2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何1.11.1.1空間向量及其運(yùn)算學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE第1章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運(yùn)算1.1.1空間向量及其運(yùn)算學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1.了解空間向量、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、相等向量、平行向量、共面對(duì)量等概念．(重點(diǎn))2.會(huì)用平行四邊形法則、三角形法則作出向量的和與差，駕馭數(shù)乘向量運(yùn)算的意義及運(yùn)算律．(重點(diǎn)、易混點(diǎn))3.駕馭兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)及運(yùn)算律．(重點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn))1.通過(guò)空間向量有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.借助于空間向量的線性運(yùn)算，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).3.借助于空間向量的數(shù)量積，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng).國(guó)慶節(jié)期間，某游客從上海世博園(O)巡游結(jié)束后乘車(chē)到外灘(A)欣賞黃浦江，然后抵達(dá)東方明珠(B)游玩，如圖1，游客的實(shí)際位移是什么？可以用什么數(shù)學(xué)概念來(lái)表示這個(gè)過(guò)程？假如游客還要登上東方明珠頂端(D)俯瞰上海漂亮的夜景，如圖2，那實(shí)際發(fā)生的位移是什么？又如何表示呢？圖1圖2學(xué)問(wèn)點(diǎn)1空間向量(1)定義：空間中既有大小又有方向的量稱(chēng)為空間向量．(2)模(或長(zhǎng)度)：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：可以用有向線段來(lái)直觀的表示向量，如始點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的向量，記為eq\o(AB,\s\up9(→))，模為|eq\o(AB,\s\up9(→))|.②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模為|a|，|b|，|c|，….1.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)空間向量就是空間中的一條有向線段． ()(2)隨意兩個(gè)空間向量可以比較大?。?()[答案](1)×(2)×學(xué)問(wèn)點(diǎn)2幾類(lèi)特殊的向量(1)零向量：始點(diǎn)和終點(diǎn)相同的向量稱(chēng)為零向量，記作0.(2)單位向量：模等于1的向量稱(chēng)為單位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量稱(chēng)為相等向量．(4)相反向量：方向相反，大小相等的向量稱(chēng)為相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的兩個(gè)非零向量相互平行，此時(shí)表示這兩個(gè)非零向量的有向線段所在的直線平行或重合．通常規(guī)定零向量與隨意向量平行．兩個(gè)向量平行也稱(chēng)為兩個(gè)向量共線．(6)共面對(duì)量：一般地，空間中的多個(gè)向量，假如表示它們的有向線段通過(guò)平移后，都能在同一平面內(nèi)，則稱(chēng)這些向量共面．1.空間中隨意兩個(gè)向量共面嗎？空間中隨意三個(gè)向量呢？[提示]空間中隨意兩個(gè)向量都是共面的，但空間中隨意三個(gè)向量不肯定共面．2.思索辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)相反向量的和為零向量． ()(2)只有零向量的模等于0.()(3)空間中隨意兩個(gè)單位向量必相等． ()[答案](1)√(2)√(3)×[提示]大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的兩個(gè)向量稱(chēng)為相反向量；隨意兩個(gè)單位向量的大小相等，但方向不肯定相同，故不肯定相等．學(xué)問(wèn)點(diǎn)3空間向量的線性運(yùn)算類(lèi)似于平面對(duì)量，可以定義空間向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算．圖1圖2(1)如圖1，eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＝a＋b，eq\o(CA,\s\up9(→))＝eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\o(OC,\s\up9(→))＝a－b.(2)如圖2，eq\o(DA,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(DB1,\s\up9(→)).即三個(gè)不共面對(duì)量的和，等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體中，與這三個(gè)向量有共同始點(diǎn)的體對(duì)角線所表示的向量．(3)給定一個(gè)實(shí)數(shù)λ與隨意一個(gè)空間向量a，則實(shí)數(shù)λ與空間向量a相乘的運(yùn)算稱(chēng)為數(shù)乘向量，記作λa.其中：①當(dāng)λ≠0且a≠0時(shí)，λa的模為|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)當(dāng)λ＞0時(shí)，與a的方向相同；(ⅱ)當(dāng)λ＜0時(shí)，與a的方向相反．②當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0.(4)空間向量的線性運(yùn)算滿意如下運(yùn)算律：對(duì)于實(shí)數(shù)λ與μ，向量a與b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb.3.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為eq\o(AC1,\s\up9(→))的是()A．eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→)) B．eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))＋eq\o(D1C1,\s\up9(→))C．eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→)) D．eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))ABCD[依據(jù)空間向量的加法運(yùn)算法則及正方體的性質(zhì)，逐一進(jìn)行推斷：對(duì)于A，eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\o(AC1,\s\up9(→))；對(duì)于B，eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))＋eq\o(D1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AD1,\s\up9(→))＋eq\o(D1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AC1,\s\up9(→))；對(duì)于C，eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(DD1,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\o(AC1,\s\up9(→))；對(duì)于D，eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(DC,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AB1,\s\up9(→))＋eq\o(B1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AC1,\s\up9(→)).故選ABCD．]學(xué)問(wèn)點(diǎn)4空間向量的數(shù)量積(1)空間向量的夾角假如〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a與b垂直，記作a⊥b.對(duì)空間兩個(gè)向量夾角的理解，應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：(1)由概念知兩個(gè)非零向量才有夾角，零向量與其他向量之間不定義夾角，并約定0與隨意向量a都垂直．(2)對(duì)空間隨意兩個(gè)非零向量a，b，有：①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉；③〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(AC,\s\up9(→))〉＝〈eq\o(BA,\s\up9(→))，eq\o(CA,\s\up9(→))〉＝π－〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(CA,\s\up9(→))〉．(2)空間向量的數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫作a，b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.2.空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算符號(hào)“·”能省略嗎？能寫(xiě)成“×”嗎？[提示]不能．(3)數(shù)量積的幾何意義①向量的投影如圖所示，過(guò)向量a的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別向b所在的直線作垂線，即可得到向量a在向量b上的投影a′.②數(shù)量積的幾何意義：a與b的數(shù)量積等于a在b上的投影a′的數(shù)量與b的長(zhǎng)度的乘積，特殊地，a與單位向量e的數(shù)量積等于a在e上的投影a′的數(shù)量．規(guī)定零向量與隨意向量的數(shù)量積為0.(4)空間向量的數(shù)量積的性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交換律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(安排律)．(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，其符號(hào)由夾角θ的余弦值的符號(hào)確定．當(dāng)θ為銳角時(shí)，a·b＞0，但當(dāng)a·b＞0時(shí)，θ不肯定是銳角，因?yàn)棣纫部赡転?；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，a·b＜0，但當(dāng)a·b＜0時(shí)，θ不肯定是鈍角，因?yàn)棣纫部赡転棣?(2)數(shù)量積運(yùn)算不滿意消去律．若a，b，c(b≠0)為實(shí)數(shù)，則ab＝bc?a＝c；但對(duì)于向量，就不成立，即a·b＝b·ca＝c，由圖可以看出．(3)數(shù)量積運(yùn)算不滿意結(jié)合律．?dāng)?shù)量積運(yùn)算只滿意交換律、加乘安排律及數(shù)乘結(jié)合律，但不滿意乘法結(jié)合律，即(a·b)c不肯定等于a(b·c)．這是由于(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不肯定共線．(4)在求兩個(gè)困難向量的數(shù)量積時(shí)，依據(jù)向量數(shù)量積滿意的運(yùn)算律，可按多項(xiàng)式的乘法公式綻開(kāi)運(yùn)算．常用的變形公式有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(5)對(duì)于隨意一個(gè)非零向量a，我們把eq\f(a,|a|)稱(chēng)為向量a的單位向量，記作a0，a0與a方向相同．(6)當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b＝0不能推出b肯定是零向量，這是因?yàn)閷?duì)于隨意一個(gè)與a垂直的非零向量b，都有a·b＝0.4.(1)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，則①〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1C1,\s\up9(→))〉＝________；②〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(C1A1,\s\up9(→))〉＝________；③〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1D1,\s\up9(→))〉＝________.(2)下列命題中正確的是()A．(a·b)2＝a2·b2B．|a·b|≤|a||b|C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．若a⊥(b－c)，則a·b＝a·c＝0(1)①45°②135°③90°(2)B[(1)①因?yàn)閑q\o(A1C1,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))，所以〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1C1,\s\up9(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(AC,\s\up9(→))〉．又∠CAB＝45°，所以〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1C1,\s\up9(→))〉＝45°.②〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(C1A1,\s\up9(→))〉＝180°－〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1C1,\s\up9(→))〉＝135°.③〈eq\o(AB,\s\up9(→))，eq\o(A1D1,\s\up9(→))〉＝90°.(2)對(duì)于A項(xiàng)，左邊＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右邊＝|a|2|b|2，∴左邊≤右邊，故A錯(cuò)誤．對(duì)于C項(xiàng)，數(shù)量積不滿意結(jié)合律，∴C錯(cuò)誤．對(duì)于D項(xiàng)，a·(b－c)＝0，∴a·b－a·c＝0，∴a·b＝a·c，但a·b與a·c不肯定等于零，故D錯(cuò)誤．對(duì)于B項(xiàng)，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cos〈a，b〉≤1，∴|a·b|≤|a||b|，故B正確．]類(lèi)型1空間向量的概念及簡(jiǎn)潔應(yīng)用【例1】(1)下列說(shuō)法中正確的是()A．若|a|＝|b|，則a，b的長(zhǎng)度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，則|a|＝|b|C．空間向量的減法滿意結(jié)合律D．在四邊形ABCD中，肯定有eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))(2)如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：①試寫(xiě)出與eq\o(AB,\s\up9(→))是相等向量的全部向量；②試寫(xiě)出eq\o(AA1,\s\up9(→))的相反向量；③若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量eq\o(AC1,\s\up9(→))的模．(1)B[|a|＝|b|，說(shuō)明a與b模長(zhǎng)相等，但方向不確定．對(duì)于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，從而B(niǎo)正確．只定義加法具有結(jié)合律，減法不具有結(jié)合律．一般的四邊形不具有eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AC,\s\up9(→))，只有平行四邊形才能成立．故A、C、D均不正確．](2)[解]①與向量eq\o(AB,\s\up9(→))是相等向量的(除它自身之外)有eq\o(A1B1,\s\up9(→))，eq\o(DC,\s\up9(→))及eq\o(D1C1,\s\up9(→))，共3個(gè)．②向量eq\o(AA1,\s\up9(→))的相反向量為eq\o(A1A,\s\up9(→))，eq\o(B1B,\s\up9(→))，eq\o(C1C,\s\up9(→))，eq\o(D1D,\s\up9(→)).③|eq\o(AC1,\s\up9(→))|＝eq\r(\o(|\o(AB,\s\up9(→))|2＋|\o(AD,\s\up9(→))|2＋|\o(AA1,\s\up9(→))|2))＝eq\r(22＋22＋12)＝eq\r(9)＝3.1．在空間中，向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面對(duì)量的相關(guān)概念完全一樣．2．兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等．兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．給出以下結(jié)論：①兩個(gè)空間向量相等，則它們的始點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(A1C1,\s\up9(→))；③若空間向量m，n，p滿意m＝n，n＝p，則m＝p.其中不正確的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3B[兩個(gè)空間向量相等，它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)不肯定相同，故①不正確；在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有eq\o(AC,\s\up9(→))＝eq\o(A1C1,\s\up9(→))成立，故②正確；③明顯正確．故選B．]2.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，下列四對(duì)向量：①eq\o(AB,\s\up9(→))與eq\o(C1D1,\s\up9(→))；②eq\o(AC1,\s\up9(→))與eq\o(BD1,\s\up9(→))；③eq\o(AD1,\s\up9(→))與eq\o(C1B,\s\up9(→))；④eq\o(A1D,\s\up9(→))與eq\o(B1C,\s\up9(→)).其中互為相反向量的有n對(duì)，則n等于()A．1B．2C．3D．4B[對(duì)于①eq\o(AB,\s\up9(→))與eq\o(C1D1,\s\up9(→))，③eq\o(AD1,\s\up9(→))與eq\o(C1B,\s\up9(→))長(zhǎng)度相等，方向相反，互為相反向量；對(duì)于②eq\o(AC1,\s\up9(→))與eq\o(BD1,\s\up9(→))長(zhǎng)度相等，方向不相反；對(duì)于④eq\o(A1D,\s\up9(→))與eq\o(B1C,\s\up9(→))長(zhǎng)度相等，方向相同．故互為相反向量的有2對(duì)．]類(lèi)型2空間向量的線性運(yùn)算【例2】(1)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，N是A1B的中點(diǎn)，若eq\o(CA,\s\up9(→))＝a，eq\o(CB,\s\up9(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up9(→))＝c，則eq\o(CN,\s\up9(→))＝()A．eq\f(1,2)(a＋b－c)B．eq\f(1,2)(a＋b＋c)C．a(chǎn)＋b＋eq\f(1,2)cD．a(chǎn)＋eq\f(1,2)(b＋c)(2)(對(duì)接教材人教B版P6例1)如圖，已知長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量．①eq\o(AA′,\s\up9(→))－eq\o(CB,\s\up9(→))；②eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(B′C′,\s\up9(→)).(1)B[如圖，取AB中點(diǎn)為D，連接DN.eq\o(CN,\s\up9(→))＝eq\o(CD,\s\up9(→))＋eq\o(DN,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)，故選B．](2)[解]①eq\o(AA′,\s\up9(→))－eq\o(CB,\s\up9(→))＝eq\o(AA′,\s\up9(→))－eq\o(DA,\s\up9(→))＝eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(AD,\s\up9(→))＝eq\o(AD′,\s\up9(→)).②eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(B′C′,\s\up9(→))＝(eq\o(AA′,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→)))＋eq\o(B′C′,\s\up9(→))＝eq\o(AB′,\s\up9(→))＋eq\o(B′C′,\s\up9(→))＝eq\o(AC′,\s\up9(→)).向量eq\o(AD′,\s\up9(→))，eq\o(AC′,\s\up9(→))如圖所示．1．空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧(1)巧用相反向量：向量加減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法運(yùn)算的關(guān)鍵，敏捷應(yīng)用相反向量可使向量間首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算時(shí)，務(wù)必要留意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采納空間向量的自由平移獲得更精確的結(jié)果．2．利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合詳細(xì)圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量．(2)明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，奇妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3.如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)eq\o(AA1,\s\up9(→))＝a，eq\o(AB,\s\up9(→))＝b，eq\o(AD,\s\up9(→))＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up9(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up9(→))；(3)eq\o(MP,\s\up9(→))＋eq\o(NC1,\s\up9(→)).[解](1)∵P是C1D1的中點(diǎn)，∴eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\o(AA1,\s\up9(→))＋eq\o(A1D1,\s\up9(→))＋eq\o(D1P,\s\up9(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up9(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up9(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中點(diǎn)，∴eq\o(A1N,\s\up9(→))＝eq\o(A1A,\s\up9(→))＋eq\o(AB,\s\up9(→))＋eq\o(BN,\s\up9(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up9(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴eq\o(MP,\s\up9(→))＝eq\o(MA,\s\up9(→))＋eq\o(AP,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up9(→))＋eq\o(AP,\s\up9(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.又eq\o(NC1,\s\up9(→))＝eq\o(NC,\s\up9(→))＋eq\o(CC1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up9(→))＋eq\o(AA1,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up9(→))＋eq\o(NC1,\s\up9(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c.類(lèi)型3數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用【例3】如圖所示，已知正四面體OABC的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)．求下列向量的數(shù)量積：(1)eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OB,\s\up9(→))；(2)eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))；(3)(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))·(eq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\o(CB,\s\up9(→)))．1．空間兩個(gè)向量夾角定義的要點(diǎn)是什么？[提示](1)隨意兩個(gè)空間向量都是共面的，故空間向量夾角的定義與平面對(duì)量夾角的定義一樣．(2)作空間兩個(gè)向量夾角時(shí)要把兩個(gè)向量的起點(diǎn)放在一起．(3)兩個(gè)空間向量的夾角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．2．聯(lián)想空間向量數(shù)量積的定義，如何求兩個(gè)向量a，b的夾角？如何求|a＋b|?[提示]借助cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)，求向量a，b的夾角．借助|a＋b|＝eq\r(a＋b2)＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)求模．[解](1)正四面體的棱長(zhǎng)為1，則|eq\o(OA,\s\up9(→))|＝|eq\o(OB,\s\up9(→))|＝1.△OAB為等邊三角形，∠AOB＝60°，所以eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OB,\s\up9(→))＝|eq\o(OA,\s\up9(→))||eq\o(OB,\s\up9(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up9(→))，eq\o(OB,\s\up9(→))〉＝|eq\o(OA,\s\up9(→))||eq\o(OB,\s\up9(→))|cos∠AOB＝1×1×cos60°＝eq\f(1,2).(2)由于E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，所以EFeq\f(1,2)AC，于是eq\o(EF,\s\up9(→))·eq\o(CB,\s\up9(→))＝|eq\o(EF,\s\up9(→))||eq\o(CB,\s\up9(→))|cos〈eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝eq\f(1,2)|eq\o(CA,\s\up9(→))|·|eq\o(CB,\s\up9(→))|cos〈eq\o(AC,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos〈eq\o(AC,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝eq\f(1,2)×1×1×cos120°＝－eq\f(1,4).(3)(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))·(eq\o(CA,\s\up9(→))＋eq\o(CB,\s\up9(→)))＝(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))·(eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\o(OC,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))－eq\o(OC,\s\up9(→)))＝(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→)))·(eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))－2eq\o(OC,\s\up9(→)))＝eq\o(OA,\s\up9(→))2＋eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OB,\s\up9(→))－2eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→))＋eq\o(OB,\s\up9(→))2－2eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))＝1＋eq\f(1,2)－2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋1－2×eq\f(1,2)＝1.1．(變條件，變結(jié)論)若H為BC的中點(diǎn)，其他條件不變，求EH的長(zhǎng)．[解]由題意知eq\o(OH,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→)))，eq\o(OE,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))，∴eq\o(EH,\s\up9(→))＝eq\o(OH,\s\up9(→))－eq\o(OE,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\o(OA,\s\up9(→)))，∴|eq\o(EH,\s\up9(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(OB2,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→))2＋eq\o(OA,\s\up9(→))2＋2eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))－2eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→))－2eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→)))，又|eq\o(OB,\s\up9(→))|＝|eq\o(OC,\s\up9(→))|＝|eq\o(OA,\s\up9(→))|＝1，且〈eq\o(OB,\s\up9(→))，eq\o(OC,\s\up9(→))〉＝60°，〈eq\o(OB,\s\up9(→))，eq\o(OA,\s\up9(→))〉＝60°，〈eq\o(OC,\s\up9(→))，eq\o(OA,\s\up9(→))〉＝60°，∴eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)，eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)，eq\o(OC,\s\up9(→))·eq\o(OA,\s\up9(→))＝eq\f(1,2).∴|eq\o(EH,\s\up9(→))|2＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋1＋1＋2×\f(1,2)－2×\f(1,2)－2×\f(1,2)))＝eq\f(1,2)，即|eq\o(EH,\s\up9(→))|＝eq\f(\r(2),2)，所以EH的長(zhǎng)為eq\f(\r(2),2).2．(變結(jié)論)求異面直線OH與BE所成角的余弦值．[解]在△AOB及△BOC中，易知BE＝OH＝eq\f(\r(3),2)，又eq\o(BE,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up9(→))－eq\o(OB,\s\up9(→))，eq\o(OH,\s\up9(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\o(OC,\s\up9(→)))，∴eq\o(BE,\s\up9(→))·eq\o(OH,\s\up9(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OB,\s\up9(→))＋eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up9(→))2－eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up9(→))·eq\o(OC,\s\up9(→))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2).∴cos〈eq\o(BE,\s\up9(→))，eq\o(OH,\s\up9(→))〉＝eq\f(\o(BE,\s\up9(→))·\o(OH,\s\up9(→)),\o(|\o(BE,\s\up9(→))||\o(OH,\s\up9(→))|))＝－eq\f(2,3)，又異面直線所成角的范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故異面直線OH與BE所成角的余弦值為eq\f(2,3).1．在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式；(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積綻開(kāi)，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積；(3)依據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模；(4)代入公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．2．非零向量a與b共線的條件是a·b＝±|a|·|b|.提示：在求兩個(gè)向量夾角時(shí)，要留意向量的方向．如本例中〈eq\o(EF,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝〈eq\o(AC,\s\up9(→))，eq\o(CB,\s\up9(→))〉＝120°，易錯(cuò)寫(xiě)成60°，為避開(kāi)出錯(cuò)，應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算．1．對(duì)于空間隨意兩個(gè)非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分又不必要條件B[明顯，〈a，b〉＝0?a∥b.但a∥b包括向量a，b同向共線和反向共線兩種狀況，即當(dāng)a∥b時(shí)，〈a，b〉＝0或π，因?yàn)閍∥b〈a，b〉＝0，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分條件．]2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各對(duì)向量夾角為45°的是()A．eq\o(AB,\s\up9(→))與eq\o(A1C1,\s\up9(→)) B．eq\o(AB,\s\up9(→))與eq\o(CA,\s\up9(→))C．eq\o(AB,\s\up9(→))與eq\o(A1D1,\s\up9(→)) D．eq\o(AB,\s\up9(→))與eq\o(B1A1,\s\up9(→))A[A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)向量的夾角依次是45°，135°，90°，180°，故選A．