高考總復(fù)習文數(shù)（人教版）課時作業(yè)提升6函數(shù)的奇偶性與周期性

課時作業(yè)提升(六)函數(shù)的奇偶性與周期性A組夯實基礎(chǔ)1．下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上單調(diào)性也相同的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝log2|x|C．y＝1－x2 D．y＝x3－1解析：選C函數(shù)y＝－3|x|為偶函數(shù)，在(－∞，0)上為增函數(shù)．選項A，D是奇函數(shù)，不符合；選項B是偶函數(shù)但單調(diào)性不符合；只有選項C符合要求．2．(2018·江西三校聯(lián)考)設(shè)f(x)－x2＝g(x)，x∈R，若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則g(x)的解析式可以為()A．x3 B．cosxC．1＋x D．xex解析：選B由題意，只要g(－x)為偶函數(shù)即可，由選項可知，只有選項B的函數(shù)為偶函數(shù)；故選B.3．(2018·江南十校聯(lián)考)設(shè)f(x)＝x＋sinx(x∈R)，則下列說法錯誤的是()A．f(x)是奇函數(shù) B．f(x)在R上單調(diào)遞增C．f(x)的值域為R D．f(x)是周期函數(shù)解析：選D因為f(－x)＝－x＋sin(－x)＝－(x＋sinx)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)，故A正確；因為f′(x)＝1－cosx≥0，所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，故B正確；因為eq\a\vs4\al(fx)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)的值域為R，故C正確；f(x)不是周期函數(shù)，故選D.4．(2018·撫順模擬)已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x＋4)＝f(x)，當x∈(0,2)時，f(x)＝2x2，則f(7)＝()A．2 B．－2C．－98 D．98解析：選B因為f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期T＝4，又f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.5．(2018·邯鄲月考)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(lgx)＜0，則x的取值范圍是()A．(0,1) B．(1,10)C．(1，＋∞) D．(10，＋∞)解析：選A依題意，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)＝0，不等式f(lgx)＜0＝f(0)等價于lgx＜0，故0＜x＜1，故選A.6．已知f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，則g(1)等于()A．4 B．3C．2 D．1解析：選B由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，兩式相加解得，g(1)＝3.7．(2018·大慶模擬)x為實數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)＝x－[x]在R上為()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．增函數(shù) D．周期函數(shù)解析：選D對任意非零整數(shù)k，[x＋k]＝[x]＋k，所以f(x＋k)＝x＋k－[x]－k＝x－[x]＝f(x)，任意非零整數(shù)均是函數(shù)f(x)的周期．故選D.8．(2018·石家莊模擬)設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝log2x，則f(－eq\r(2))＝____________.解析：因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－eq\r(2))＝f(eq\r(2))＝log2eq\r(2)＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)9．函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，若f(1)＝－5，則f(f(5))＝____________.解析：∵f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝eq\f(1,fx＋2)＝f(x)，∴f(5)＝f(1)＝－5，∴f(f(5))＝f(－5)＝f(3)＝eq\f(1,f1)＝－eq\f(1,5).答案：－eq\f(1,5)10．設(shè)函數(shù)f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為____________.解析：設(shè)g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因為函數(shù)g(x)＝x是奇函數(shù)，則由題意知，函數(shù)h(x)＝ex＋ae－x為偶函數(shù)，又函數(shù)f(x)的定義域為R，∴h(x)＝h(－x)，解得a＝1.答案：111．若f(x)，g(x)是定義在R上的函數(shù)，f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x2－x＋1)，求f(x)的表達式．解：在f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x2－x＋1)中用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x2－－x＋1)，又f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，所以－f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x2＋x＋1)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋gx＝\f(1,x2－x＋1)，,－fx＋gx＝\f(1,x2＋x＋1)，))兩式相減得f(x)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2－x＋1)－\f(1,x2＋x＋1)))＝eq\f(x,x4＋x2＋1).12．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝logeq\f(1,2)x.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)解不等式f(x2－1)>－2.解：(1)當x<0時，－x>0，則f(－x)＝logeq\f(1,2)(－x)．因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)．所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)x，x>0，,0，x＝0，,log\f(1,2)－x，x<0.))(2)因為f(4)＝logeq\f(1,2)4＝－2，f(x)是偶函數(shù)，所以不等式f(x2－1)>－2可化為f(|x2－1|)>f(4)．又因為函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以|x2－1|<4，解得－eq\r(5)<x<eq\r(5)，即不等式的解集為(－eq\r(5)，eq\r(5))．B組能力提升1．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(x＋1)＝－f(x)．若f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[1,3]上()A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減C．先增后減 D．先減后增解析：選D由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期為2.又f(x)在[－1,0]上是減函數(shù)且f(x)是偶函數(shù)，所以f(x)在[0,1]上是增函數(shù)，在[1,2]上是減函數(shù)，在[2,3]上是增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在[1,3]上先減后增．2．(2018·惠州模擬)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，若f(3)＝3，則f(2019)的值為()A．3 B．0C．－3 D．±3解析：選A因為g(－x)＝f(－x－1)，所以－g(x)＝f(x＋1)．又g(x)＝f(x－1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，則f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(2019)＝f(3)＝3.3．(2018·江西模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1)上單調(diào)遞增，記a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＝c B．b＞a＝cC．b＞c＞a D．a(chǎn)＞c＞b解析：選A依題意得，f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是以2為周期的函數(shù)，f(2)＝f(0)＝0，又f(3)＝－f(2)＝0，且f(x)在[0,1)上是增函數(shù)，于是有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＞f(0)＝f(2)＝f(3)，即a＞b＝c.4．偶函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，f(3)＝3，則f(－1)＝____________.解析：∵f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，∴f(4－x)＝f(x)，∴f(4－1)＝f(1)＝f(3)＝3，即f(1)＝3.∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(－1)＝f(1)＝3.答案：35．(2018·滄州一中月考)已知函數(shù)y＝f(x)是R上的偶函數(shù)，對于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，當x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0.給出下列命題：①f(3)＝0；②直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸；③函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為增函數(shù)；④函數(shù)y＝f(x)在[－9,9]上有四個零點．其中所有正確命題的序號為____________.(把所有正確命題的序號都填上)解析：對①，對于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，則f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(3)＝0；對②，由①知f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期為6，又因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以f(x＋6)＝f(－x)，而f(x)的周期為6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，f(－x)＝f(－x－6)，所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直線x＝－6是函數(shù)y＝f(x)的圖象的一條對稱軸；對③，當x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2時，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0.所以函數(shù)y＝f(x)在[0,3]上為增函數(shù)，因為f(x)是R上的偶函數(shù)，所以函數(shù)y＝f(x)在[－3,0]上為減函數(shù)，而f(x)的周期為6，所以函數(shù)y＝f(x)在[－9，－6]上為減函數(shù)；對④，f(3)＝0，f(x)的周期為6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，所以y＝f(x)在[－9,9]上有四個零點．答案：①②④6．函數(shù)f(x)的定義域為D＝{x|x≠0}，且滿足對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，求x的取值范圍．解：(1)∵對于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)(2)令x1＝x2＝－1，有f(