湖南師范大學(xué)《性代數(shù)》課件 第一章

線性代數(shù)第一章：行列式湖南師范大學(xué)第一章:行列式1.二階與三階行列式2.全排列與對(duì)換3.n階行列式的定義4.行列式的性質(zhì)5.行列式按行（列）展開二階與三階行列式二階行列式的引入三階行列式小結(jié)一、二階行列式的引入由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表二階行列式的計(jì)算對(duì)角線法則二階行列式的值就是主對(duì)角線相乘減去次對(duì)角線相乘得到的數(shù)值。主對(duì)角線:左上方與右下方組成的對(duì)角線。次對(duì)角線:另一條對(duì)角線。行列式法求解方程組用消元法解二元線性方程組設(shè)有二元線性方程組(1)a11·X1+a12·X2=b1a21·X1+a22·X2=b2用加減消元法容易求出未知量x1,x2的值,當(dāng)a11a22–a12a21≠0時(shí),有(2)X1=(b1·a22-a12·b2)/(a11·a22-a12·a21)X2=(a11·b2-b1·a21)/(a11·a22-a12·a21)注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.二、三階行列式三階行列式的計(jì)算(1)沙路法(2)對(duì)角線法則紅線上三元素的乘積冠以正號(hào),藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式三階行列式包括3!項(xiàng),每一項(xiàng)都是位于不同行,不同列的三個(gè)元素的乘積,其中三項(xiàng)為正,三項(xiàng)為負(fù).三、小結(jié)二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.全排列與對(duì)換從n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素,按照一定的順序排列起來,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。當(dāng)m＝n時(shí)所有的排列情況叫全排列。在排列中,將其中任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào),其余元素不動(dòng),就得到另一個(gè)排列,這樣一個(gè)變換叫做對(duì)換。將相鄰兩個(gè)元素對(duì)換,叫做相鄰對(duì)換。一、全排列及其逆序數(shù)把n個(gè)不同的元素排成一列,叫做這n個(gè)元素的全排列（或排列）n個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù),通常用 表示.我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序, n個(gè)不同的自然數(shù),規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序在一個(gè)排列 中,若數(shù) 則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).排列的奇偶性逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.計(jì)算排列逆序數(shù)的方法方法一:分別計(jì)算出排在1,2,3,......n-1,n前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出1,2,3,......個(gè)元素的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).方法二:分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)，這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).小結(jié)1

n個(gè)不同的元素的所有排列種數(shù)為n!2

排列具有奇偶性3

計(jì)算排列逆序數(shù)常用的方法有2種.三階行列式三階行列式共有6項(xiàng)，即3!項(xiàng)每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積.每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列n

階行列式的定義確定行列式某一項(xiàng)的符號(hào)有三種方法:將列號(hào)取標(biāo)準(zhǔn)排列,由其行號(hào)組成的排列奇偶性確定;該項(xiàng)行標(biāo)排列的逆序數(shù)與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性確定。上三角行列式下三角行列式行列式是一種特定的算式,它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的n階行列式是n!項(xiàng)的代數(shù)和n階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列n個(gè)元素的乘積行列式是一種特定的算式,它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的n階行列式共有n!項(xiàng),每項(xiàng)都是位于不同行、不同列的n個(gè)元素的乘積,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定對(duì)換在排列中，將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，其余元素不動(dòng)，這種作出新排列的手續(xù)叫做對(duì)換.將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換對(duì)換與排列的奇偶性的關(guān)系一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換,排列改變奇偶性奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為奇數(shù),偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對(duì)換次數(shù)為偶數(shù)n階行列式也可定義為其中t為行標(biāo)排列的逆序數(shù)其中 是兩個(gè)n 級(jí)排列,t為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和小結(jié)一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.行列式的三種表示方法行列式的性質(zhì)轉(zhuǎn)置行列式行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào)如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面.行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零.若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變.余子式與代數(shù)余子式一個(gè)矩陣A的余子式（又稱余因式）是指將A的某些行與列去掉之后所余下的方陣的行列式在一個(gè)n階行列式D中,把元素aij(i,j=1,2,.....n)所在的行與列劃去后,剩下的(n-1)^2個(gè)元素按原來的次序組成的一個(gè)n-1階行列式Mij,稱為元素aij的余子式,Mij帶上符號(hào)(-1)^(i+j)稱為aij的代數(shù)余子式,記作Aij=(-1)^(i+j)Mi