01-數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想-七大類型

數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想-七大類型【類型一：利用數(shù)軸比大小】有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來.在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大.正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù).注意：數(shù)軸上的點不都代表有理數(shù)，如.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。簲?shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù).因此，正數(shù)總大于零，負數(shù)總小于零，正數(shù)大于負數(shù).兩個負有理數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.【例1】有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則，，1的大小關(guān)系正確的是A． B． C． D．【例2】如圖，數(shù)軸上點，，對應(yīng)的有理數(shù)分別為，，．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是A．①②③ B．②③ C．①④ D．②③④【例3】已知、為有理數(shù)，且，，，那么，，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【類型二：距離問題】移動問題：往左移動減，往右移動加；距離問題：若A點的坐標為a,B點的坐標為b,則AB之間的距離為.【例4】在數(shù)軸上與表示數(shù)4的點距離2個單位長度的點表示的數(shù)是A． B．2 C．6 D．2或6【例5】如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點與數(shù)軸上表示1的點重合，將該圓沿數(shù)軸向左滾動1周，點到達的位置，則點表示的數(shù)是A． B． C． D．或【例6】在以為原點的數(shù)軸上，存在點，，滿足，若點表示的數(shù)為8，則點表示的數(shù)為A．4 B．12 C．4或12 D．或【例7】如圖所示，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向右移動3單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看到終點表示的數(shù)是，已知點，是數(shù)軸上的點，請參照下圖并思考，完成下列各題．（1）如果點表示數(shù)3，將點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數(shù)是，，兩點間的距離為（2）如果點表示數(shù)，將點向右移動68個單位長度，再向左移動156個單位長度，那么終點表示的數(shù)是，，兩點間的距離是．（3）一般地，如果點表示數(shù)為，將點向右移動個單位長度，再向左移動個單位長度，那么，請你猜想終點表示什么數(shù)？，兩點間的距離為多少？【類型三：覆蓋問題】一條n個單位長度的線段。能蓋住的整點最多有n+1個，最少有n個.【例8】如圖，小芳在寫作業(yè)時，不慎將墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中的數(shù)值，判斷墨水蓋住部分的整數(shù)個數(shù)有個．【例9】數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為2020厘米的線段，則線段蓋住的整點個數(shù)是A．2018或2019 B．2019或2020 C．2020或2021 D．2021或2022【類型四：確定點的位置】通常設(shè)最左邊的數(shù)為x，用含x的式子依次表示其他數(shù)，列方程求解x.【例10】如圖所示，數(shù)軸上標出四個點，且有一點是原點，已知每相鄰的兩點相距一個單位，點、、、對應(yīng)的數(shù)為，，，，且，則數(shù)軸的原點應(yīng)是A．點 B．點 C．點 D．點【例11】如圖，數(shù)軸上、、、四點對應(yīng)的整數(shù)分別是、、、，且有，那么，原點應(yīng)是點A． B． C． D．【例12】點，，和原點在數(shù)軸上的位置如圖所示，點，，對應(yīng)的有理數(shù)為，，（對應(yīng)順序暫不確定）．如果，，，那么表示數(shù)的點為A．點 B．點 C．點 D．點【例13】在數(shù)軸上，點向右移動1個單位得到點，點向右移動2個單位得到點，點、、分別表示有理數(shù)、、．、、三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，、、三個數(shù)的乘積為負數(shù)．若這三個數(shù)的和與其中的一個數(shù)相等，則的值為A． B． C．或 D．或【例14】如圖，在數(shù)軸上有、、、四個點，分別表示不同的四個數(shù)，若從這四點中選一點做原點，使得其余三點表示的數(shù)中有兩個負數(shù)和一個正數(shù)，則這個點是A．點 B．點 C．點 D．點【例15】如圖，，，，分別是數(shù)軸上四個整數(shù)所對應(yīng)的點，其中有一點是原點，并且．數(shù)對應(yīng)的點在與之間，數(shù)對應(yīng)的點在與之間，，則原點是A．或 B．或 C．或 D．或【類型五：周期問題】周期是幾就除以幾，然后用余數(shù)比對，得到最終答案.【例16】正六邊形在數(shù)軸上的位置如圖，點、對應(yīng)的數(shù)分別為0和1，若正六邊形繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點所對應(yīng)的數(shù)為2，則連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次后，數(shù)軸上2021這個數(shù)所對應(yīng)的點是A．點 B．點 C．點 D．點【例17】如圖所示，將圓的周長分為4個單位長度，在圓的4等分點處標上數(shù)字0，1，2，3，先讓圓周上數(shù)字0所對應(yīng)的點與數(shù)軸上的數(shù)1所對應(yīng)的點重合，再讓圓沿著數(shù)軸按逆時針方向滾動，那么數(shù)軸上的數(shù)將與圓周上的數(shù)字重合．A．0 B．1 C．2 D．3【類型六：數(shù)軸折疊】中點坐標公式：若a與c關(guān)于b對稱，則.【例18】探究題：（1）若數(shù)軸上點與對應(yīng)的數(shù)分別是1和5，則線段的中點對應(yīng)的數(shù)是．（2）若數(shù)軸上點與對應(yīng)的數(shù)分別是和5，則線段的中點對應(yīng)的數(shù)是．（3）若數(shù)軸上點與對應(yīng)的數(shù)分別是和，則線段的中點對應(yīng)的數(shù)是．（4）若數(shù)軸上點與對應(yīng)的數(shù)分別是和，則線段的中點對應(yīng)的數(shù)是．【例19】在數(shù)軸上，已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．（1）若1表示的點與表示的點重合，則表示的點與數(shù)表示的點重合；（2）若表示的點與3表示的點重合，5表示的點與數(shù)表示的點重合；（3）若數(shù)軸上、兩點之間的距離為個單位長度，點表示的有理數(shù)是，并且、兩點經(jīng)折疊后重合，請寫出此時折線與數(shù)軸的交點表示的有理數(shù)是多少？【類型七：動點問題】移動問題：往左移動減，往右移動加；距離問題：若A點的坐標為a,B點的坐標為b,則AB之間的距離為.【解題步驟】確定動點坐標：用含有t的式子表示；涉及到距離問題：用絕對值表示距離，然后進行分類討論；根據(jù)題目條件，建立方程：解含有t的一元一次方程，得到最終答案.【例20】如圖，已知，兩點在數(shù)軸上，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為15，點以每秒3個單位長度的速度從點向左運動，點以每秒2個單位長度的速度從原點向左運動，其中點和點同時出發(fā)，經(jīng)過秒，點、點到原點的距離相等．【例21】已知：是最大的負整數(shù)，是最小的正整數(shù)，且，請回答下列問題：（1）請直接寫出，，的值：；；；（2），，在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為，，，請在如圖的數(shù)軸上表示出，，三點；（3）在（2）的情況下．點，，開始在數(shù)軸上運動，若點，點以每秒1個單位的速度向左運動，同時，點以每秒5個單位長度的速度向右運動，假設(shè)秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出的值．【例22】如圖，在數(shù)軸上，點表示，點表示11，點表示18．動點從點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向以每秒2個單位的速度勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，沿數(shù)軸負方向以每秒1個單位的速度勻速運動．設(shè)運動時間為秒．（1）當為何值時，、兩點相遇？相遇點所對應(yīng)的數(shù)是多少？（2）在點出發(fā)后到達點之前，求為何值時，點到點的距離與點到點的距離相等；（3）在點向右運動的過程中，是的中點，在點到達點之前，求的值．【例23】如圖，在數(shù)軸上，點表示的數(shù)是1，現(xiàn)將點沿數(shù)軸做如下移動，第一次點向左移動3個單位長度到達點，點表示的數(shù)是；第二次將點向右移動6個單位長度到達點，點表示的數(shù)是；第三次將點向左移動9個單位長度到達點，點表示的數(shù)是；（1）數(shù)軸上分別用點把、、表示出來（2）按照這種移動規(guī)律移動下去，第次移動到點，如果點與原點的距離不小于20，那么的最小值是．【例24】對于數(shù)軸上的，，三點，給出如下定義：若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足3倍的數(shù)量關(guān)系，則稱該點是其它兩個點的“倍分點”．例如數(shù)軸上點，，表示的數(shù)分別是1，4，5，此時點是點，的“倍分點”．（1）當點表示數(shù)，點表示數(shù)2時，下列各數(shù)，0，1，4是點、的“倍分點”的是；（2）當點表示數(shù)，點表示數(shù)30時，為數(shù)軸上一個動點，①若點是點，的“倍分點”，求此時點表示的數(shù)；②若點，，中，有一個點恰好是其它兩個點的“倍分點”，直接寫出此時點表示的數(shù)．

數(shù)軸中的數(shù)形結(jié)合思想-七大類型（解析版）【類型一：利用數(shù)軸比大小】有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系：一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來.在數(shù)軸上，右邊的點所對應(yīng)的數(shù)總比左邊的點所對應(yīng)的數(shù)大.正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù).注意：數(shù)軸上的點不都代表有理數(shù)，如.利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。簲?shù)軸上右邊的數(shù)總大于左邊的數(shù).因此，正數(shù)總大于零，負數(shù)總小于零，正數(shù)大于負數(shù).兩個負有理數(shù)比較大小，絕對值大的反而小.【例1】有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則，，1的大小關(guān)系正確的是A． B． C． D．【解答】解：由數(shù)軸，得，，，故選：．【例2】如圖，數(shù)軸上點，，對應(yīng)的有理數(shù)分別為，，．下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是A．①②③ B．②③ C．①④ D．②③④【解答】解：由數(shù)軸可得：，，故①錯誤；，，中兩負一正，，故②正確；，，，，故③正確；，，故④正確．綜上，可知，正確的有3個．故選：．【例3】已知、為有理數(shù)，且，，，那么，，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【解答】解：、為有理數(shù)，且，，，，，，的大小關(guān)系是，故選：．【類型二：距離問題】移動問題：往左移動減，往右移動加；距離問題：若A點的坐標為a,B點的坐標為b,則AB之間的距離為.【例4】在數(shù)軸上與表示數(shù)4的點距離2個單位長度的點表示的數(shù)是A． B．2 C．6 D．2或6【解答】解：當點在表示4的點的左邊時，此時數(shù)為：，當點在表示4的點的右邊時，此時數(shù)為：，故選：．【例5】如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點與數(shù)軸上表示1的點重合，將該圓沿數(shù)軸向左滾動1周，點到達的位置，則點表示的數(shù)是A． B． C． D．或【解答】解：圓的直徑為1個單位長度，此圓的周長，當圓向左滾動時點表示的數(shù)是；故選：．【例6】在以為原點的數(shù)軸上，存在點，，滿足，若點表示的數(shù)為8，則點表示的數(shù)為A．4 B．12 C．4或12 D．或【解答】解：點表示的數(shù)是0，點表示的數(shù)是8，，又，，①點在的右邊，其坐標應(yīng)為；②點在的左邊，其坐標應(yīng)為．故選：．【例7】如圖所示，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向右移動3單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看到終點表示的數(shù)是，已知點，是數(shù)軸上的點，請參照下圖并思考，完成下列各題．（1）如果點表示數(shù)3，將點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數(shù)是，，兩點間的距離為（2）如果點表示數(shù)，將點向右移動68個單位長度，再向左移動156個單位長度，那么終點表示的數(shù)是，，兩點間的距離是．（3）一般地，如果點表示數(shù)為，將點向右移動個單位長度，再向左移動個單位長度，那么，請你猜想終點表示什么數(shù)？，兩點間的距離為多少？【解答】解：（1）點表示數(shù)3，將點向左移動7個單位長度，再向右移動5個單位長度，那么終點表示的數(shù)是，，兩點間的距離為；故答案為：1，2；（2）點表示數(shù)，將點向右移動68個單位長度，再向左移動156個單位長度，那么終點表示的數(shù)是，、兩點間的距離是；故答案為：，88；（3）點表示的數(shù)為，將點向右移動個單位長度，再向左移動個單位長度，那么點表示的數(shù)為，，兩點間的距離為．【類型三：覆蓋問題】一條n個單位長度的線段。能蓋住的整點最多有n+1個，最少有n個.【例8】如圖，小芳在寫作業(yè)時，不慎將墨水滴在數(shù)軸上，根據(jù)圖中的數(shù)值，判斷墨水蓋住部分的整數(shù)個數(shù)有個．【解答】解：原點左邊蓋住的整數(shù)有，，，，原點右邊蓋住的數(shù)有2，3，4，5，因此共有8個；故答案為：8．【例9】數(shù)軸上表示整數(shù)的點稱為整點，某數(shù)軸的單位長度是1厘米，若在這個數(shù)軸上隨意畫出一條長為2020厘米的線段，則線段蓋住的整點個數(shù)是A．2018或2019 B．2019或2020 C．2020或2021 D．2021或2022【解答】解：若線段的端點恰好與整點重合，則1厘米長的線段蓋住2個整點，若線段的端點不與整點重合，則1厘米長的線段蓋住1個整點．，厘米的線段蓋住2020或2021個整點．故選：．【類型四：確定點的位置】通常設(shè)最左邊的數(shù)為x，用含x的式子依次表示其他數(shù)，列方程求解x.【例10】如圖所示，數(shù)軸上標出四個點，且有一點是原點，已知每相鄰的兩點相距一個單位，點、、、對應(yīng)的數(shù)為，，，，且，則數(shù)軸的原點應(yīng)是A．點 B．點 C．點 D．點【解答】解：若原點是，則，，此時，和已知不符，排除；若原點是點，則，，此時，和已知相符，正確；若原點是，則，，此時，和已知不符，排除；若原點是，則，，此時，和已知不符，排除；故數(shù)軸的原點應(yīng)是點．故選：．【例11】如圖，數(shù)軸上、、、四點對應(yīng)的整數(shù)分別是、、、，且有，那么，原點應(yīng)是點A． B． C． D．【解答】解：由數(shù)軸可得，若原點在點，則，若原點在點，則，若原點在點，則，若原點在點，則，數(shù)軸上、、、四點對應(yīng)的整數(shù)分別是、、、，且有，原點應(yīng)是點，故選：．【例12】點，，和原點在數(shù)軸上的位置如圖所示，點，，對應(yīng)的有理數(shù)為，，（對應(yīng)順序暫不確定）．如果，，，那么表示數(shù)的點為A．點 B．點 C．點 D．點【解答】解：，，數(shù)表示點，數(shù)表示點或數(shù)表示點，數(shù)表示點，則數(shù)表示點，由數(shù)軸可得，，又，，數(shù)表示點，數(shù)表示點，即表示數(shù)的點為．故選：．【例13】在數(shù)軸上，點向右移動1個單位得到點，點向右移動2個單位得到點，點、、分別表示有理數(shù)、、．、、三點在數(shù)軸上的位置如圖所示，、、三個數(shù)的乘積為負數(shù)．若這三個數(shù)的和與其中的一個數(shù)相等，則的值為A． B． C．或 D．或【解答】解：設(shè)的值為，則的值為，的值為，當時，，，，，，不合題意；當時，，，，，，不合題意；當時，，，，，，符合題意，故選：．【例14】如圖，在數(shù)軸上有、、、四個點，分別表示不同的四個數(shù)，若從這四點中選一點做原點，使得其余三點表示的數(shù)中有兩個負數(shù)和一個正數(shù)，則這個點是A．點 B．點 C．點 D．點【解答】解：．當為原點，則剩余三個點表示的數(shù)均是正數(shù)，故不合題意．．當為原點，則表示負數(shù)，與表示正數(shù)，故不符合題意．．當為原點，則與表示負數(shù)，表示正數(shù)，故符合題意．．當為原點，、與表示負數(shù)，故不符合題意．故選：．【例15】如圖，，，，分別是數(shù)軸上四個整數(shù)所對應(yīng)的點，其中有一點是原點，并且．數(shù)對應(yīng)的點在與之間，數(shù)對應(yīng)的點在與之間，，則原點是A．或 B．或 C．或 D．或【解答】解：，、兩個數(shù)之間的距離小于3，，原點不在、兩個數(shù)之間，即原點不在或，原點是或．故選：．【類型五：周期問題】周期是幾就除以幾，然后用余數(shù)比對，得到最終答案.【例16】正六邊形在數(shù)軸上的位置如圖，點、對應(yīng)的數(shù)分別為0和1，若正六邊形繞著頂點順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點所對應(yīng)的數(shù)為2，則連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次后，數(shù)軸上2021這個數(shù)所對應(yīng)的點是A．點 B．點 C．點 D．點【解答】解：當正六邊形在轉(zhuǎn)動第一周的過程中，、、、、、分別對應(yīng)的點為0、1、2、3、4、5，次一循環(huán)，，數(shù)軸上2021這個數(shù)所對應(yīng)的點是點．故選：．【例17】如圖所示，將圓的周長分為4個單位長度，在圓的4等分點處標上數(shù)字0，1，2，3，先讓圓周上數(shù)字0所對應(yīng)的點與數(shù)軸上的數(shù)1所對應(yīng)的點重合，再讓圓沿著數(shù)軸按逆時針方向滾動，那么數(shù)軸上的數(shù)將與圓周上的數(shù)字重合．A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由題意知：圓的周長為4個單位長度．到共有2022個單位長度，當，則數(shù)軸上的數(shù)將與圓周上的數(shù)字2重合．故選：．【類型六：數(shù)軸折疊】中點坐標公式：若a與c關(guān)于b對稱，則.【例18】探究題：（1）若數(shù)軸上點與對應(yīng)的數(shù)分別是1和5，則線段的中點對應(yīng)的數(shù)是．（2）若數(shù)軸上點與對應(yīng)的數(shù)分別是和5，則線段的中點對應(yīng)的數(shù)是．（3）若數(shù)軸上點與對應(yīng)的數(shù)分別是和，則線段的中點對應(yīng)的數(shù)是．（4）若數(shù)軸上點與對應(yīng)的數(shù)分別是和，則線段的中點對應(yīng)的數(shù)是．【解答】解：（1）如圖1．點與對應(yīng)的數(shù)分別是1和5，．為線段的中點，．對應(yīng)的數(shù)為．故答案為：3．（2）如圖2．點與對應(yīng)的數(shù)分別是和5，．為線段的中點，對應(yīng)的數(shù)為．故答案為：2．（3）如圖3．點與對應(yīng)的數(shù)分別是和，．為線段的中點，．對應(yīng)的數(shù)為．故答案為：．（4）與（1）（2）（3）同理：當，對應(yīng)的數(shù)為；當，對應(yīng)的數(shù)為．綜上：對應(yīng)的數(shù)為．故答案為：．【例19】在數(shù)軸上，已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖），折疊紙面．（1）若1表示的點與表示的點重合，則表示的點與數(shù)表示的點重合；（2）若表示的點與3表示的點重合，5表示的點與數(shù)表示的點重合；（3）若數(shù)軸上、兩點之間的距離為個單位長度，點表示的有理數(shù)是，并且、兩點經(jīng)折疊后重合，請寫出此時折線與數(shù)軸的交點表示的有理數(shù)是多少？【解答】解：（1）若1表示的點與表示的點重合，則表示的點與2表示的點重合；（2）若表示的點與3表示的點重合，5表示的點與表示的點重合；（3）若數(shù)軸上、兩點之間的距離為個單位長度，點表示的有理數(shù)是，并且、兩點經(jīng)折疊后重合，此時折線與數(shù)軸的交點表示的有理數(shù)是或．【類型七：動點問題】移動問題：往左移動減，往右移動加；距離問題：若A點的坐標為a,B點的坐標為b,則AB之間的距離為.【解題步驟】確定動點坐標：用含有t的式子表示；涉及到距離問題：用絕對值表示距離，然后進行分類討論；根據(jù)題目條件，建立方程：解含有t的一元一次方程，得到最終答案.【例20】如圖，已知，兩點在數(shù)軸上，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為15，點以每秒3個單位長度的速度從點向左運動，點以每秒2個單位長度的速度從原點向左運動，其中點和點同時出發(fā)，經(jīng)過秒，點、點到原點的距離相等．【解答】解：設(shè)經(jīng)過秒，點、點分別到原點的距離相等，則點所表示的數(shù)為，點所表示的數(shù)為，①當點是的中點時，有，解得；②當點、點重合時，有，解得．故經(jīng)過3或15秒，點、點到原點的距離相等．故答案為：3或15．【例21】已知：是最大的負整數(shù)，是最小的正整數(shù)，且，請回答下列問題：（1）請直接寫出，，的值：；；；（2），，在數(shù)軸上所對應(yīng)的點分別為，，，請在如圖的數(shù)軸上表示出，，三點；（3）在（2）的情況下．點，，開始在數(shù)軸上運動，若點，點以每秒1個單位的速度向左運動，同時，點以每秒5個單位長度的速度向右運動，假設(shè)秒鐘過后，若點與點之間的距離表示為，點與點之間的距離表示為，請問：的值是否隨著時間的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求出的值．【解答】解：（1）由題意可得，，（2）（3）的值不會隨著時間的變化而改變，的值為1．【例22】如圖，在數(shù)軸上，點表示，點表示11，點表示18．動點從點出發(fā)，沿數(shù)軸正方向以每秒2個單位的速度勻速運動；同時，動點從點出發(fā)，沿數(shù)軸負方向以每秒1個單位的速度勻速運動．設(shè)運動時間為秒．（1）當為何值時，、兩點相遇？相遇點所對應(yīng)的數(shù)是多少？（2）在點出發(fā)后到達點之前，求為何值時，點到點的距離與點到點的距離相等；（3）在點向右運動的過程中，是的中點，在點到達點之前，求的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得，解得，，在的右側(cè)，且，當時，、兩點相遇，相遇點所對應(yīng)的數(shù)是；（2）由題意得，的值大于0且小于7．若點在點的左邊，則，解得．若點在點的右邊，則，解得．綜上所述