2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第8章函數(shù)應(yīng)用8.2.1幾個函數(shù)模型的比較課后素養(yǎng)落實含解析蘇教版必修第一冊

課后素養(yǎng)落實(四十三)幾個函數(shù)模型的比較(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(多選題)當(dāng)a>1時，其中正確的結(jié)論是()A．指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越大時，其函數(shù)值的增長越快B．指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增長越快C．對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越大時，其函數(shù)值的增長越快D．對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越小時，其函數(shù)值的增長越快AD[結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象可知AD正確．]2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2<x<4時，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1B[在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內(nèi)，從上到下圖象依次對應(yīng)的函數(shù)為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．某地區(qū)植被被破壞，土地沙化越來越嚴(yán)峻，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y(萬公頃)關(guān)于年數(shù)x(年)的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16xC[將x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分別代入驗算可知較為近似的是y＝eq\f(2x,10).]4．小明騎車上學(xué)，起先時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事務(wù)吻合得最好的圖象是()ABCDC[小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學(xué)校越來越近，故解除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學(xué)校的距離不變，故解除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故解除B.故選C.]5．某學(xué)校開展探討性學(xué)習(xí)活動，某同學(xué)獲得一組試驗數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)D[法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5,3.5,4.5,6，基本上是漸漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個函數(shù)值的大小，可以采納特別值代入法．可取x＝4，經(jīng)檢驗易知選D.]二、填空題6．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長較快的一個是________.y＝x2[當(dāng)x變大時，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長的要快．]7．三個變量y1，y2，y3隨變量x的改變狀況如表：x1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40其中關(guān)于x呈對數(shù)函數(shù)型改變的變量是________，呈指數(shù)函數(shù)型改變的變量是________，呈冪函數(shù)型改變的變量是________．y3y2y1[依據(jù)三種模型的改變特點，視察表中數(shù)據(jù)可知，y2隨著x的增大而快速增加，呈指數(shù)函數(shù)型改變，y3隨著x的增大而增大，但改變緩慢，呈對數(shù)函數(shù)型改變，y1相對于y2的改變要慢一些，呈冪函數(shù)型改變．]8．生活閱歷告知我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時間內(nèi)進(jìn)水量相同)時，水的高度隨著時間的改變而改變，在圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應(yīng)________；B對應(yīng)________；C對應(yīng)________；D對應(yīng)________．ABCD(1)(2)(3)(4)(4)(1)(3)(2)[A容器下粗上細(xì)，水高度的改變先慢后快，故與(4)對應(yīng)；B容器為球形，水高度改變?yōu)榭臁?，?yīng)與(1)對應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的改變速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的改變?yōu)椋篊容器快，與(3)對應(yīng)，D容器慢，與(2)對應(yīng)．]三、解答題9．函數(shù)f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的圖象如圖所示，試分別指出各曲線對應(yīng)的函數(shù)，并比較三個函數(shù)的增長差異(以1，a，b，c，d，e為分界點)．[解]由指數(shù)爆炸、對數(shù)增長、冪函數(shù)增長的差異可得曲線C1對應(yīng)的函數(shù)是f(x)＝1.1x，曲線C2對應(yīng)的函數(shù)是h(x)＝x，曲線C3對應(yīng)的函數(shù)是g(x)＝lnx＋1.由題圖知，當(dāng)x<1時，f(x)>h(x)>g(x)；當(dāng)1<x<e時，f(x)>g(x)>h(x)；當(dāng)e<x<a時，g(x)>f(x)>h(x)；當(dāng)a<x<b時，g(x)>h(x)>f(x)；當(dāng)b<x<c時，h(x)>g(x)>f(x)；當(dāng)c<x<d時，h(x)>f(x)>g(x)；當(dāng)x>d時，f(x)>h(x)>g(x)．10．某地西紅柿從2月1日起起先上市，通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時間t(天)60100180種植成本Q(元/100kg)11684116依據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿的種植成本Q與上市時間t的改變關(guān)系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你選取的函數(shù)，回答下列問題：(1)求西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)；(2)求最低種植成本．[解]依據(jù)表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)不單調(diào)，所以Q＝at2＋bt＋c，且開口向上．(1)函數(shù)圖象的對稱軸方程為t＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(60＋180,2)＝120，所以西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)是120.(2)將表格中的數(shù)據(jù)代入Q＝at2＋bt＋c，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3600a＋60b＋c＝116，,10000a＋100b＋c＝84，,32400a＋180b＋c＝116，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2.4，,c＝224，,a＝0.01.))所以Q＝0.01t2－2.4t＋224，所以最低種植成本是14400a＋120b＋c＝14400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100kg1．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()ABCDD[設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中的圖象，故選D.]2．(多選題)某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，假設(shè)其關(guān)系為指數(shù)函數(shù)，給出的下列說法正確的是()A．此指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2B．在第5個月時，野生水葫蘆的面積就會超過30mC．野生水葫蘆從4m2擴(kuò)散到12mD．設(shè)野生水葫蘆擴(kuò)散到2m2,3m2,6m2所需的時間分別為t1，t2，t3，則有t1＋t2ABD[易知該指數(shù)函數(shù)的解析式為f(x)＝2x，所以A正確；當(dāng)x＝5時，f(5)＝32>30，所以B正確；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C錯誤；設(shè)2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，則t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，則t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正確．]3．若已知16<x<20，利用圖象可推斷出x和log2x的大小關(guān)系為________．x>log2x[作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的圖象，如圖所示：由圖象可知，在(0,4)內(nèi)，x>log2x；x＝4或x＝16時，x＝log2x；在(4,16)內(nèi)，x<log2x；在(16,20)內(nèi)，x>log2x.]4．已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿意關(guān)系y＝a·0.5x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件．則此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為________萬件．1.75[∵y＝a·0.5x＋b，且當(dāng)x＝1時，y＝1，當(dāng)x＝2時，y＝1.5，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴y＝－2×0.5x＋2.當(dāng)x＝3時，y＝－2×0.125＋2＝1.75(萬件)．]某鞋廠從今年1月份起先投產(chǎn)，并且前四個月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式受歡迎，前幾個月的產(chǎn)品銷售狀況良好．為了使推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，須要估測以后幾個月的產(chǎn)量．以這四個月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系，模擬函數(shù)有三個備選：①一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，③指數(shù)型函數(shù)m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)．廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)嫻熟和理順了生產(chǎn)流程．廠里也短暫不打算增加設(shè)備和工人，假如你是廠長，將會采納什么方法估計以后幾個月的產(chǎn)量？[解]將已知前四個月的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系記為A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．①對于一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)，將B，C兩點的坐標(biāo)代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.所以f(1)＝1.1，與實際誤差為0.1，f(4)＝1.4，與實際誤差為0.03.②對于二次函數(shù)g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)，將A，B，C三點的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，))故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，與實際誤差為0.07，③對于指數(shù)型函數(shù)m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0，b>0，b≠1)，將A，B，C三點的坐標(biāo)代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4.))故m(x)＝－0.8