：如圖，延長至點(diǎn)，使，連接，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，是的中位線，，正方形、正方形的邊長分別為4和1，，，，的最大值為，的最大值為，故選：D．8．C【分析】根據(jù)已知條件求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．解：∵∴∵C，D分別是邊，的中點(diǎn)，∴，，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為∴第1次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D在C點(diǎn)正下方，且，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D在C點(diǎn)左邊，且，，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D在C點(diǎn)正上方，且，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，???觀察可知，4次一個循環(huán)，∵，∴第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點(diǎn)D的坐標(biāo)為，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律．9．D【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質(zhì)．連接，作于點(diǎn)H．由三角形中位線的性質(zhì)得，由垂線段最短可知當(dāng)最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時的值最小，然后利用勾股定理求出的長即可．解：連接，作于點(diǎn)H．

∵點(diǎn)，分別是，邊上的動點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴當(dāng)最小，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時的值最小．設(shè)，則，∵，∴，∴，∴的最小值為4.8．故選D．10．C【分析】如圖，取的中點(diǎn)M，連接，作于N．首先證明，求出，利用三角形中位線定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解決問題．解：如圖，取的中點(diǎn)M，連接，作于N．

∵四邊形是平行四邊形，，∴，∵點(diǎn)M是的中點(diǎn)，，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，在中，∵，，∴，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，

∵點(diǎn)G是上的動點(diǎn)，∴，∴，即∴EF的最大值為，最小值為，∴EF的最大值與最小值的差為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突破點(diǎn)是證明．11．A【分析】由平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)求得；然后利用三角形中位線定理求得即可解答．解：如圖，在平行四邊形中，．，分別為的中點(diǎn)，是的中位線，．故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形中位線定理來求有關(guān)線段的長度是解答本題的關(guān)鍵．12．C【分析】連接，根據(jù)三角形的面積公式求出的面積，根據(jù)三角形中位線定理得到，得到的面積=的面積，同底等高的三角形面積相等，即可得到答案．解：連接，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，的面積的為，∴的面積的面積，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴的面積的面積，∵D，E分別是，的中點(diǎn)，∴，∴的面積的面積，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形中位線定理、三角形的面積計算，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．13．/【分析】連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，可得出是的中位線，進(jìn)而可得出，利用“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”及，可得出，結(jié)合等腰三角形的三線合一，可得出點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示．

點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，是的中位線，，，，又，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時，，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故答案為：，．【點(diǎn)撥】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的中位線、平行線的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，確定點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．14．、、【分析】分類討論：當(dāng)時，，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時，，易得P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時，連接，可得為的垂直平分線，根據(jù)勾股定理得到的長，從而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．解：當(dāng)時，，由點(diǎn)C是的中點(diǎn)，可得P為的中點(diǎn)，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時，，由點(diǎn)C是的中點(diǎn)，可得P為的中點(diǎn)，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時，如圖，連接，

由點(diǎn)C是的中點(diǎn)，可得為的垂直平分線，∴，由勾股定理可得，，∴，∴此時P點(diǎn)坐標(biāo)為，綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為、、．故答案為:、、．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形中位線定理，勾股定理，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．【分析】此題主要考查了尺規(guī)作圖，平行四邊形的性質(zhì)和中位線性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)的應(yīng)用．解：由作法得，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∴為的中位線，∴，故答案為：．16．【分析】根據(jù)作圖可得是的中點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得周長．解：根據(jù)作圖可知是的垂直平分線，∴是的中點(diǎn)，∵菱形的對角線，相交于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴菱形的周長為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了作線段垂直平分線，菱形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．17．【分析】本題考查圖形的折疊，熟練掌握翻折的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由折疊可知，垂直平分，連接，可得是的中位線，求出即可求．解：由折疊可知，垂直平分，連接，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，，，故答案為：．18．/【分析】連接，設(shè)與交于點(diǎn)O，由折疊的性質(zhì)可知，再根據(jù)勾股定理可得的長度，最后利用三角形中位線得出答案．解：連接，設(shè)與交于點(diǎn)O，

由折疊性質(zhì)可知，，且，又∵，，是的中點(diǎn)，，設(shè)，則，，，即，解得，即，又，（三角形中位線定理），．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)和勾股定理是解題關(guān)鍵．19．【分析】連接，取中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得，即，由三角形三邊關(guān)系可得，當(dāng)三點(diǎn)共線時，上式取等號，由的坐標(biāo)可得，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得，即可得到答案．解：連接，取中點(diǎn)，連接，

，為的中點(diǎn)，，即，，當(dāng)三點(diǎn)共線時，上式取等號，，，，，的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)與圖形、三角形中位線定理、勾股定理、三角形三邊關(guān)系等知識點(diǎn)，熟練掌握以上知識點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．20．或【分析】當(dāng)時，需分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)F位于矩形內(nèi)部時，如圖①，延長與交于點(diǎn)，證明點(diǎn)與點(diǎn)E重合，由為的中位線，由勾股定理求解，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得可得，從而可得答案；②當(dāng)點(diǎn)F位于矩形外部時，如圖②，同理可得，，從而可得答案．解：當(dāng)時，①當(dāng)點(diǎn)F位于矩形內(nèi)部時，如圖①，

延長與交于點(diǎn)，∵，∴，∵點(diǎn)G為的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)與點(diǎn)E重合，而為的中位線，∵，∴，∵，由勾股定理得由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，∴∴；②當(dāng)點(diǎn)F位于矩形外部時，如圖②，

同理可得，，∴．故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，三角形的中位線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．21．【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，三線合一定理，勾股定理，過點(diǎn)B作于G，連接，由三線合一定理和勾股定理求出，進(jìn)而求出，證明是的中位線，得到，則當(dāng)時，最小，即此時最小，利用面積法求出，則．解：如圖所示，過點(diǎn)B作于G，連接，∵在中，，，∴，∴，∴，∵F，M分別是，的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴當(dāng)時，最小，即此時最小，∵當(dāng)時，，∴，∴，∴最小值為，故答案為：．22．8【分析】延長到，使，連接，則，，當(dāng)、、在同一直線上時，最小，即周長的最小,最小值為．根據(jù)、分別是、的中點(diǎn)，得到從而周長的最小,最小值為．解：∵，，∴延長到，使，連接，

則，，當(dāng)、、在同一直線上時，最小，即周長的最小,最小值為．在中，即最小為，∵、分別是、的中點(diǎn)，∴∴周長的最小,最小值為,故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對稱最小值問題，熟練運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)和中位線定理是解題的關(guān)鍵．23．6.5【解析】略24．【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理，確定何時有最大值是解題關(guān)鍵．連接，則是的中位線，，當(dāng)最大時，有最大值求出即可．解：連接，如圖：，分別是，的中點(diǎn)，是的中位線，，當(dāng)最大時，有最大值，，分別是邊，上的動點(diǎn)，當(dāng)與重合時，最大為的長，正方形邊長為2，，的最大值為，故答案為：．25．（1）；（2）見分析；（3）或【分析】（1）直接用待定系數(shù)法求解即可；（2）延長交軸于點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的判定可得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，即可得出結(jié)論；（3）由（2）可知，，從而得到，，分兩種情況當(dāng)時和時兩種情況進(jìn)行求解即可．（1）解：把點(diǎn)和點(diǎn)代入得：，解得：，這條直線的解析式為；（2）如圖，延長交軸于點(diǎn)，

是的平分線，，，，，，，，為的中點(diǎn)；（3）如圖：

由（2）可知，，，為的中點(diǎn)，，，，，當(dāng)時，在中，令得，；當(dāng)時，由，得直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為，把代入，得，，解得：，直線的解析式為，解，得，，綜上所述，的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)撥】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形中位線，梯形等知識，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．26．（1）；（2）；（3）【分析】（1）過點(diǎn)作軸，利用，可得，利用和可得點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，從而得知點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，利用和是等邊三角形可得，即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，從而得解；（2）過點(diǎn)作軸，垂足為，推導(dǎo)，從而得出，再計算，用勾股定理得，從而得解；（3）取線段的中點(diǎn)N，連接、，則，用中位線定理求，用勾股定理求，最后利用求范圍．（1）解：如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為．

∵點(diǎn)，∴．∵，∴．在中，．∵，∴．∴．∴，∴是等邊三角形，∵，軸∴．∴．∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．（2）如圖，過點(diǎn)作軸，垂足為．

由旋轉(zhuǎn)得，．∴．∴．∴．∴．∴．在中，．（3）解：取線段的中點(diǎn)N，連接、，則

∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴∴即【點(diǎn)撥】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，中位線定理，勾股定理等知識，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．27．（1）見分析；（2）見分析；（3）【分析】（1）利用尺規(guī)作一個角等于已知角的方法作，根據(jù)平行線的判定可得；（2）求出，，利用可直接證明；（3）根據(jù)是的中位線求出，再利用全等三角形的性質(zhì)得出答案．（1）解：如圖所示：點(diǎn)F，即為所求；（2）證明：由作圖知，，∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，又∵，∴；（3）∵點(diǎn)D、E分別為、的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了尺規(guī)作圖，平行線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，靈活運(yùn)用相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．28．（1）見分析；（2）①；②，【分析】此題考查作角平分線，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，等角對等邊證明邊相等，三角形中位線的性質(zhì)定理，熟練掌握各知識點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．（1）作的平分線，可得；（2）①由得到，，利用推出，進(jìn)而得到，證得，即可求出；②勾股定理求出，根據(jù)中點(diǎn)得到是的中位線，由此得到．解：（1）如圖，連接，

∵∴；（2）①∵，∴，，∵，是邊的中點(diǎn)，．∴∴∵∴∴∴；②∵，，，∴∵∴是的中位線，∴，故答案為：，．29．（1）四邊形是菱形，理由見分析；（2）四邊形的面積為24．【分析】（1）連接，由三角形中位線定理得到，推出，證明，得到，即可證明結(jié)論成立；（2）設(shè)，，由三角形中位線定理求得菱形的邊長為5，利用菱形的性質(zhì)得到，利用勾股定理得到，據(jù)此求解即可．（1）解：四邊形是菱形，證明：連接，由折疊的性質(zhì)得，，，即，∵點(diǎn)D是邊中點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：由（1）知四邊形是菱形，∴設(shè)，，即，，四邊形的面積為，由（1）知是的中位線，∴，由勾股定理得，∵四邊形的對角線之和為14，∴，∴，即，∴，即四邊形的面積為24．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形中位線定理，菱形的判定和性質(zhì)，完全平方公式，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．30．（1）證明見分析；（2）；（3）【分析】（1）由折疊性質(zhì)知，，再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）設(shè)，由全等性質(zhì)知，再在中，利用勾股定理得，解之可得答案；（3）利用勾股定理求出，再證是的中位線得，，證明，設(shè)，則，由勾股定理得，即，解之可得答案．解：（1）證明：∵矩形紙片沿對角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，∴，，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，設(shè)，則，∴，∵在中，，∴，解得：，∴，∴的長為；（3）再折疊一次，使點(diǎn)與重合，得折痕，且，，∴，即點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴在中，，∵，，∴，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，，由折疊的性質(zhì)可知，在矩形中，，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，∴，∴的長為．【點(diǎn)撥】本題是四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線定理，等角對等邊知識點(diǎn)．31．（1）旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是；（2）【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理，（1）根據(jù)三角形的全等，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，推理判斷即可．（2）根據(jù)三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)計算即可．解：（1）∵繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，故旋轉(zhuǎn)角為．（2）如圖，作的中點(diǎn)H,連接，∵繞頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在邊上∴，，∴點(diǎn)、C、B共線，∵M(jìn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)H是的中點(diǎn)，∴，∴，∴．32．（1）120；（2）見分析；（3），見分析【分析】本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)“三邊相等，三個角都是”，全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形常見判定方法“”添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由“”可證，可得，由外角的性質(zhì)可求解；（2）由“”可證，可得；（3）由三角形中位線定理可得，由“”可證，可得．（1）解：是等邊三角形，在和中，，，，；故答案為：120；（2）證明：將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得，連接，是等邊三角形，，，；（3）解：，理由如下：如圖，延長至H，使，連接，∵點(diǎn)G是的中點(diǎn)，，又，，∵是等邊三角形，，，，，，又，，，．33．（1），；（2），；理由見分析；（3）最小值為2，最大值為8．【分析】（1）延長交于，證明，得出，，根據(jù)，得出，即可得出結(jié)論；（2）延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，通過證明，得出，，根據(jù)，，得出，即可得出結(jié)論；（3）連接，由（1）（2）同理可得，，，根據(jù)三角形的中位線定理可得，，進(jìn)而得出，，則，當(dāng)點(diǎn)E在上時，取最小值，此時也取最小值，則最??；當(dāng)點(diǎn)E在延長線上時，取最大值，此時也取最大值，則最大．（1）解：延長交于，

在和中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，故答案為：，；（2）解：，；理由：延長交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

∵，∴，又∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，；（3）解：連接，

由（1）（2）同理可得，，∵點(diǎn)M，P，N為，，的中點(diǎn)，∴，，∴∵，，∴，∴，∵繞點(diǎn)B在平面內(nèi)