歷年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練

1、一個(gè)六位數(shù)，如果它的前三位數(shù)碼與后三位數(shù)碼完全相同，順序也相同，由此六位數(shù)

可以被()整除。

A.IllB.1000C.1001D.1111

解：依題意設(shè)六位數(shù)為則"caZ7C=aX105+bxi04+cX103+aXl()2+bxi0

+c=aX102(103+1)+bX10(103+1)+c(103+1)=(aX103+bX10+c)(103

+1)=1001(aX103+bX10+c),而aX103+bX10+c是整數(shù)，所以能被1001整

除。故選C

方法二：代入法

2、若S=-------p--------—,則S的整數(shù)部分是

H------F....?

198019812001

解：因1981、1982...2001均大于1980,所以S>----:一="”=90,又1980、

”122

22x

1980

1200121

1981……2000均小于2001,所以S<------「=二±=90—，從而知S的整數(shù)

”12222

22x

2001

部分為90o

3、設(shè)有編號(hào)為1、2、3……100的100盞電燈，各有接線開關(guān)控制著，開始時(shí)，它們都

是關(guān)閉狀態(tài)，現(xiàn)有100個(gè)學(xué)生，第1個(gè)學(xué)生進(jìn)來(lái)時(shí)，凡號(hào)碼是1的倍數(shù)的開關(guān)拉了一

下，接著第二個(gè)學(xué)生進(jìn)來(lái)，由號(hào)碼是2的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，第n個(gè)(nWlOO)學(xué)生

進(jìn)來(lái)，凡號(hào)碼是n的倍數(shù)的開關(guān)拉一下，如此下去，最后一個(gè)學(xué)生進(jìn)來(lái)，把編號(hào)能被

100整除的電燈上的開關(guān)拉了一下，這樣做過(guò)之后，請(qǐng)問(wèn)哪些燈還亮著。

解：首先，電燈編號(hào)有幾個(gè)正約數(shù)，它的開關(guān)就會(huì)被拉幾次，由于一開始電燈是關(guān)的，

所以只有那些被拉過(guò)奇數(shù)次的燈才是亮的，因?yàn)橹挥衅椒綌?shù)才有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，所以那

些編號(hào)為1、2\3\4\5\6\7\8\9?、1(?共為盞燈是亮的。

4、某商店經(jīng)銷一批襯衣，進(jìn)價(jià)為每件m元，零售價(jià)比進(jìn)價(jià)高盛，后因市場(chǎng)的變化，該店

把零售價(jià)調(diào)整為原來(lái)零售價(jià)的州出售，那么調(diào)價(jià)后每件襯衣的零售價(jià)是()

A.m(l+a%)(l-b%)元B.m-a%(l-b%)7U

C.m(l+a%)b%元D.m(l+a%b%)元

解：根據(jù)題意，這批襯衣的零售價(jià)為每件m(1+a%)元，因調(diào)整后的零售價(jià)為原零售價(jià)

的b%,所以調(diào)價(jià)后每件襯衣的零售價(jià)為m(1+a%)b%元。

應(yīng)選C

5、如果a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且a+b+c=O,那么」±;+即的所有可能的

Ia|\b\|c|Iabc\

值為()

A.0B.1或-1C.2或-2D.O或-2

解：由已知，a,b,c為兩正一負(fù)或兩負(fù)一正。

①當(dāng)a,b,c為兩正一負(fù)時(shí)：

abc,abcabcabc八

—+—+——=1,--------=一1所以——+——+—+-----=0；

|a||b||c||ahc\\a||b\\c||ahc\

②當(dāng)a,b,c為兩負(fù)一正時(shí)：

abc,abcabc

——+——+—=-1,--------=+—+—+=0

|a|\b\|c|\abc\l?lSI|c||abc\

由①②知---1--------1-------1---------所有可能的值為0。

\a\\b\|c|\abc\

應(yīng)選A

6、在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對(duì)邊，若NB=60°,則一^+一仁的

a+bc+Z?

值為()

A.1B.正

22

C.1D.V2

解:過(guò)A點(diǎn)作ADJ_CD于D,在RtZ\BDA中，則于NB=60°,所以DB=—,AD=——C。

22

r3

在RtaADC中，DC2=AC2—AD2,所以有(a--)2=b2--C2,整理得a?+c2=b2

24

c2+a2+ab_a14-c2+ab+be

+ac,從而有上+，一

a+bc+b(Q+b)(c+b)ac+ab+bc+b2

應(yīng)選C

7、設(shè)a<b<0,a2+b2=4ab,則空的值為)

a-h

A.V3B.V6C.2D.3

解：因?yàn)?a+b/=6ab,(a-b尸=2ab,由于a<b〈O,得a+b=-J6ab,a-b=Sab,故

a-h

應(yīng)選A

8.已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,貝ij多項(xiàng)式a2+b?+c2?ab-bc-ca

的值為()

A.OB.1C.2D.3

由率：Q~+〃~+c~—cib—he—CCL——[(6?-b)~+S—c)。+(c—a)2],

5La-b=-Lb-c=-1,c-a=2

...原式=；[(_1)2+(_I)2+22]=3

2j22

9、已知abeWO,且a+b+c=O,則代數(shù)式三+絲+二的值是)

hecaah

A.3B.2C.1D.0

一S+c)?〃+—(Q+c)?〃+-(Q+/?)?c

解：原式=

acab

,aQ、,bb、,cc、

=-(7+-)-(-+-)-(-+7)

bcacab

abc?

=—+—+—=3

abc

10、某商品的標(biāo)價(jià)比成本高p%,當(dāng)該商品降價(jià)出售時(shí)，為了不虧損成本，售價(jià)的折扣（即

降價(jià)的百分?jǐn)?shù)）不得超過(guò)d%,則d可用p表示為

解：設(shè)該商品的成本為a,則有a（l+p%）（l-d%尸a,解得d=—史-

100+p

11、已知實(shí)數(shù)z、y、z滿足x+y=5及z?=xy+y-9,貝!|x+2y+3z=

解：由已知條件知（x+1）+y=6,（x+1）?y=z?+9,所以x+1,y是t?—6t+z?+9=0的

兩個(gè)實(shí)根，方程有實(shí)數(shù)解，則4=（-6）2-4（Z2+9）=-4Z220,從而知Z=0,解

方程得x+l=3,y=3?所以x+2y+3z=8

12.氣象愛好者孔宗明同學(xué)在x（x為正整數(shù)）天中觀察到：①有7個(gè)是雨天；②有5個(gè)

下午是晴天；③有6個(gè)上午是晴天；④當(dāng)下午下雨時(shí)上午是晴天。則x等于（）

A.7B.8C.9D.10

選C。設(shè)全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。由題可得

關(guān)系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②+③一④得2d-a=4,即d=2,故b=4,

c=3>于x=a+b+c+d=9。

13、有編號(hào)為①、②、③、④的四條賽艇，其速度依次為每小時(shí)打、匕、匕、丫4千米，

且滿足%>嶺>%>丫4>°，其中，V水為河流的水流速度（千米/小時(shí)），它們?cè)诤?/p>

流中進(jìn)行追逐賽規(guī)則如下：（1）四條艇在同一起跑線上，同時(shí)出發(fā)，①、②、③是逆

流而上，④號(hào)艇順流而下。（2）經(jīng)過(guò)1小時(shí)，①、②、③同時(shí)掉頭，追趕④號(hào)艇，誰(shuí)

先追上④號(hào)艇誰(shuí)為冠軍，問(wèn)冠軍為幾號(hào)？

[3：出發(fā)1小時(shí)后，①、②、③號(hào)艇與④號(hào)艇的距離分別為

S=[（匕-V水）+（匕K+匕,）]X1=%+%

各艇追上④號(hào)艇的時(shí)間為

t=匕+_匕+%_]12%

'（匕+u水）一3水+匕）匕一！匕一！

對(duì)h>為>匕有4<4,即①號(hào)艇追上④號(hào)艇用的時(shí)間最小，①號(hào)是冠

軍。

14.有一水池，池底有泉水不斷涌出，要將滿池的水抽干，用12臺(tái)水泵需5小時(shí)，用10

臺(tái)水泵需7小時(shí)，若要在2小時(shí)內(nèi)抽干，至少需水泵幾臺(tái)？

解：設(shè)開始抽水時(shí)滿池水的量為x,泉水每小時(shí)涌出的水量為y,水泵每小時(shí)抽水量為z,

2小時(shí)抽干滿池水需n臺(tái)水泵，則

x+5y=5xl2z(

<x+7y=7xl0z(

x+2y<2nz1

x=35z

由①②得《，代入③得：35z+10z<2nz

y=5z

An>22-,故n的最小整數(shù)值為23。

2

答：要在2小時(shí)內(nèi)抽干滿池水，至少需要水泵23臺(tái)

15.某賓館一層客房比二層客房少5間，某旅游團(tuán)48人，若全安排在第一層，每間4人，

房間不夠，每間5人，則有房間住不滿；若全安排在第二層，每3人，房間不夠，每

間住4人，則有房間住不滿，該賓館一層有客房多少間？

解：設(shè)第一層有客房工間，則第二層有(x+5)間，由題可得

4x<48<5x

13(x+5)<48<4(x+5)(

'4x<48即9]<x<12

由①得:

'48<5x

3(x+5)<48

由②得:即7Vx<11

48<4(x+5)

3

原不等式組的解集為9-<%<11

整數(shù)次的值為x=l()。

答：一層有客房10間。

16、某生產(chǎn)小組開展勞動(dòng)競(jìng)賽后，每人一天多做10個(gè)零件，這樣8個(gè)人一天做的零件超

過(guò)200個(gè)，后來(lái)改進(jìn)技術(shù)，每人一天又多做27個(gè)零件，這樣他們4個(gè)人一天所做零件就

超過(guò)勞動(dòng)競(jìng)賽中8個(gè)人做的零件，問(wèn)他們改進(jìn)技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動(dòng)競(jìng)賽前的幾倍？

解：設(shè)勞動(dòng)競(jìng)賽前每人一天做x個(gè)零件

-8(x+10)>200

由題意<

4(尤+10+27)>8(x+10)

解得15<x<17

是整數(shù)x=16

（16+37）+16弋3.3

故改進(jìn)技術(shù)后的生產(chǎn)效率是勞動(dòng)競(jìng)賽前的3.3倍。

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（5）

（方程應(yīng)用）

一、選擇題：

1、甲乙兩人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，相背而行1小時(shí)后他們分別到達(dá)各自的終點(diǎn)A與B,

若仍從原地出發(fā)，互換彼此的目的地，則甲在乙到達(dá)A之后35分鐘到達(dá)B,甲乙的

速度之比為（）

A.3：5B.4：3C.4：5D.3：4

2、某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個(gè)檔次，生產(chǎn)最低檔次產(chǎn)品，每件獲利潤(rùn)8元，每提高一個(gè)

檔次，每件產(chǎn)品利潤(rùn)增加2元，用同樣工時(shí)，最低檔次產(chǎn)品每天可生產(chǎn)60件，提高

一個(gè)檔次將減少3件，如果獲利潤(rùn)最大的產(chǎn)品是第R檔次（最低檔次為第一檔次，檔

次依次隨質(zhì)量增加），那么R等于（）

A.5B.7C.9D.10

3、某商店出售某種商品每件可獲利m元，利潤(rùn)為20%（利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）,若這種商品

進(jìn)價(jià)

的進(jìn)價(jià)提高25%,而商店將這種商品的售價(jià)提高到每件仍可獲利m元，則提價(jià)后的

利潤(rùn)率為（）

A.25%B.20%C.16%D.12.5%

4、某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)需a天完成，在甲做了c（c<a）天后，剩下工作由乙單獨(dú)完成還需

b天，若開始就由甲乙兩人共同合作，則完成任務(wù)需（）天

A.cB.abC.a+卜一cD.

a+ba4-b—c2a+b+c

5、A、B、C三個(gè)足球隊(duì)舉行循環(huán)比賽，下表給出部分比賽結(jié)果:

球隊(duì)比賽場(chǎng)次勝負(fù)平進(jìn)球數(shù)失球數(shù)

A22場(chǎng)1

B21場(chǎng)24

C237

則：A、B兩隊(duì)比賽時(shí)，A隊(duì)與B隊(duì)進(jìn)球數(shù)之比為（）

A.2：0B,3：1C.2：1D.0：2

6、甲乙兩輛汽車進(jìn)行千米比賽，當(dāng)甲車到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，乙車距終點(diǎn)還有a千米（0<aV50）

現(xiàn)將甲車起跑處從原點(diǎn)后移a千米，重新開始比賽，那么比賽的結(jié)果是（）

A.甲先到達(dá)終點(diǎn)B.乙先到達(dá)終點(diǎn)

C.甲乙同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)D.確定誰(shuí)先到與a值無(wú)關(guān)

7、一只小船順流航行在甲、乙兩個(gè)碼頭之間需a小時(shí)，逆流航行這段路程需b小時(shí)，那

么一木塊順?biāo)鬟@段路需（）小時(shí)

A.B,C,曲口.-^―

a-hb-aa-bb-a

8、A的年齡比B與C的年齡和大16,A的年齡的平方比B與C的年齡和的平方大1632,

那么A、B、C的年齡之和是（）

A.210B.201C.102D.120

二、填空題

1、甲乙兩廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，都計(jì)劃把全年的產(chǎn)品銷往濟(jì)南，這樣兩廠的產(chǎn)品就能占有

311

濟(jì)南市場(chǎng)同類產(chǎn)品的二，然而實(shí)際情況并不理想，甲廠僅有一的產(chǎn)品，乙廠僅有一的

423

產(chǎn)品銷到了濟(jì)南，兩廠的產(chǎn)品僅占了濟(jì)南市場(chǎng)同類產(chǎn)品的二，則甲廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量

與乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量的比為

2、假期學(xué)校組織360名師生外出旅游，某客車出租公司有兩種大客車可供選擇，甲種客

車每輛有40個(gè)座位，租金400元；乙種客車每輛有50個(gè)座位，租金480元，則租用

該公司客車最少需用租金______元。

3、時(shí)鐘在四點(diǎn)與五點(diǎn)之間，在______________時(shí)刻（時(shí)針與分針）在同一條直線上？

4、為民房產(chǎn)公司把一套房子以標(biāo)價(jià)的九五折出售給錢先生，錢先生在三年后再以超出房

子原來(lái)標(biāo)價(jià)60%的價(jià)格把房子轉(zhuǎn)讓給金先生，考慮到三年來(lái)物價(jià)的總漲幅為40%,則

錢先生實(shí)際上按%的利率獲得了利潤(rùn)（精確到一位小數(shù)）

5、甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員在長(zhǎng)100米的游泳池兩邊同時(shí)開始相向游泳，甲游100米要72秒,

乙游100米要60秒，略去轉(zhuǎn)身時(shí)間不計(jì)，在12分鐘內(nèi)二人相遇次。

6、已知甲、乙、丙三人的年齡都是正整數(shù)，甲的年齡是乙的兩倍，乙比丙小7歲，三人

的年齡之和是小于70的質(zhì)數(shù)，且質(zhì)數(shù)的各位數(shù)字之和為13,則甲、乙、丙三人的年

齡分別是_______________

三、解答題

2

1、某項(xiàng)工程，如果由甲乙兩隊(duì)承包，2—天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊(duì)承包，

36

3—天完成，需付150000兀；由甲、丙兩隊(duì)承包，2—天完成，需付160000兀，現(xiàn)

47

在工程由一個(gè)隊(duì)單獨(dú)承包，在保證一周完成的前提下，哪個(gè)隊(duì)承包費(fèi)用最少？

2、甲、乙兩汽車零售商（以下分別簡(jiǎn)稱甲、乙）向某品牌汽車生產(chǎn)廠訂購(gòu)一批汽車，甲

開始定購(gòu)的汽車數(shù)量是乙所訂購(gòu)數(shù)量的3倍，后來(lái)由于某種原因，甲從其所訂的汽車

中轉(zhuǎn)讓給乙6輛，在提車時(shí)，生產(chǎn)廠所提供的汽車比甲、乙所訂購(gòu)的總數(shù)少了6輛，

最后甲所購(gòu)汽車的數(shù)量是乙所購(gòu)的2倍，試問(wèn)甲、乙最后所購(gòu)得的汽車總數(shù)最多是多

少量？最少是多少輛？

3、8個(gè)人乘速度相同的兩輛小汽車同時(shí)趕往火車站，每輛車乘4人（不包括司機(jī)），其中

一輛小汽車在距離火車站15km的地方出現(xiàn)故障,此時(shí)距停止檢票的時(shí)間還有42分鐘。

這時(shí)惟一可利用的交通工具是另一輛小汽車，已知包括司機(jī)在內(nèi)這輛車限乘5人，且

這輛車的平均速度是60km/h,人步行的平均速度是5km/h。試設(shè)計(jì)兩種方案，通過(guò)計(jì)

算說(shuō)明這8個(gè)人能夠在停止檢票前趕到火車站。

4、某鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)到縣城參觀，規(guī)定汽車從縣城出發(fā)于上午7時(shí)到達(dá)學(xué)校，接參觀的師

生立即出發(fā)到縣城，由于汽車在赴校途中發(fā)生了故障，不得不停車修理，學(xué)校師生等到7

時(shí)10分仍未見汽車來(lái)接，就步行走向縣城，在行進(jìn)途中遇到了已修理好的汽車，立即上

車趕赴縣城，結(jié)果比原來(lái)到達(dá)縣城的時(shí)間晚了半小時(shí)，如果汽車的速度是步行速度的6

倍，問(wèn)汽車在途中排除故障花了多少時(shí)間？

數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（5）方程應(yīng)用參考答案

一、選擇題

kDo解：設(shè)甲的速度為匕千米/時(shí)，乙的速度為匕千米/時(shí)，根據(jù)題意知，從出發(fā)地

點(diǎn)到A的路程為匕千米，到B的路程為嶺千米，從而有方程:

七一工=生，化簡(jiǎn)得12(區(qū))2+7(±)-12=0,解得工=3('=-±不合題

V]v260v2v2u24V23

意舍去)。應(yīng)選D。

2、Co解：第k檔次產(chǎn)品比最低檔次產(chǎn)品提高了(k-1)個(gè)檔次，所以每天利潤(rùn)為

y=[60-3(A:-1)][8+2(k-1)]

=-6/—9產(chǎn)+864

所以，生產(chǎn)第9檔次產(chǎn)品獲利潤(rùn)最大，每天獲利864元。

3、Co解：若這商品原來(lái)進(jìn)價(jià)為每件a元，提價(jià)后的利潤(rùn)率為X%,

m=a-20%

貝以解這個(gè)方程組，得x=16,即提價(jià)后的利潤(rùn)率為16%。

/〃=(1+25%)。-x0/o

4、Bo解：設(shè)甲乙合作用x天完成。

i_c

由題意：(上+—區(qū))x=l,解得尤=―佇一。故選B。

aba+h-c

5、Ao解：A與B比賽時(shí)，A勝2場(chǎng)，B勝0場(chǎng)，A與B的比為2：0。就選A。

6、Ao解：設(shè)從起點(diǎn)到終點(diǎn)S千米，甲走(s+a)千米時(shí)，乙走x千米

(s-Q)(S+Q)

S：(S—Q)=(s+Q)：X/.X=----------------=s

2a2

va2>05>0>0s-----<s即鄲卷)千米小

as

2

乙走SJ幺)千米。甲先到A。故選

7、Bo解：設(shè)小船自身在靜水中的速度為v千米/時(shí)，水流速度為x千米/時(shí)，甲乙之間的

距離為S千米，于是有u+x=9,.—x=l求得x=S一幻S所以」=2曲。

ab2abxb-a

8、Co解：設(shè)A、B、C各人的年齡為A、B、C,則人=8+?+16①

A2=(B+C)2+1632②由②可得(A+B+C)(A-B—C)=1632③，由①得A

-B-C=16④，①代入③可求得A+B+C=102

二、填空題

1、2：1。解甲廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x,乙廠該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為y。

3

則：*,解得x=2y:.x-.y=2-A

-x+-y-

23-3

2、3520。解：因?yàn)?輛甲種客車可以乘坐360人，故最多需要9輛客車；又因?yàn)?輛乙

種客車只能乘坐350人，故最多需要8輛客車。

①當(dāng)用9輛客車時(shí)，顯然用9輛甲種客車需用租金最少，為400X9=3600元；

②當(dāng)用8輛客車時(shí)，因?yàn)?輛甲種客車，1輛乙種客車只能乘坐40X7+50=330人，而

6輛甲種客車，2輛乙種客車只能乘坐40X6+50X2=340人，5輛甲種客車，3輛乙

種客車只能乘坐40X5+50X3=350人，4輛甲種客車，4輛乙種客車只能乘坐40X

4+50X4=360人，所以用8輛客車時(shí)最少要用4輛乙種客車，顯然用4輛甲種客車,

4輛乙種客車時(shí)需用租金最少為400X4+480X4=3520元。

96

3、4點(diǎn)213分或4點(diǎn)542分時(shí)，兩針在同一直線上。

1111

解：設(shè)四點(diǎn)過(guò)x分后，兩針在同一直線上，

19

若兩針重合，則6x=120+-x,求得x=21—分，

211

若兩針成180度角，則6x=120+」x+180,求得》=549分。

211

96

所以在4點(diǎn)21A分或4點(diǎn)545分時(shí)，兩針在同一直線上。

4、20.3o解：錢先生購(gòu)房開支為標(biāo)價(jià)的95%,考慮到物價(jià)上漲因素，錢先生轉(zhuǎn)讓房子的

利率為""％一1=」^一1

,0.203=20.3%

95%(1+40%)0.95x1.4

5、共11次。

6、30歲、15歲、22歲。

解：設(shè)甲、乙、丙的年齡分別為九歲、y歲、z歲,則

x=2y①

<y=z-7②

尤+y+z<70且x+y+z為質(zhì)數(shù)③

顯然x+y+z是兩位數(shù)，而13=4+9=5+8=6+7

???x+y+z只能等于67④。由①@④三式構(gòu)成的方程組，得尤=30,y=15,

z=22o

三、解答題

1、設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)承包各需x、y、z天完成,

115

~n

xyx=4A

114

一+一=—解得<y=6

yz15z=10

117i

、ZX20

再設(shè)甲、乙、丙單獨(dú)工作一天，各需“、V、卬元,

y(w+v)=180000

?=45500

^(v+w)=150000,

則《解得…=29500

卬=10500

y(w+w)=160000

于是，甲隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用是45500X4=182000（元），由乙隊(duì)單獨(dú)承包費(fèi)用是29500X

6=177000（元），而丙不能在一周內(nèi)完成，所以，乙隊(duì)承包費(fèi)最少。

2、解：設(shè)甲、乙最后所購(gòu)得的汽車總數(shù)為無(wú)輛，在生產(chǎn)廠最后少供的6輛車中，甲少要

了y輛（0〈y〈6）,乙少要了（6-y）輛，則有

31

-（x+6）-6-y=2［-（x+6）+6-（6-y）］,整理后得x=18+12y。

44

當(dāng)y=6時(shí)，x最大，為90：當(dāng)y=0時(shí)，x最小為18。

所以甲、乙購(gòu)得的汽車總數(shù)至多為90輛，至少為18輛。

3、解：［方案一］:當(dāng)小汽車出現(xiàn)故障時(shí)，乘這輛車的4個(gè)人下車步行，另一輛車將車內(nèi)

的4個(gè)人送到火車站，立即返回接步行的4個(gè)人到火車站。

設(shè)乘出現(xiàn)故障汽車的4個(gè)人步行的距離為以小，根據(jù)題意，有

x_15+15-x

5-60-

解得x=吧30，因此這8個(gè)人全部到火車站所需時(shí)間為

13

-^5+（15-—）-60=—（小時(shí)）=40—（分鐘）＜42（分鐘）

131352''13

故此方案可行。

［方案二］:當(dāng)小汽車出現(xiàn)故障時(shí)，乘這輛車的4個(gè)人下車步行，另一輛車將車內(nèi)的4

個(gè)人送到某地方后，讓他們下車步行，再立即返回接出故障汽車而步行的另外4個(gè)

人，使得兩批人員最后同時(shí)到達(dá)車站。

分析此方案可知，兩批人員步行的距離相同，如圖所示，D為無(wú)故障汽車人員下車地

點(diǎn)，C為有故障汽車人員上車地點(diǎn)。因此，設(shè)AC=BD=y,有

-=15y+152.y解得。因此這8個(gè)人同時(shí)到火車站所需時(shí)間為

560

715—747

一+上一=二（小時(shí)）=37（分鐘）〈42（分鐘），故此方案可行。

56060

ACDB

故障點(diǎn)火車站

4、解：假定排除故障花時(shí)X分鐘，如圖設(shè)點(diǎn)A為縣城所在地，點(diǎn)C為學(xué)校所在地，點(diǎn)B

為師生途中與汽車相遇之處。在師生們晚到縣城的30分鐘中，有10分鐘是因晚出發(fā)

造成的，還有20分鐘是由于從C到B步行代替乘車而耽誤的，汽車所晚的30分鐘，

一方面是由于排除故障耽誤了X分鐘，但另一方面由于少跑了B到C之間的一個(gè)來(lái)回

而省下了一些時(shí)間，已知汽車速度是步行速度的6倍，而步行比汽車從C到B這段距

20

離要多花20分鐘，由此汽車由C到B應(yīng)花——=4（分鐘），一個(gè)來(lái)回省下8分鐘，

6-1

所以有X-8=30x=38即汽車在途中排除故障花了38分鐘。

ABC

初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（7）

（邏輯推理）

一、選擇題：

1、世界杯足球賽小組賽，每個(gè)小組4個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，每場(chǎng)比賽勝隊(duì)得3分，敗隊(duì)

得0分，平局時(shí)兩隊(duì)各得1分，小組賽完以后，總積分最高的兩個(gè)隊(duì)出線進(jìn)入下輪比

賽，如果總積分相同，還要按凈勝球排序，一個(gè)隊(duì)要保證出線，這個(gè)隊(duì)至少要積

（）

A.6分B.7分C.8分D.9分

2、甲、乙、丙三人比賽象棋，每局比賽后，若是和棋，則這兩個(gè)人繼續(xù)比賽，直到分出

勝負(fù)，負(fù)者退下，由另一個(gè)與勝者比賽，比賽若干局后，甲勝4局，負(fù)2局；乙勝3

局，負(fù)3局，如果丙負(fù)3局，那么丙勝（）

A.0局B.1局C.2局D.3局

3、已知四邊形ABCD從下列條件中①AB〃CD②BC〃AD③AB=CD?BC=AD

⑤NA=/C⑥/B=ND,任取其中兩個(gè)，可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”

這一結(jié)論的情況有（）

A.4種B.9種C.13種D.15種

4、某校初三兩個(gè)畢業(yè)班的學(xué)生和教師共100人，一起在臺(tái)階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要

將其排列成前多后少的梯形陣（排數(shù)23）,且要求各行的人數(shù)必須是連續(xù)的自然數(shù)，

這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空檔處，那么滿足上述要求的排法的方

案有（）

A.1種B.2種C.4種D.0種

5、正整數(shù)n小于100,并且滿足等式其中卜］表示不超過(guò)x的最

236

大整數(shù)，這樣的正整數(shù)n有（）個(gè)

A.2B.3C.12D.16

6、周末晚會(huì)上，師生共有20人參加跳舞，其中方老師和7個(gè)學(xué)生跳舞，張老師和8個(gè)

學(xué)生跳舞……依次下去，一直到何老師，他和參加跳舞的所有學(xué)生跳過(guò)舞，這個(gè)晚會(huì)

上參加跳舞的學(xué)生人數(shù)是（）

A.15B.14C.13D.12

7、如圖某三角形展覽館由25個(gè)正三角形展室組成，每?jī)蓚€(gè)相鄰展室（指盒

有公共邊的小三角形）都有門相通，若某參觀者不愿返回已參觀過(guò)的

展室（通過(guò)每個(gè)房間至少一次），那么他至多能參觀（）個(gè)展室。

A.23B.22C.21D.20OkSjkA

8、一副撲克牌有4種花色，每種花色有13張，從中任意抽牌，最小要抽（）張才

能保證有4張牌是同一花色的。

A.12B.13C.14D.15

二、填空題：

1、觀察下列圖形:

④

根據(jù)①②③的規(guī)律，圖④中三角形個(gè)數(shù)

2、有兩副撲克牌，每副牌的排列順序是：第一張是大王，第二張是小王，然后是黑桃、

紅桃、方塊、梅花四種花色排列，每種花花色的牌又按A,1,2,3,……J,Q,K

的順序排列，某人把按上述排列的兩副撲克牌上下疊放在一起，然后從上到下把第一

張丟掉，把第二張放在最底層，再把第三張丟掉，把第四張放在最底層，……如此下

去，直到最后只剩下一張牌，則所剩的這張牌是

3、用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個(gè)數(shù)字一共可組成個(gè)能被5整除的

三位數(shù)

4、將7個(gè)小球分別放入3個(gè)盒子里，允許有的盒子空著不放，試問(wèn)有種不同放

法。

5、有1997個(gè)負(fù)號(hào)“一”排成一行，甲乙輪流改“一”為正號(hào)“+”，每次只準(zhǔn)畫一個(gè)或

相鄰的兩個(gè)“一”為“+”，先畫完“一”使對(duì)方無(wú)法再畫為勝，現(xiàn)規(guī)定甲先畫，則

其必勝的策略是__________________________________

6、有100個(gè)人，其中至少有1人說(shuō)假話，又知這100人里任意2人總有個(gè)說(shuō)真話，則說(shuō)

真話的有人。

三、解答題

1、今有長(zhǎng)度分別為1、2、3、……、9的線段各一條，可用多少種不同的方法從中選用

若干條組成正方形？

2,某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株，其中最少一人植樹50株，最多一人植樹100

株，證明至少有5人植樹的株數(shù)相同。

3、袋中裝有2002個(gè)彈子，張偉和王華輪流每次可取1,2或3個(gè)，規(guī)定誰(shuí)能最后取完彈

子誰(shuí)就獲勝，現(xiàn)由王華先取，問(wèn)哪個(gè)獲勝？他該怎樣玩這場(chǎng)游戲？

4、有17個(gè)科學(xué)家，他們中的每一個(gè)都和其他的科學(xué)家通信，在他們的通信中僅僅討論

三個(gè)問(wèn)題，每一對(duì)科學(xué)家互相通信時(shí)，僅僅討論同一個(gè)問(wèn)題。證明至少有三個(gè)科學(xué)家

關(guān)于同一個(gè)題目互相通信

數(shù)學(xué)競(jìng)賽專項(xiàng)訓(xùn)練（7）邏輯推理參考答案

一、選擇題

1、答B(yǎng)。解：4個(gè)隊(duì)單循環(huán)比賽共比賽6場(chǎng)，每場(chǎng)比賽后兩隊(duì)得分之和或?yàn)?分（即打

平），或?yàn)?分（有勝負(fù)），所以6場(chǎng)后各隊(duì)的得分之和不超過(guò)18分，若一個(gè)隊(duì)得7

分，剩下的3個(gè)隊(duì)得分之和不超過(guò)11分，不可能有兩個(gè)隊(duì)得分之和大于或等于7分，

所以這個(gè)隊(duì)必定出線，如果一個(gè)隊(duì)得6分，則有可能還有兩個(gè)隊(duì)均得6分，而凈勝球

比該隊(duì)多，該隊(duì)仍不能出線。應(yīng)選B。

2、答B(yǎng)。解有人勝一局，便有人負(fù)一局，已知總負(fù)局?jǐn)?shù)為2+3+3=8,而甲、乙勝局?jǐn)?shù)為

4+3=7,故丙勝局?jǐn)?shù)為8-7=1,應(yīng)選B。

3、答B(yǎng)。解：共有15種搭配。①和②③和④⑤和⑥①和③②和④①和⑤

①和⑥②和⑤②和⑥能得出四邊形ABCD是平行四邊形。

①和④②和③③和⑤③和⑥④和⑤④和⑥不能得出四邊形ABCD是平行

四邊形。應(yīng)選B。

4、答B(yǎng)。解：設(shè)最后一排k個(gè)人，共n排，各排人數(shù)為k,k+1,k+2.......k+（n—1）?

由題意成+"（〃jD=100,即疥24+（n-1）］=200,因k、n都是正整數(shù)，且n23,

所以〃<2左+（“一1）,且n與2k+（〃-1）的奇偶性相同，將200分解質(zhì)因數(shù)可知n

=5或n=8,當(dāng)n=5時(shí)，k=18,當(dāng)n=8時(shí)，k=9,共有兩種方案。應(yīng)選B。

nnn

5、答D。解：由一H---\--=n,以及若x不是整數(shù)，則Lx]Vx知，2|n,3|n,6|n,

236

即n是6的倍數(shù)，因此小于100的這樣的正整數(shù)有—=16個(gè)。應(yīng)選D。

6

6、答C。解設(shè)參加跳舞的老師有x人，則第一個(gè)是方老師和（6+1）個(gè)學(xué)生跳過(guò)舞；第

二是張老師和（6+2）個(gè)學(xué)生跳過(guò)舞；第三個(gè)是王老師和（6+3）個(gè)學(xué)生跳過(guò)舞……第

x個(gè)是何老師和（6+x）個(gè)學(xué)生跳過(guò)舞，所以有x+（6+x）=20,，x=7,20-7=13?

故選C。

7、答C。解：如圖對(duì)展室作黑白相間染色，得10個(gè)白室，15個(gè)黑室，按要求不返回參

觀過(guò)的展室，因此，參觀時(shí)必定是從黑室到白室或從白室到黑室（不會(huì)出現(xiàn)從黑到黑，

或從白到白），由于白室只有10個(gè)，為使參觀的展室最多，只能從黑室開始，順次經(jīng)

過(guò)所有的白室，最終到達(dá)黑室，所以，至多能參觀到21個(gè)展室。選C。

8、選B。解：4種花色相當(dāng)于4個(gè)抽屜，設(shè)最少要抽x張撲克，問(wèn)題相當(dāng)于把x張撲克

放進(jìn)4個(gè)抽屜，至少有4張牌在同一個(gè)抽屜，有x=3X4+l=13。故選B。

二、填空題

1、解：根據(jù)圖中①、②、③的規(guī)律，可知圖④中的三角形的個(gè)數(shù)為1+4+3X4+32x4+33

X4=1+4+12+36+108=161（個(gè)）

2、解：根據(jù)題意，如果撲克牌的張數(shù)為2、2\2\……2%那么依照上述操作方法，剩

下的一張牌就是這些牌的最后一張，例如：手中只有64張牌，依照上述操作方法，最

后只剩下第64張牌，現(xiàn)在手中有108張牌，多出108-64=44（張），如果依照上述操

作方法，先丟掉44張牌，那么此時(shí)手中恰有64張牌，而原來(lái)順序的第88張牌恰好放

在手中牌的最底層，這樣，再繼續(xù)進(jìn)行丟、留的操作，最后剩下的就是原順序的第88

張牌，按照兩副撲克牌的花色排列順序88-54226=6,所剩的最后一張牌是第二副牌

中的方塊6。

3、解：百位上的數(shù)共有9個(gè)，十位上的數(shù)共有10個(gè)，個(gè)位上的數(shù)共有2個(gè)，因此所有

的三位數(shù)共9X10X2=180。

4、解：設(shè)放在三個(gè)盒子里的球數(shù)分別為X、），、Z,球無(wú)區(qū)別，盒子無(wú)區(qū)別，故可令

―fx+y+z=71

x>y>0f依題意有4，于是3x27,x>2-,故x只有取3、4、5、

x>y>z>03

6、7共五個(gè)值。

①x=3時(shí)，y+z=4,則y只取3、2,相應(yīng)z取1、2,故有2種放法;

②x=4時(shí)，y+z=3,則y只取3、2,相應(yīng)z取0、1,故有2種放法；

③x=5時(shí)，y+z=2,則y只取2、1,相應(yīng)z取1、0,故有2種放法；

④x=6時(shí)，y+z=1,則y只取1,相應(yīng)z取0,故有1種放法；

⑤x=7時(shí)，y+z=0,則y只取0,相應(yīng)z取0,故有1種放法；

綜上所求，故有8種不同放法。

5、解：先把第999個(gè)（中間）“一”改為“十”，然后，對(duì)乙的每次改動(dòng)，甲做與之中心

對(duì)稱的改動(dòng)，視數(shù)字為點(diǎn)，對(duì)應(yīng)在數(shù)軸上，這1997個(gè)點(diǎn)正好關(guān)于點(diǎn)（999）對(duì)稱。

6、解：由題意說(shuō)假話的至少有1人，但不多于I人，所以說(shuō)假話的1人，說(shuō)真話的99

人。

三、1、解：1+2+3+……9=45,故正方形的邊長(zhǎng)最多為11,而組成的正方形的邊長(zhǎng)至少

有兩條線段的和，故邊長(zhǎng)最小為7。

7=1+6=2+5=3+4

8=1+7=2+6=3+5

9+1=8+2=7+3=6+4

9+2=8+3=74-4=6+5

9=1+8=2+7=3+6=4+5

故邊長(zhǎng)為7、8、10、11的正方形各一個(gè)，共4個(gè)。而邊長(zhǎng)為9的邊可有5種可能能組

成5種不同的正方形。所以有9種不同的方法組成正方形。

2、證明：利用抽屜原理，按植樹的多少，從50至100株可以構(gòu)造51年抽屜，則問(wèn)題轉(zhuǎn)

化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里。（用反證法）假設(shè)無(wú)5人或5人以上植樹

的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，那只有4人以下植樹的株數(shù)在同一個(gè)抽屜里，而參加植樹的

人數(shù)為204人，每個(gè)抽屜最多有4人，故植樹的總株數(shù)最多有：

50+10x51

4（50+51+52+...+100）-4X^°）=15300<15301,得出矛盾。因止匕，

2

至少有5人植樹的株數(shù)相同。

3、解：王華獲勝。

王華先取2個(gè)彈子，將2000（是4的倍數(shù)）個(gè)彈子留給張偉取，不記張偉取多少個(gè)

彈子，設(shè)為x個(gè)，王華總跟著取（4-x）個(gè)，這樣總保證將4的倍數(shù)個(gè)彈子留給張偉

取，如此下去，最后一次是將4個(gè)彈子留給張偉取，張偉取后，王華一次取完余下的

彈子。

4、解析在研究與某些元素間關(guān)系相關(guān)的存在問(wèn)題時(shí)，常常利用染色造抽屜解題。17位科

學(xué)家看作17個(gè)點(diǎn)，每?jī)晌豢茖W(xué)家互相通信看作是兩點(diǎn)的連線段，關(guān)于三個(gè)問(wèn)題通信可

看作是用三種顏色染成的線段，如用紅色表示關(guān)于問(wèn)題甲的通信，藍(lán)色表示問(wèn)題乙通

信，黃色表示問(wèn)題丙通信。這樣等價(jià)于：有17個(gè)點(diǎn)，任三點(diǎn)不共線，每?jī)牲c(diǎn)連成一條

線段，把每條線段染成紅色、藍(lán)色和黃色，且每條線段只染一種顏色，證明一定存在

一個(gè)三角形三邊同色的三角形。

證明：從17個(gè)點(diǎn)中的一點(diǎn)，比如點(diǎn)A處作引16條線段，共三種顏色，由抽屜原理至

少有6條線段同色，設(shè)為AB、AC、AD、AE、AF、AG