51任意角和弧度制-重點強化提升（知識點典型例題針對練習(xí)高考真題）講義-2025年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

5.1任意角和弧度制知識知識歸納任意角的概念與弧度制1、將沿軸正向的射線，圍繞原點旋轉(zhuǎn)所形成的圖形稱作角.逆時針旋轉(zhuǎn)為正角，順時針旋轉(zhuǎn)為負角，不旋轉(zhuǎn)為零角2、同終邊的角可表示為軸上角：軸上角：3、第一象限角：｛α|0°+k360°<α<90°+k360°}（kZ）第二象限角：第三象限角：第四象限角：4、區(qū)分第一象限角、銳角以及小于的角第一象限角：｛α|0°+k360°<α<90°+k360°}（kZ）銳角：｛α|0°<α<90°}小于的角：若為第二象限角，那么為第幾象限角？所以在第一、三象限弧度制：弧長等于半徑時，所對的圓心角為弧度的圓心角，記作.7、角度與弧度的轉(zhuǎn)化：8、角度與弧度對應(yīng)表：角度弧度9、弧長與面積計算公式弧長：；面積：，注意：這里的均為弧度制.考點講解考點講解題型一：周期現(xiàn)象1．如果今天是星期三，則2020天后的那一天是星期（

）A．五 B．六C．日 D．一【答案】C【分析】根據(jù)題意得到周期為7，進而求解.【詳解】每隔七天循環(huán)一次，，故2020天后為周日.故選：C.2．王濤今年歲了，請問下面他班的哪個年齡的老師跟他屬相相同（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)周期為直接判斷即可.【詳解】有生肖，屬相是每年循環(huán)一次；對于A，，A錯誤；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：D.3．下列現(xiàn)象不是周期現(xiàn)象的是（

）A．掛在彈簧下方作上下振動的小球B．游樂場中摩天輪的運行C．拋一枚骰子，向上的數(shù)字是奇數(shù)D．每四年出現(xiàn)一個閏年【答案】C【分析】由周期現(xiàn)象定義直接判斷即可.【詳解】周期現(xiàn)象是指間隔相等而重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象，由此可知ABD均為周期現(xiàn)象，C不是周期現(xiàn)象.故選：C.4．下列現(xiàn)象不是周期現(xiàn)象的是（

）A．“春去春又回” B．鐘表的分針每小時轉(zhuǎn)一圈C．“哈雷彗星”的運行時間 D．某同學(xué)每天上數(shù)學(xué)課的時間【答案】D【分析】根據(jù)周期現(xiàn)象的定義逐一判斷四個選項的正誤即可得符合題意的選項.,【詳解】對于A：每隔一年，春天就重復(fù)一次，因此“春去春又回”是周期現(xiàn)象；對于B：分針每隔一小時轉(zhuǎn)一圈，是周期現(xiàn)象；對于C：天體的運行具有周期性，所以“哈雷彗星”的運行時間是周期現(xiàn)象；對于D：某同學(xué)每天上數(shù)學(xué)課的時間不固定，并不是隔一段時間就會重復(fù)一次，因此不是周期現(xiàn)象，故選：D.題型二：任意角的概念1．已知，則的余角是（

）A．29.4° B．29.64° C．119.4° D．119.64°【答案】A【分析】根據(jù)余角的定義進行計算即可.【詳解】的余角為.故選：.2．設(shè)集合，那么（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】變形表達式為相同的形式，利用集合間的關(guān)系，比較可得．【詳解】由題意得，即M是由的奇數(shù)倍構(gòu)成的集合，又，即N是由的整數(shù)倍構(gòu)成的集合，則，故選：C．3．下列說法中正確的個數(shù)是（

）①終邊相同的角一定相等；②鈍角一定是第二象限角；③第一象限角可能是負角；④小于的角都是銳角．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由象限角、任意角以及銳角的概念逐一判斷即可.【詳解】對于①，終邊相同的角可以相差360°的整數(shù)倍，不一定相等，①錯誤；對于②，鈍角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正確；對于③，第一象限角可以是正角，也可以是負角，③正確；對于④，小于90°的角可以是銳角，也可以是負角，④錯誤．綜上，正確的個數(shù)是2.故選：B．4．已知{第二象限角}，{鈍角}，{大于90°的角}，那么關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用任意角象限角的概念逐一分析判斷得解.【詳解】對A，如在集合里，但是并不是鈍角，所以不在集合里，所以選項A錯誤；對B，鈍角大于90°，小于180°，故，故選項B正確；對C，錯誤，如在第二象限，但是并不大于，所以選項C錯誤；對D，錯誤.如在第二象限，但是并不在集合中，故D錯誤.故選：B題型三：終邊相同的角1．下列說法中，正確的是（

）A．第二象限角都是鈍角B．第二象限角大于第一象限角C．若角α與角β不相等，則α與β的終邊不可能重合D．若角α與角β的終邊在一條直線上，則【答案】D【分析】根據(jù)終邊相同的角判斷A，B，C，再根據(jù)終邊在一條直線上列式判斷D.【詳解】A錯，是第二象限角，但不是鈍角；B錯，是第二象限角，是第一象限角，但；C錯，，則，但二者終邊重合；D正確，α與β的終邊在一條直線上，則二者的終邊重合或相差180°的整數(shù)倍，故.故選：D.2．（多選）下列命題，為真命題的是（

）A．角是第四象限角 B．角是第三象限角C．角是第二象限角 D．角是第一象限角【答案】ABC【分析】找出各角在范圍內(nèi)終邊相同的角，由此可判斷出各命題中角的象限.【詳解】對于A，，是第四象限角，則是第四象限角，A正確；對于B，是第三象限角，B正確；對于C，，是第二象限角，則是第二象限角，C正確；對于D，，是第二象限角，則是第二象限角，D錯誤.故選：ABC.3．如果角與角的終邊相同，角與角的終邊相同，那么的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)終邊相同可得角與角之間的關(guān)系，可得的代數(shù)形式，再結(jié)合選項可得答案.【詳解】角與角的終邊相同，則，角與角的終邊相同，則，，即角與角的終邊相同，選項A，C符合題意．故選：AC．4．的角屬于第象限.【答案】一【分析】根據(jù)終邊相同的角的性質(zhì)即可求解.【詳解】由于，且為第一象限角，故的角屬于第一象限角，故答案為：一題型四：根據(jù)圖形寫出角(范圍)1．（多選）下列條件中，能使和的終邊關(guān)于軸對稱的是（

）．A． B． C． D．【答案】AC【分析】假設(shè)，為內(nèi)的角，可得，再由終邊相同角的表示即可求解.【詳解】假設(shè)，為內(nèi)的角，如圖所示：

由和的終邊關(guān)于軸對稱，所以根據(jù)終邊相同角的概念，可得，所以滿足條件的為A、C故選：AC2．已知角的終邊在圖中陰影所表示的范圍內(nèi)（不包括邊界），那么所有角形成的集合為．【答案】【分析】首先考慮在范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角的特征，再結(jié)合周期性即可得解.【詳解】在范圍內(nèi)，終邊落在陰影內(nèi)的角滿足或，所以所有滿足題意的角的集合為：．故答案為：.3．寫出終邊在下列各圖所示陰影部分內(nèi)（包含邊界）的角的集合．【答案】（1）；（2）.【分析】先寫出邊界角，再按逆時針順序?qū)懗鰠^(qū)域角即可求解.【詳解】先寫出邊界角，再按逆時針順序?qū)懗鰠^(qū)域角，則得（1）；（2）.4．如圖，用弧度制分別寫出下列條件下的角的集合.(1)終邊在射線上；(2)終邊在直線上.【答案】(1)；(2).【分析】（1）將角度改為弧度，再加周期，寫成集合形式即可.（2）寫出終邊在和上角的集合，再取并集即可.【詳解】（1）由任意角的定義得，終邊在射線上的角為.（2）由任意角的定義得，終邊在射線上的角為，化簡得，所以終邊在直線上的角為.題型五：象限角和軸線角1．若角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，則的終邊落在（）A．軸的非負半軸 B．第一象限C．軸的非負半軸 D．第三象限【答案】A【分析】由對稱可知，得終邊所在位置.【詳解】角的終邊與角的終邊關(guān)于軸對稱，則角的終邊與角的終邊相同，得，則有，所以的終邊落在軸的非負半軸．故選：A．2．是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【分析】直接利用角的旋轉(zhuǎn)求出該角為第幾象限角．【詳解】是第三象限角，故選：C．3．下列說法正確的是：（

）A．終邊在軸上的角的集合為B．第三象限角的集合為C．第二象限角大于第一象限角D．角與角是終邊相同角【答案】A【分析】根據(jù)終邊相同角的表示可判斷A，D；根據(jù)象限角的概念與表示可判斷B，C．【詳解】對于A，終邊在軸上的角的集合為，即，即，故A正確；對于B，第三象限角的集合為，故B錯誤；對于C，是第二象限角，是第一象限角，，故C錯誤；對于D，，與終邊不同，故D錯誤．故選：A．4．終邊與坐標(biāo)軸重合的所有角的集合是（

）A．B． C． D．【答案】B【分析】分別寫出終邊在x、y軸上的角，再應(yīng)用集合寫出終邊與坐標(biāo)軸重合的所有角.【詳解】終邊與x軸重合的角為且，即且為偶數(shù)，終邊與y軸重合的角為且，即且為奇數(shù)，所以終邊與坐標(biāo)軸重合的所有角的集合是.故選：B題型六：角所在象限和范圍1．如果角的終邊在第三象限，則的終邊一定不在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根據(jù)角的終邊在第三象限，得，即，然后分類討論，再結(jié)合象限角定義可判斷.【詳解】∵α為第三象限角，∴，∴，令，，時，，，可得的終邊在第一象限；令，時，，，可得的終邊在第三象限，令，時，，，∴可得的終邊在第四象限，故選:B．2．下列說法中，正確的是（

）A．是第四象限角B．銳角一定是第一象限角C．第二象限角大于第一象限的角D．若角為第二象限角，那么為第一象限角【答案】AB【分析】結(jié)合象限角的定義逐一分析即可得.【詳解】，故是第四象限角，選項A正確；銳角是第一象限角，故B正確；第二象限角為，第一象限角為，故第二象限角不一定大于第一象限的角，故C錯誤；若角為第二象限角，則，故，即可能為第一象限角也可能為第三象限角，故D錯誤.故選：AB.3．設(shè)為第二象限角，則可能是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】CD【分析】為第二象限角，得到，得到答案.【詳解】為第二象限角，故，所以，所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或軸的負半軸.故選：CD4．若（），則的終邊在．【答案】軸上【分析】根據(jù)得，即可判斷.【詳解】因為，所以，所以，即的終邊在軸上.故答案為：軸上.題型七：弧度的概念1．下列說法正確的是（

）A．1弧度的角與1°的角一樣大B．若圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角是C．經(jīng)過5分鐘分針轉(zhuǎn)了30°D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度【答案】B【分析】利用弧度制的定義對選項逐一分析即可.【詳解】對于A，根據(jù)弧度制定義可知A錯誤；對于B，若圓的一條弦長等于半徑，則這條弦所對的圓心角為，即，故B正確；對于C，經(jīng)過5分鐘分針轉(zhuǎn)了，故C錯誤；對于D，由弧度制的定義可知，長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小是1弧度，則長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小不是1弧度，故D錯誤.故選：B．2．“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時，其所對的“古典正弦”為（為的中點）.根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角對應(yīng)弧長時，其對應(yīng)的“古典正弦”值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合圓的性質(zhì)求出對應(yīng)的“古典正弦”值.【詳解】設(shè)由圓心角對應(yīng)弧長，由，得圓心角弧度數(shù)絕對值為2.則,所以故選：D3．與角終邊相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】代入終邊相同的角的集合，即可求解.【詳解】與角終邊相同的角的集合是，當(dāng)時，.故選：B4．與60°角終邊相同的角可以表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】運用終邊相同角的概念，結(jié)合弧度制可判斷.【詳解】A,B弧度角度混用，錯誤.與60°角終邊相同的角可以表示，則C錯誤．弧度制下表示為，則D正確.故選：D.題型八：角度化和弧度制的換算1．把化成角度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化關(guān)系計算可得.【詳解】.故選：B2．角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)弧度制與角度值的轉(zhuǎn)化即可.【詳解】.故選：A.3．下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)弧度制與角度值不能混用即可排除AB，根據(jù)角度制與弧度制的互化以及終邊相同角的概念即可判斷CD.【詳解】對A,B在同一個表達式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯誤．對C，，則與終邊相同，而與終邊相同，且化為角度制即為，則與的終邊相同，則是與的終邊相同的角的表達式，故C正確；對D，由C得與終邊相同，則與終邊相同的角可以寫成的形式，則D正確．故選：CD．4．（多選）下列選項正確的是（

）A．是第二象限角B．C．經(jīng)過4小時，時針轉(zhuǎn)了D．若一扇形的弧長為2，圓心角為，則該扇形的面積為【答案】BCD【分析】根據(jù)象限角的定義，以及角度與弧度的轉(zhuǎn)化關(guān)系，扇形面積公式，即可判斷選項.【詳解】選項A，在第三象限，故A錯誤；選項B，，故B正確；選項C，時針按順時針方向轉(zhuǎn)，所以轉(zhuǎn)過的角是負角，每經(jīng)過1小時轉(zhuǎn)，所以經(jīng)過4小時，時針轉(zhuǎn)了，故C正確；選項D，若一扇形的弧長為2，圓心角為，則該扇形的半徑，該扇形的面積，故D正確．故選：BCD題型九：弧長的有關(guān)計算1．一鐘表的分針長10cm，經(jīng)過15分鐘，分針的端點所轉(zhuǎn)過的長為（

）A．30cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【分析】由弧長公式直接計算.【詳解】分針每60分鐘轉(zhuǎn)一周，故每分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是–，∴經(jīng)過15分鐘，分針的端點所轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)為：，∴弧長為（cm）．故選：C．2．設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，而積為，周長為，則下列說法不正確的是（

）A．若，確定，則唯一確定 B．若，確定，則，唯一確定C．若確定，則唯一確定 D．若確定，則唯一確定【答案】C【分析】利用，再結(jié)合各個選項，逐一分析判斷，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，對于選項A，若，確定，則唯一確定，所以選項A正確，對于選項B，若，確定，由知，確定，則，唯一確定，所以選項B正確，對于選項C，若確定，由，消得到，又，當(dāng)時，有兩個值，當(dāng)時，有1個值，當(dāng)時，無解，所以選項C錯誤，對于選項D，若確定，由知，確定，又，所以確定，故選項D正確，故選：C.3．要在半徑cm的圓形金屬板上截取一塊扇形板，使其弧的長為cm，則圓心角的弧度數(shù)是．【答案】【分析】根據(jù)弧長公式求圓心角弧度即可.【詳解】圓心角的弧度數(shù)為.故答案為：4．已知圓心角為1的扇形的面積為8，則該扇形的弧長為.【答案】4【分析】由扇形的面積公式以及弧長公式即可直接得答案.【詳解】由，可得，所以.從而可得.故答案為：4.題型十：扇形面積的有關(guān)計算鞏固提升鞏固提升1．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】將，與的終邊相同．【詳解】，又終邊在第三象限，所在的象限為第三象限，故選：C．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）如圖是清代的時辰醒鐘，此醒鐘直徑12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宮廷鐘表處制造，以中國傳統(tǒng)的一日十二個時辰為表盤顯示，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)與普通機械鐘表的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似.則丑時與午時的夾角是（

）A．120° B．135° C．150° D．165°【答案】C【分析】首先求出一個時辰所對應(yīng)的圓心角，再根據(jù)丑時與午時相差的時辰個數(shù)計算可得；【詳解】解：一日十二個時辰，則一個時辰所對應(yīng)的圓心角為，丑時與午時相差個時辰，故丑時與午時的夾角為故選：C3．（2024·河南·三模）下列各角中，與終邊相同的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)終邊角的定義表示出各角，即可判斷.【詳解】解：對A，，故A錯誤；對B，，故B錯誤；對C，，故C錯誤；對D，，故D正確.故選：D.4．已知是第二象限的角，那么是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角【答案】D【分析】寫出第二象限角，再求出的范圍，討論的取值范圍即可求解.【詳解】是第二象限的角，則，所以，當(dāng)時，，屬于第一象限角，當(dāng)時，，屬于第三象限角，當(dāng)時，，屬于第一象限角，所以是第一或第三象限角，故選：D【點睛】本題考查了象限角，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.5．（2024·上海楊浦·模擬預(yù)測）角終邊上有一點，則下列各點中在角的終邊上的點是_____.A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角終邊與的終邊的對稱性可得正確選項.【詳解】角終邊與的終邊關(guān)于軸對稱，因為在角終邊上，故在的終邊上，故選：C.【點睛】本題考查終邊相同的角，一般地，角的終邊的幾何關(guān)系往往蘊含著角的代數(shù)關(guān)系，比如終邊關(guān)于軸對稱時，則有，本題屬于基礎(chǔ)題.6．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）機械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（

）A．π B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形分析，利用扇形的圓心角、半徑、弧長的關(guān)系，即可求解.【詳解】由已知，．得，則萊洛三角形的周長是故選：A．7．（2024·山東青島·一模）2024年2月4日，“龍行中華——甲辰龍年生肖文物大聯(lián)展”在山東孔子博物館舉行，展覽的多件文物都有“龍”的元素或圖案．出土于魯國故城遺址的“出廓雙龍勾玉紋黃玉璜”（圖1）就是這樣一件珍寶．玉璜璜身滿刻勾云紋，體扁平，呈扇面狀，璜身外鏤空雕飾“S”型雙龍，造型精美．現(xiàn)要計算璜身面積（厚度忽略不計），測得各項數(shù)據(jù)（圖2）：cm，cm，cm，若，，則璜身（即曲邊四邊形ABCD）面積近似為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定圖形求出圓心角，再利用扇形面積公式計算即得.【詳解】顯然為等腰三角形，，則，，即，于是，所以璜身的面積近似為.故選：C8．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知兩圓錐的底面積分別為、π，其側(cè)面展開圖中圓心角之和為，則兩圓錐的母線長之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別設(shè)出兩圓錐側(cè)面展開圖的圓心角及母線長，借助相關(guān)公式及基本不等式即可求出最小值.【詳解】設(shè)兩圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角分別為、，母線長分別為、，由題知兩個圓錐的底面半徑分別為，，所以，，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、時等號成立.故選：C.9．（多選）下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)弧度制與角度值不能混用即可排除AB，根據(jù)角度制與弧度制的互化以及終邊相同角的概念即可判斷CD.【詳解】對A,B在同一個表達式中，角度制與弧度制不能混用，所以A，B錯誤．對C，，則與終邊相同，而與終邊相同，且化為角度制即為，則與的終邊相同，則是與的終邊相同的角的表達式，故C正確；對D，由C得與終邊相同，則與終邊相同的角可以寫成的形式，則D正確．故選：CD．10．（多選）下列命題，為真命題的是（

）A．角是第四象限角 B．角是第三象限角C．角是第二象限角 D．角是第一象限角【答案】ABC【分析】找出各角在范圍內(nèi)終邊相同的角，由此可判斷出各命題中角的象限.【詳解】對于A，，是第四象限角，則是第四象限角，A正確；對于B，是第三象限角，B正確；對于C，，是第二象限角，則是第二象限角，C正確；對于D，，是第二象限角，則是第二象限角，D錯誤.故選：ABC.11．（多選）已知一根長為L的鐵絲，現(xiàn)在要把這根鐵絲正好折成一個扇形，且使得扇形的面積最大．則下列選項中正確的是（

）A．當(dāng)扇形的面積最大時，扇形的半徑為B．扇形面積的最大值為C．當(dāng)扇形的面積最大時，扇形的半徑為D．扇形面積的最大值為【答案】BC【分析】由題意可知由扇形面積公式，結(jié)合基本不等式即可求解最值.【詳解】設(shè)扇形的半徑和弧長分別為，由題意知：則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，故BC正確，AD錯誤，故選：BC．12．（2023·上海浦東新·三模）與終邊相同的最小正角是.【答案】【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義以及最小正角的要求，可確定結(jié)果.【詳解】因為，所以與終邊相同的最小正角是.故答案為：.13．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，其中有這樣一個問題：“今有宛田，下周三十步，徑十六步.問為田幾何？”其意思為：“有一塊扇形的田，弧長為30步，其所在圓的直徑為16步，問這塊田的面積是多少平方步？”該問題的答案為平方步.【答案】120【分析】利用扇形的面積公式求解.【詳解】由題意得：扇形的弧長為30，半徑為8，所以扇形的面積為：，故答案為：12014．與角終邊相同的最小正角是；最大負角是．【答案】【分析】根據(jù)與角終邊相同的角是，對k取滿足要求的整數(shù)可得解.【詳解】因為與角終邊相同的角是，所以當(dāng)時，與角終邊相同的最小正角是.當(dāng)時，與角終邊相同的最大負角是.故答案為：，.15．（2023·上海黃浦·二模）某企業(yè)