統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學二輪專題闖關(guān)導練四熱點問題專練熱點十三數(shù)學文化文含解析

PAGE熱點(十三)數(shù)學文化1．[2024·山東菏澤期中](數(shù)列中的文化)南北朝時期的數(shù)學古籍《張丘建算經(jīng)》中有如下一道題：“今有十等人，大官甲等十人官賜金，依等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤持出；下四人后入，得金三斤持出；中心三人未到者，亦依等次更給．”問：每一等人比下一等人多得幾斤金？()A.eq\f(4,39)斤B.eq\f(7,78)斤C.eq\f(7,76)斤D.eq\f(5,81)斤2．[2024·福建莆田模擬](程序框圖中的文化)將元代聞名數(shù)學家朱世杰的《四元玉鑒》中的一首詩改編如下：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒了壺中酒，借問此壺中，當原多少酒？”用程序框圖表示如圖，用x表示壺中原有酒的量，可知最終輸出的x＝0，則一起先輸入的x的值為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(15,16)C．4D.eq\f(7,8)3．[2024·河南商丘月考](生活中的文化)我國古代數(shù)學名著《孫子算經(jīng)》中有如下問題：“今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸．問三女幾何日會面？”大致意思是：“一家出嫁的三個女兒中，大女兒每五天回一次娘家，二女兒每四天回一次娘家，小女兒每三天回一次娘家．三個女兒從娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次會面？”假如回娘家產(chǎn)天均回夫家，當?shù)仫L俗正月初二都要回娘家，則從正月初三算起的一百天內(nèi)，有女兒回娘家的天數(shù)為()A．58B．59C．60D．614．[2024·重慶七校聯(lián)考](推理與證明中的文化)某市為了緩解交通壓力，實行機動車輛限行政策，每輛機動車每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五輛車，每天至少有四輛車可以上路行駛．已知E車周四限行，B車昨天限行，從今日算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，E車明天可以上路，由此可知下列推想肯定正確的是()A．今日是周四B．今日是周六C．A車周三限行D．C車周五限行5．[2024·福建泉州兩校聯(lián)考](函數(shù)中的文化)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二而稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．”其意思為：“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)所收稅金為持金的eq\f(1,2)，第2關(guān)所收稅金為剩余持金的eq\f(1,3)，第3關(guān)所收稅金為剩余持金的eq\f(1,4)，第4關(guān)所收稅金為剩余持金的eq\f(1,5)，第5關(guān)所收稅金為剩余持金的eq\f(1,6)，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．”則在此問題中，第5關(guān)所收稅金為()A.eq\f(1,36)斤B.eq\f(1,30)斤C.eq\f(1,25)斤D.eq\f(1,20)斤6．[2024·惠州市考試試題](線性規(guī)劃中的文化)關(guān)于圓周率π，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過很多有創(chuàng)意的求法，如聞名的蒲豐試驗和查理斯試驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的試驗來估計π的值：先請120名同學每人隨機寫下一個x，y都小于1的正實數(shù)對(x，y)，再統(tǒng)計其中x，y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(x，y)的個數(shù)m，最終依據(jù)統(tǒng)計個數(shù)m估計π的值．假如統(tǒng)計結(jié)果是m＝34，那么可以估計π的值為()A.eq\f(23,7)B.eq\f(47,15)C.eq\f(17,15)D.eq\f(53,17)7．[2024·四川達州模擬](生活中的文化)里氏震級是由古登堡和里克特制定的一種表明地震能量大小的標度，用來表示測震儀衡量的地震能量的等級，地震能量越大，地震儀記錄的震波的振幅就越大，其計算公式為M＝lgA－lgA0，其中A，A0分別是距震中100公里處接收到的所關(guān)注的這個地震和0級地震的震波的最大振幅，則7級地震震波的最大振幅是5級地震震波的最大振幅的()A．10倍B．20倍C．50倍D．100倍8．[2024·江淮十校其次次聯(lián)考](立體幾何中的文化)長方、塹堵、陽馬、鱉臑出自中國古代名著《九章算術(shù)·商功》，其中陽馬、鱉臑是我國古代對一些特別錐體的稱呼．取一長方，如圖(1)中的長方體ABCD-A1B1C1D1，沿平面ABC1D1斜切，一分為二，得到兩個一模一樣的三棱柱，稱該三棱柱為塹堵，如圖(2)，再沿平面D1BC切開，得四棱錐和三棱錐各一個，其中四棱錐D1-ABCD以矩形ABCD為底，棱DD1與底面垂直，稱為陽馬，余下的三棱錐D1-BCC1是四個面均為直角三角形的四面體，稱為鱉臑．已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AAA．2eq\r(5)B．5C.eq\r(29)D．4eq\r(2)9.[2024·福建師大附中期中](三角函數(shù)中的文化)17世紀德國聞名的天文學家開普勒曾經(jīng)這樣說過：“幾何學里有兩件寶，一件是勾股定理，另一件是黃金分割．假如把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦．”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂角為36°的等腰三角形(另一種是頂角為108°的等腰三角形)．如圖所示的五角星由五個黃金三角形與一個正五邊形組成，在其中一個黃金三角形ABC中，eq\f(BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,2).依據(jù)這些信息，可得sin234°＝()A.eq\f(1－2\r(5),4)B．－eq\f(3＋\r(5),8)C．－eq\f(\r(5)＋1,4)D．－eq\f(4＋\r(5),8)10．[2024·湖南衡陽八中第四次月考](數(shù)列中的文化)元代數(shù)學家朱世杰在《算學啟蒙》中提及如下問題：今有銀一秤一斤十兩，令甲、乙、丙從上作折半差分之．其意思是：現(xiàn)有銀一秤一斤十兩，將銀分給甲、乙、丙三人，他們?nèi)嗣恳粋€人所得是前一個人所得的一半．若銀的數(shù)量不變，按此法將銀依次分給5個人，則得銀最少的3個人一共得銀(規(guī)定：1秤＝10斤，1斤＝10兩)()A.eq\f(266,127)兩B.eq\f(889,127)兩C.eq\f(840,31)兩D.eq\f(1111,31)兩11．[2024·吉林長春外國語學校期中](統(tǒng)計中的文化)中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌，古代用算籌(即幾寸長的小棍)擺在平面上進行運算，算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式，如圖所示．當表示一個多位數(shù)時，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式須要縱橫相間，其中個位、百位、萬位上的數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位上的數(shù)用橫式表示，以此類推．例如3266用算籌表示就是，則8771用算籌可表示為()A.B.C.D.12．[2024·安徽省高三聯(lián)考](生活中的文化)某校高一組織五個班的學生參與學農(nóng)活動，每班從“農(nóng)耕”“采摘”“釀酒”“野炊”“飼養(yǎng)”五項活動中選擇一項進行實踐，且各班的選擇互不相同，已知1班不選“農(nóng)耕”“采摘”；2班不選“農(nóng)耕”“釀酒”；3班既不選“野炊”，也不選“農(nóng)耕”；5班選擇“采摘”或“釀酒”．假如1班不選“釀酒”，那么4班不選“農(nóng)耕”．則選擇“飼養(yǎng)”的班級是()A．2班B．3班C．4班D．5班13．[2024·湖北八校聯(lián)考](三角函數(shù)中的文化)公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派通過探討正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)覺了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可表示為m＝2sin18°.若m2＋n＝4，則eq\f(1－2cos227°,3m\r(n))＝________.14．[2024·江蘇南京高三聯(lián)合體調(diào)研](概率中的文化)歐陽修在《賣油翁》中寫道：(翁)乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入，而錢不濕．可見“行行出狀元”，賣油翁的技術(shù)讓人嘆為觀止．若銅錢是直徑為4cm的圓，中間有邊長為acm的正方形孔，若隨機地向銅錢上滴一滴油，則油(油滴的大小忽視不計)正好落入孔中的概率為eq\f(1,4π)，則a＝________.15．[2024·陜西西安期中](數(shù)列中的文化)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家探討過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：三角形數(shù)N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n；正方形數(shù)N(n,4)＝n2；五邊形數(shù)N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n；六邊形數(shù)N(n,6)＝2n2－n；……可以推想N(n，k)的表達式，由此計算N(10,24)＝________.16．[2024·合肥市高三其次次教學質(zhì)量檢測](推理中的文化)為了考查考生對于數(shù)學學問形成過程的駕馭狀況，某高校自主招生考試面試中的一個問題是：寫出對數(shù)的換底公式，并加以證明．甲、乙、丙三名考生分別寫出了不同的答案．公布他們的答案后，三名考生之間有如下對話．甲說：“我答錯了．”乙說：“我答對了．”丙說：“乙答錯了．”評委看了他們的答案，聽了他們之間的對話后說：“你們?nèi)说拇鸢钢兄挥幸蝗耸钦_的，你們?nèi)说膶υ捴兄挥幸蝗苏f對了．”依據(jù)以上信息，面試問題答案正確的考生為________．熱點(十三)數(shù)學文化1．答案：B解析：設(shè)第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此類推，第一等人得金a10斤，則數(shù)列{an}構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d(d>0)，則每一等人比下一等人多得d斤金，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，a8＋a9＋a10＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，3a1＋24d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(8,13)，d＝\f(7,78)，))所以每一等人比下一等人多得eq\f(7,78)斤金．故選B.2．答案：D解析：這是一道函數(shù)與程序框圖相結(jié)合的題．當i＝1時，酒量為2x－1；當i＝2時，酒量為2(2x－1)－1＝4x－3；當i＝3時，酒量為2(4x－3)－1＝8x－7；當i＝4時，酒量為0，即2(4x－3)－1＝0，解得x＝eq\f(7,8).故選D.3．答案：C解析：由題意知，大女兒每五天回一次娘家，二女兒每四天回一次娘家，小女兒每三天回一次娘家，當?shù)仫L俗正月初二都要回娘家，則從正月初三算起的一百天內(nèi)，小女兒、二女兒和大女兒回娘家的天數(shù)分別是33,25,20，小女兒和二女兒、小女兒和大女兒、二女兒和大女兒同時回娘家的天數(shù)分別為8,6,5，三個女兒同一天回娘家的天數(shù)為1，因此，從正月初三算起的一百天內(nèi)，有女兒回娘家的天數(shù)為33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故選C.4．答案：A解析：在限行政策下，要保證每天至少有四輛車可以上路行駛，周一至周五每天只能有一輛車限行．由周末不限行，B車昨天限行知，今日不是周一，也不是周日；由E車周四限行且明天可以上路可知，今日不是周三；由E車周四限行，B車昨天限行知，今日不是周五；從今日算起，A，C兩車連續(xù)四天都能上路行駛，假如今日是周二，A，C兩車連續(xù)上路行駛到周五，只能同時在周一限行，不符合題意；假如今日是周六，則B車周五限行，又E車周四限行，所以A，C兩車連續(xù)上路行駛到周二，只能同時在周三限行，不符合題意．所以今日是周四．故選A.5．答案：C解析：設(shè)此人持金x斤，依據(jù)題意知第1關(guān)所收稅金為eq\f(x,2)斤；第2關(guān)所收稅金為eq\f(x,6)斤；第3關(guān)所收稅金為eq\f(x,12)斤；第4關(guān)所收稅金為eq\f(x,20)斤；第5關(guān)所收稅金為eq\f(x,30)斤，易知eq\f(x,2)＋eq\f(x,6)＋eq\f(x,12)＋eq\f(x,20)＋eq\f(x,30)＝1，解得x＝eq\f(6,5).則第5關(guān)所收稅金為eq\f(1,25)斤．故選C.6．答案：B解析：由題意，120對正實數(shù)對(x，y)中的x，y滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<10<y<1))，該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為1.正實數(shù)對(x，y)中的x，y能與1構(gòu)成鈍角三角形的三邊，則x，y需滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y>1x2＋y2－1<00<x<10<y<1))，該不等式組表示的平面區(qū)域的面積為eq\f(π,4)－eq\f(1,2)，則eq\f(π,4)－eq\f(1,2)≈eq\f(34,120)，eq\f(π,4)≈eq\f(94,120)，π≈eq\f(47,15)，故選B.7．答案：D解析：對公式M＝lgA－lgA0進行轉(zhuǎn)化得M＝lgeq\f(A,A0)，即eq\f(A,A0)＝10M，A＝A0·10M，當M＝7時，地震震波的最大振幅為A7＝A0·107，當M＝5時，地震震波的最大振幅為A5＝A0·104，則eq\f(A7,A5)＝eq\f(A0·107,A0·105)＝100.故選D.8．答案：C解析：依據(jù)題意得，該陽馬的最長棱長為D1B＝eq\r(4＋9＋16)＝eq\r(29).故選C.9．答案：C解析：由題意可知∠ACB＝72°，且cos72°＝eq\f(\f(1,2)BC,AC)＝eq\f(\r(5)－1,4)，所以cos144°＝2cos272°－1＝－eq\f(\r(5)＋1,4)，所以sin234°＝sin(144°＋90°)＝cos144°＝－eq\f(\r(5)＋1,4).故選C.10．答案：C解析：一秤一斤十兩共120兩，將這5人所得銀的數(shù)量由小到大排列，記為數(shù)列{an}，則{an}是公比q＝2的等比數(shù)列，于是得S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(a11－25,1－2)＝120，解得a1＝eq\f(120,31).故得銀最少的3個人一共得銀的數(shù)量為a1＋a2＋a3＝eq\f(120,31)×(1＋2＋22)＝eq\f(840,31)(兩)．故選C.11．答案：A解析：依據(jù)題意得，個位、百位、萬位上的數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位上的數(shù)用橫式表示，所以8771用算籌可表示為.故選A.12．答案：B解析：通解由題意可知五個班級和五項活動一一對應，作出如下表格(不選活動項目打“×”，選擇活動項目打“√”)，當5班選“采摘”時，則4班選“農(nóng)耕”，依據(jù)假如1班不選“釀酒”，那么4班不選“農(nóng)耕”，得1班選“釀酒”，再依據(jù)五個班級和五項活動一一對應，易得選“飼養(yǎng)”的是3班．農(nóng)耕采摘釀酒野炊飼養(yǎng)1班××√2班××√3班××√4班√5班√當5班選“釀酒”時，則4班選“農(nóng)耕”，依據(jù)假如1班不選“釀酒”，那么4班不選“農(nóng)耕”，得1班選“釀酒”，則1班和5班都選“釀酒”，與題意沖突，舍去這種狀況．綜上可知，選B.優(yōu)解由題意知，1班、2班、3班、5班均不選“農(nóng)耕”，所以4班選“農(nóng)耕”，依