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湖南省衡陽(yáng)縣第三中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.下列命題中,真命題是.A.xR,x2+1=x B.xR,x2+1<2xC.xR,x2+1>x D.xR,x2+2x>12.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是()A. B.C. D.3.的值為()A. B.C. D.4.下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A. B.C. D.5.函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為A. B.C. D.6.設(shè)函數(shù)的圖象為,關(guān)于點(diǎn)A(2,1)的對(duì)稱圖象為,若直線y=b與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),則b的值為A.0 B.-4C.0或4 D.0或-47.已知角終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),且,則的值是()A. B.C. D.8.已知函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,當(dāng)函數(shù)和在區(qū)間同時(shí)遞增或同時(shí)遞減時(shí),把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動(dòng)區(qū)間”.若區(qū)間為函數(shù)的“不動(dòng)區(qū)間”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.9.函數(shù)f(x)圖象大致為()A. B.C. D.10.設(shè)全集,,,則A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.如圖,、、、分別是三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線與是異面直線的圖形有______.12.已知集合,若,則________.13.已知函數(shù),,若對(duì)任意,總存在,使得成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.14.設(shè)函數(shù),若關(guān)于x方程有且僅有6個(gè)不同的實(shí)根.則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.15.已知某扇形的弧長(zhǎng)為,面積為,則該扇形的圓心角(正角)為_________.16.不等式的解集為_________________.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已知,且的最小正周期為.(1)求關(guān)于x的不等式的解集;(2)求在上的單調(diào)區(qū)間.18.已知直線過(guò)點(diǎn),并與直線和分別交于點(diǎn),若線段被點(diǎn)平分,求:(1)直線的方程;(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心且被截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程19.已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若在區(qū)間上存在唯一的最小值為-2,求實(shí)數(shù)m的取值范圍20.已知函數(shù)求函數(shù)的最小正周期與對(duì)稱中心;求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間21.有一批材料,可以建成長(zhǎng)為240米的圍墻.如圖,如果用材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場(chǎng)地,中間用同樣材料隔成三個(gè)相等面積的矩形,怎樣圍法才可取得最大的面積?并求此面積.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題的含義,以及不等式性質(zhì)的應(yīng)用,即可求解.【詳解】對(duì)于A中,,所以,所以不正確;對(duì)于B中,,所以,所以不正確;對(duì)于C中,,所以,所以正確;對(duì)于D中,,所以不正確,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全稱命題與特稱命題的真假判定,其中解答中正確理解全稱命題和特稱命題的含義,以及不等式性質(zhì)的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】判斷函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可判斷.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋液瘮?shù)在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)為定義在上的連續(xù)減函數(shù),又當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,兩函數(shù)值異號(hào),所以函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是,故選:B.3、A【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及倍角公式求解即可.【詳解】原式.故選:A4、D【解析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)對(duì)每個(gè)選項(xiàng)判斷得出結(jié)果【詳解】A選項(xiàng):函數(shù)定義域?yàn)?,且,,故函?shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),A選項(xiàng)錯(cuò)誤B選項(xiàng):函數(shù)定義域?yàn)?,且,,故函?shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)C選項(xiàng):函數(shù)定義域?yàn)椋?,故函?shù)為奇函數(shù)D選項(xiàng):函數(shù)定義域?yàn)?,,故函?shù)是偶函數(shù)故選D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性的定義,在證明函數(shù)奇偶性時(shí)需注意函數(shù)的定義域;還需掌握:奇函數(shù)加減奇函數(shù)為奇函數(shù);偶函數(shù)加減偶函數(shù)為偶函數(shù);奇函數(shù)加減偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù);奇函數(shù)乘以奇函數(shù)為偶函數(shù);奇函數(shù)乘以偶函數(shù)為奇函數(shù);偶函數(shù)乘以偶函數(shù)為偶函數(shù)5、B【解析】分析:先判斷函數(shù)的單調(diào)性,然后結(jié)合選項(xiàng),利用零點(diǎn)的存在定理,即可求解.詳解:由題意,函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),又因?yàn)?,由函?shù)的零點(diǎn)判斷可知,函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間,故選B.點(diǎn)睛:本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理及應(yīng)用,其中熟記函數(shù)的零點(diǎn)的存在定理是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】先設(shè)圖像上任一點(diǎn)以及P關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì),用p的坐標(biāo)表示的坐標(biāo),再把的坐標(biāo)代入f(x)的解析式進(jìn)行整理,求出圖象的解析式,通過(guò)對(duì)解析式值域的分析,再結(jié)合直線y=b與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),來(lái)確定未知量b的值?!驹斀狻吭O(shè)圖像上任一點(diǎn),且P關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),則有,解得,又點(diǎn)在函數(shù)的圖像上,則有,那么圖像的函數(shù)為,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào),此時(shí)取到最小值4,直線y=b與只有一個(gè)公共點(diǎn),故b=4,同理當(dāng)時(shí),,,即,此時(shí)取到最大值0,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取到等號(hào),直線y=b與只有一個(gè)公共點(diǎn),故b=0.綜上,b的值為0或4.故選:C【點(diǎn)睛】利用基本不等式求出函數(shù)最值時(shí),要注意函數(shù)定義域是否包含取等點(diǎn),本題是一道函數(shù)綜合題7、A【解析】由終邊上的點(diǎn)及正切值求參數(shù)m,再根據(jù)正弦函數(shù)的定義求.【詳解】由題設(shè),,可得,所以.故選:A8、C【解析】若區(qū)間[1,2]為函數(shù)f(x)=|2x﹣t|的“不動(dòng)區(qū)間”,則函數(shù)f(x)=|2x﹣t|和函數(shù)F(x)=|﹣t|在[1,2]上單調(diào)性相同,則(2x﹣t)(2﹣x﹣t)≤0在[1,2]上恒成立,進(jìn)而得到答案【詳解】∵函數(shù)y=f(x)與y=F(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,∴F(x)=f(﹣x)=|2﹣x﹣t|,∵區(qū)間[1,2]為函數(shù)f(x)=|2x﹣t|的“不動(dòng)區(qū)間”,∴函數(shù)f(x)=|2x﹣t|和函數(shù)F(x)=|2﹣x﹣t|在[1,2]上單調(diào)性相同,∵y=2x﹣t和函數(shù)y=2﹣x﹣t的單調(diào)性相反,∴(2x﹣t)(2﹣x﹣t)≤0在[1,2]上恒成立,即1﹣t(2x+2﹣x)+t2≤0在[1,2]上恒成立,即2﹣x≤t≤2x在[1,2]上恒成立,即≤t≤2,故答案為:C【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查不動(dòng)點(diǎn)定義及利用定義解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,考查指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì),考查不等式的恒成立問(wèn)題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)正確理解不動(dòng)區(qū)間的定義,得到(2x﹣t)(2﹣x﹣t)≤0在[1,2]上恒成立,是解答的關(guān)鍵9、A【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的特征,利用奇偶性判斷,再利用特殊值取舍.【詳解】因?yàn)閒(x)=f(x),所以f(x)是奇函數(shù),排除B,C又因?yàn)椋懦鼶故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的圖象,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】全集,,,.故選B.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、②④【解析】圖①中,直線,圖②中面,圖③中,圖④中,面【詳解】解:根據(jù)題意,在①中,且,則四邊形是平行四邊形,有,不是異面直線;圖②中,、、三點(diǎn)共面,但面,因此直線與異面;在③中,、分別是所在棱的中點(diǎn),所以且,故,必相交,不是異面直線;圖④中,、、共面,但面,與異面所以圖②④中與異面故答案為:②④.12、0【解析】若兩個(gè)集合相等,則兩個(gè)集合中的元素完全相同.,又,故答案為0.點(diǎn)睛:利用元素的性質(zhì)求參數(shù)的方法(1)確定性的運(yùn)用:利用集合中元素的確定性解出參數(shù)的所有可能值;(2)互異性的運(yùn)用:根據(jù)集合中元素的互異性對(duì)集合中元素進(jìn)行檢驗(yàn).13、【解析】由題分析若對(duì)任意,總存在,使得成立,則的最大值小于等于的最大值,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,因?yàn)?對(duì)于函數(shù),則當(dāng)時(shí),是單調(diào)遞增的一次函數(shù),則;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,所以的最大值為4;對(duì)于函數(shù),,因?yàn)?所以,所以;所以,即,故,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題,考查分段函數(shù)的最值,考查正弦型函數(shù)的最值,考查轉(zhuǎn)化思想14、或或【解析】作出函數(shù)的圖象,設(shè),分關(guān)于有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、,和兩相等實(shí)數(shù)根進(jìn)行討論,當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),再檢驗(yàn),當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí),或,再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布進(jìn)行討論求解即可.【詳解】作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖如圖,令,要使關(guān)于的方程有且僅有個(gè)不同的實(shí)根,(1)當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí),由,即,此時(shí)當(dāng),此時(shí),此時(shí)由圖可知方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí)不滿足.當(dāng),此時(shí),此時(shí)由圖可知方程有6個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí)滿足條件(2)當(dāng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根、時(shí),則或當(dāng)時(shí),由可得則的根為由圖可知當(dāng)時(shí),方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí),方程有4個(gè)實(shí)數(shù)根,此時(shí)滿足條件.當(dāng)時(shí),設(shè)由,則,即綜上所述:滿足條件的實(shí)數(shù)a的取值范圍是或或故答案為:或或【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題考查利用復(fù)合型二次函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù),考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵由條件結(jié)合函數(shù)的圖象,分析方程的根情況及其范圍,再由二次方程實(shí)數(shù)根的分布解決問(wèn)題,屬于難題.15、【解析】根據(jù)給定條件求出扇形所在圓的半徑即可計(jì)算作答.【詳解】設(shè)扇形所在圓的半徑為,扇形弧長(zhǎng)為,即,由扇形面積得:,解得,所以該扇形的圓心角(正角)為.故答案為:16、或.【解析】利用一元二次不等式的求解方法進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?,所以,所以或,所以不等式的解集為?故答案為:或.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為【解析】(1)首先利用兩角差的正弦公式及二倍角公式將函數(shù)化簡(jiǎn),再根據(jù)函數(shù)的最小正周期求出,即可得到函數(shù)解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得;(2)由的取值范圍,求出的范圍,再跟正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】解:因?yàn)樗约?,由及的最小正周期為,所以,解得;由得,,解得,所求不等式的解集為小?wèn)2詳解】解:,,在和上遞增,在上遞減,令,解得;令,解得;令,解得;所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為;18、(1);(2).【解析】(1)依題意可設(shè),,分別代入到直線和中,求出點(diǎn)坐標(biāo),即可求出直線的方程;(2)由題意可知,求出,即可求出圓的方程【詳解】(1)依題意可設(shè),因?yàn)榫€段被點(diǎn)平分,所以,則,解得,,即,又過(guò)點(diǎn),易得方程為(2)設(shè)圓半徑為,則,其中為弦心距,,可得,故所求圓的方程為.19、(1),(2)【解析】(1)用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為,然后可解;(2)根據(jù)m介于第一個(gè)最小值點(diǎn)和第二個(gè)最小值點(diǎn)之間可解.【小問(wèn)1詳解】所以的最小正周期,由,解得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問(wèn)2詳解】令,得因?yàn)樵趨^(qū)間上存在唯一的最小值為-2,所以,,即所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.20、(1)最小正周期,對(duì)稱中心為;(2)【解析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換,把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步求出函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱中心;直接利用整體思想求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間【詳解】函數(shù),,,所以函數(shù)的最小正周期為,令:,解得:,
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