2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章復(fù)數(shù)同步練習(xí)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE單元素養(yǎng)評(píng)價(jià)(二)(第七章)(120分鐘150分)一、單選題(每小題5分,共40分)1.設(shè)a,b∈R,i是虛數(shù)單位,則“ab=0”是“復(fù)數(shù)a+QUOTE為純虛數(shù)”的 ()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選B.由ab=0,得a=0,b≠0或a≠0,b=0或a=0,b=0,則a+QUOTE=a-bi不肯定為純虛數(shù);若a+QUOTE=a-bi為純虛數(shù),則有a=0且b≠0,這時(shí)有ab=0,故選B.2.若(x-i)i=y+2i,x,y∈R,則復(fù)數(shù)x+yi= ()A.-2+i B.1-2iC.2+i D.1+2i【解析】選C.(x-i)i=y+2i,即xi+1=y+2i,故y=1,x=2,所以復(fù)數(shù)x+yi=2+i.3.復(fù)數(shù)z=i(i+1)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.z=-1+i,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(-1,1),在其次象限.4.(2024·全國(guó)Ⅰ卷)若z=1+2i+i3,則|z|= ()A.0 B.1 C.QUOTE D.2【解題指南】先依據(jù)i2=-1將z化簡(jiǎn),再依據(jù)向量的模的計(jì)算公式即可求出.【解析】選C.因?yàn)閦=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=QUOTE=QUOTE.5.如圖,在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是 ()A.A B.B C.C D.D【解析】選B.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),且a<0,b>0,則z的共軛復(fù)數(shù)為a-bi,其中a<0,-b<0,故應(yīng)為B點(diǎn).6.復(fù)平面上三點(diǎn)A,B,C分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)1,2i,5+2i,則由A,B,C所構(gòu)成的三角形是 ()A.直角三角形 B.等腰三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形【解析】選A.1,2i,5+2i對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)為(1,0),(0,2),(5,2),設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),即=(1,0),=(0,2),=(5,2),=-=(-1,2).=-=(5,0),=-=(4,2),則||2=||2+||2,所以∠BAC=90°,即由A,B,C所構(gòu)成的三角形是直角三角形.7.若復(fù)數(shù)z滿意2z+QUOTE=3-2i,其中i為虛數(shù)單位,則z= ()A.1+2i B.-1+2iC.-1-2i D.1-2i【解析】選D.設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則QUOTE=a-bi.故2z+QUOTE=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,所以QUOTE解得QUOTE所以z=1-2i.8.設(shè)復(fù)數(shù)z=cosx+isinx,則函數(shù)f(x)=QUOTE的部分圖象可能是 ()【解析】選A.f(x)=QUOTE=QUOTE=|cosx+isinx+cosx-isinx|=2QUOTE,因?yàn)閒(x)=2|cosx|為偶函數(shù),故解除C、D,又f(x)=2|cosx|的最小正周期為π,故解除B,所以f(x)的部分圖象可能為A.二、多選題(每小題5分,共20分,全部選對(duì)的得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)9.下列命題中,真命題為 ()A.若復(fù)數(shù)z滿意QUOTE∈R,則z∈RB.若復(fù)數(shù)z滿意z2∈R,則z∈RC.若復(fù)數(shù)z1,z2滿意z1z2∈R,則z1=QUOTED.若復(fù)數(shù)z∈R,則QUOTE∈R【解析】選AD.對(duì)于命題A,設(shè)復(fù)數(shù)z=x+yi(x,y∈R),且x,y不同時(shí)為零,則QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,若QUOTE∈R,則y=0,所以z=x∈R,該命題正確;對(duì)于命題B,當(dāng)z=-i時(shí),z2=-1∈R,但z?R,該命題錯(cuò)誤;對(duì)于命題C,取z1=1+i,z2=2-2i,則z1z2=(1+i)(2-2i)=2-2i2=4,但z1≠Q(mào)UOTE,該命題錯(cuò)誤;對(duì)于命題D,當(dāng)z∈R時(shí),可設(shè)z=x(x∈R),則QUOTE=x∈R,該命題正確.10.已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.1 B.-1 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選AB.因?yàn)閺?fù)數(shù)z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,所以a2+4=4+1,解得a=±1.11.設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),則下列命題中,正確的是 ()A.若QUOTE=0,則z1=QUOTEB.若z1=QUOTE,則QUOTE=z2C.若QUOTE=QUOTE,則z1·QUOTE=QUOTE·z2D.若QUOTE=QUOTE,則QUOTE=QUOTE【解析】選BC.設(shè)z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.若|z1-z2|=0,則z1-z2=(a-c)+(b-d)i=0,所以a=c,b=d,所以z1=z2,所以QUOTE=QUOTE,無法保證z1=QUOTE,所以A錯(cuò)誤;若z1=QUOTE,則a=c,b=-d,所以QUOTE=z2,故B正確;若|z1|=|z2|,則a2+b2=c2+d2,所以z1·QUOTE=QUOTE·z2,故C正確;QUOTE=(a2-b2)+2abi,QUOTE=(c2-d2)+2cdi,在a2+b2=c2+d2的條件下,不能保證a2-b2=c2-d2,2ab=2cd,故D錯(cuò)誤.12.(2024·棗莊高一檢測(cè))已知集合M={m|m=in,n∈N*},其中i為虛數(shù)單位,則下列元素屬于集合M的是 ()A.(1-i)(1+i) B.QUOTEC.QUOTE D.(1-i)2【解析】選BC.依據(jù)題意,M={m|m=in,n∈N*}中,n=4k(k∈N*)時(shí),in=1;n=4k+1(k∈N*)時(shí),in=i;n=4k+2(k∈N*)時(shí),in=-1;n=4k+3(k∈N*)時(shí),in=-i,所以M={-1,1,i,-i}.選項(xiàng)A中,(1-i)(1+i)=2?M;選項(xiàng)B中,QUOTE=QUOTE=-i∈M;選項(xiàng)C中,QUOTE=QUOTE=i∈M;選項(xiàng)D中,(1-i)2=-2i?M.三、填空題(每小題5分,共20分)13.當(dāng)a∈R時(shí),有(1-i)(a+i)∈R,則a=.

【解析】因?yàn)?1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i∈R,所以1-a=0,即a=1.答案:114.若QUOTE=2-i(其中i是虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)a=.

【解析】因?yàn)镼UOTE=2-i,所以1+ai=(1-i)(2-i)=1-3i,所以a=-3.答案:-315.在復(fù)平面上正方形的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)中有三個(gè)是1+2i,-2+i,-1-2i,那么第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是.

【解析】設(shè)正方形四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+2i,-2+i,-1-2i,a+bi,O為復(fù)平面的原點(diǎn),則=(1,2),=(-2,1),=(-1,-2),=(a,b),=-=(-3,-1).又四邊形ABCD為正方形,所以=,即(-3,-1)=-=(-1-a,-2-b),所以QUOTE所以QUOTE所以=(2,-1).即第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2-i.答案:2-i16.復(fù)數(shù)z1=1-2i,|z2|=3,則|z2-z1|的最大值是.

【解析】設(shè)z2=x+yi(x,y∈R),且x2+y2=9,故令x=3cosθ,y=3sinθ,z2-z1=(x-1)+(y+2)i,所以|z2-z1|=QUOTE,QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,其中sinφ=QUOTE,cosφ=QUOTE,所以最大值為QUOTE=QUOTE=3+QUOTE.答案:3+QUOTE四、解答題(共70分)17.(10分)已知z=1+i,若QUOTE=1-i,求實(shí)數(shù)a,b的值.【解析】因?yàn)閦2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=a+b+(2+a)i,z2-z+1=(1+i)2-(1+i)+1=i,所以QUOTE=(2+a)-(a+b)i=1-i,由復(fù)數(shù)相等,得QUOTE解得QUOTE18.(12分)設(shè)復(fù)數(shù)z=(a2+a-2)+(a2-7a+6)i,其中a∈R,當(dāng)a取何值時(shí),(1)z∈R;(2)z是純虛數(shù);(3)z是零.【解析】(1)因?yàn)閦∈R,所以a2-7a+6=0,所以a=1或a=6.(2)因?yàn)閦是純虛數(shù),所以QUOTE所以a=-2.(3)因?yàn)閦=0,所以QUOTE所以a=1.19.(12分)已知復(fù)數(shù)z滿意|z|=1+3i-z,求QUOTE的值.【解析】設(shè)z=a+bi(a,b∈R).因?yàn)閨z|=1+3i-z,所以QUOTE-1-3i+a+bi=0,即QUOTE解得QUOTE所以z=-4+3i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=3+4i.20.(12分)已知復(fù)數(shù)z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-m2+3m-1)i,其中m∈R.(1)若復(fù)數(shù)z1為實(shí)數(shù),求m的值;(2)求|z1+z2|的最小值.【解析】(1)由復(fù)數(shù)z1為實(shí)數(shù),則m2-2m=0,解得m=2或m=0.(2)因?yàn)閦1+z2=(m+1)+(m-1)i,所以|z1+z2|=QUOTE=QUOTE,故當(dāng)m=0時(shí),|z1+z2|的最小值為QUOTE.21.(12分)計(jì)算:(1)QUOTE;(2)QUOTE.【解析】(1)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi.(2)QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1-i.22.(12分)已知復(fù)數(shù)z1=sin2x+λi,z2=m+(m-QUOTEcos2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.(1)若λ=0且0<x<π,求x的值;(2)設(shè)λ=f(x);①求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;②已知當(dāng)x=α?xí)r,λ=QUOTE,求cosQUOTE的值.【解析】由z1=sin2x+λi,z2=m+(m-QUOTEcos2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.得QUOTE(1)若λ=0且0<x<π,則sin2x=QUOTEcos2x,即tan2x=QUOTE,所以x=QUOTE或QUOTE;(2)①λ=f(x)=2sinQUOTE