3.1.1-函數(shù)及其表示方法教學(xué)設(shè)計(jì)

第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.1函數(shù)及其表示方法教學(xué)設(shè)計(jì)函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，在解決實(shí)際問(wèn)題匯總發(fā)揮重要作用。函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫(huà)變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，也把函數(shù)理解為實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；能用代數(shù)運(yùn)算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)；在現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中，能利用函數(shù)構(gòu)建模型，解決問(wèn)題。【教學(xué)目標(biāo)】1、在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上，用集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫(huà)函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會(huì)集合語(yǔ)言和對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用。了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域。在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù)，理解函數(shù)圖象的作用。3、通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用?！竞诵乃仞B(yǎng)】數(shù)學(xué)抽象：兩個(gè)變量關(guān)系中提出函數(shù)概念.直觀想象：用圖像法表示函數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算:對(duì)函數(shù)的定義域、值域的計(jì)算。數(shù)據(jù)分析：函數(shù)定義域和應(yīng)用數(shù)據(jù)的有效性?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法）表示函數(shù).了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用（函數(shù)分段不超過(guò)三段）.【教學(xué)難點(diǎn)】求函數(shù)的定義域和值域回顧初中所學(xué)的函數(shù)，在情境與問(wèn)題中感受高中函數(shù)表達(dá)方式與初中的不同。一、函數(shù)的概念我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一些函數(shù)的知識(shí)，例如已經(jīng)總結(jié)出：在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量；在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么就稱y是x的函數(shù).再例如，我們知道y=2x是正比例函數(shù)，y=-3x-1是一次函數(shù)，y=-2是反比例函數(shù)，y=x2+2x-3是二次函數(shù)，等等。（1）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的課題組公布，如果將2005年中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來(lái)中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示。以y表示年度值，（1）國(guó)家統(tǒng)計(jì)局的課題組公布，如果將2005年中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)記為100，近些年來(lái)中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)的情況如下表所示。以y表示年度值，i表示中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)的取值，則i是y的的函數(shù)嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)用數(shù)學(xué)符號(hào)可以怎樣表示？（2）利用醫(yī)療儀器可以方便地測(cè)量出心臟在各時(shí)刻的指標(biāo)值，據(jù)此可以描繪出心電圖，如下圖所示。醫(yī)生在看心電圖時(shí)，會(huì)根據(jù)圖形的整體形態(tài)來(lái)給出診斷結(jié)果（如根據(jù)兩個(gè)峰值的間距來(lái)得出心率等）.如果用t表示測(cè)量的時(shí)間，v表示測(cè)量的指標(biāo)值，則v是t的函數(shù)嗎？如果是，這個(gè)函數(shù)用數(shù)學(xué)符號(hào)可以怎樣表示？初中實(shí)際上是用變量的觀點(diǎn)和解析式來(lái)描述函數(shù)的，但從情境與問(wèn)題中的兩個(gè)實(shí)例可知，初中的方法有一定的局限性：情境與問(wèn)題中的i是y的函數(shù)，v是t的函數(shù)，但是這兩個(gè)函數(shù)與初中的函數(shù)有所不同，比如都很難用一個(gè)解析式表示，而且每個(gè)變量的取值范圍也有了限制，等等。一般地，給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A與B，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f，如果對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y與x對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍（即數(shù)集A）稱為這個(gè)函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y=f（x），x∈A}稱為函數(shù)的值域.函數(shù)的這種定義強(qiáng)調(diào)的是“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，對(duì)應(yīng)關(guān)系也可用其他小寫(xiě)英文字母如g，h等表示。值得注意的是，這種函數(shù)的表示中，自變量與因變量用什么字母來(lái)表示是無(wú)關(guān)緊要的，例如函數(shù)f（x）=2x+1，x∈R與y=2s+1，s∈R應(yīng)該看成同一個(gè)函數(shù).習(xí)慣上，人們總用x表示自變量，y表示因變量.更一般地，如果兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同（即對(duì)自變量的每一個(gè)值，兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式得到的函數(shù)值都相等），則稱這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式表示的就是同一個(gè)函數(shù).例如y=，，x∈R與g（x）=|x|，x∈R表示同一個(gè)函數(shù).在表示函數(shù)時(shí)，如果不會(huì)產(chǎn)生歧義，函數(shù)的定義域通常省略不寫(xiě)，此時(shí)就約定：函數(shù)的定義域就是使得這個(gè)函數(shù)有意義的所有實(shí)數(shù)組成的集合。在上述約定下，以下表達(dá)式都可以表示函數(shù)f（x）=2x+1，x∈R：f（x）=2x+1，y=2x+1.【典型例題】例1求下列函數(shù)的定義域：（1）f（x）=（2）g（x）=解（1）因?yàn)楹瘮?shù)有意義當(dāng)且僅當(dāng)x+1≥0解得x＞-1，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，+∞）（2）因?yàn)楹瘮?shù)有意義當(dāng)且僅當(dāng)x≠0x+2≠0解得x≠0且x≠-2，因此函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-2）∪（-2，0）∪（0，+∞）以下都是求函數(shù)定義域常用的依據(jù)：（1）分式中分母不能為零；（2）二次根式中的被開(kāi)方數(shù)要大于或等于零.例2設(shè)函數(shù)g（x）=的值域?yàn)镾，分別判斷-和3是否是S中的元素.解由于≥0恒成立，所以=-無(wú)解，因此-?S.當(dāng)=3時(shí)，可解得x=8，即g（8）=3，所以3∈S.例2的解法，實(shí)質(zhì)上是在用方程判斷一個(gè)數(shù)是否屬于函數(shù)的值域.例3已知f(x)=（1）求f（-1），f（0）和f（2）；（2）求函數(shù)f（x）的值域.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】判斷方程判斷方程是否有解，由此給出求函數(shù)f（x）值域的一種方法。解（1）由已知可得f（-1）=f（0）=f（2）=（2）（方法一）因?yàn)閤≥0，所以x2+1≥1恒成立，從而可知又因?yàn)楫?dāng)x的絕對(duì)值逐漸變大時(shí)，函數(shù)值會(huì)逐漸接近于0，但不會(huì)等于0，因此所求函數(shù)的值域?yàn)椋?，1].（方法二）假設(shè)t是所求值域中的元素，則關(guān)于x的方程應(yīng)該有解，即應(yīng)該有解，從而即解得0<t≤1.因此所求值域?yàn)椋?，1].例3（2）中的方法一實(shí)質(zhì)上用的是不等式的性質(zhì).二、函數(shù)的表示方法前面我們所接觸到的函數(shù)y=f（x）中，絕大多數(shù)f（x）都是用代數(shù)式（或解析式）來(lái)表示的，例如f（x）=2x+1，這種表示函數(shù)的方法稱為解析法.前面給出的關(guān)于中國(guó)創(chuàng)新指數(shù)的函數(shù)，實(shí)際上是用列表的形式給出了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為列表法.如果將這個(gè)函數(shù)記為i=f（y），則從表格中可以看出f（2013）=152.6，f（2015）=171.5另外，如果將這個(gè)函數(shù)的定義域記為D，值域記為S，則有D={2008，2009，2010，2011，2012，2013，2014，2015}，S={116.5,125.5,131.8,139.6,148.2,152.6,158.2,171.5}前面給出的與心電圖有關(guān)的函數(shù)，實(shí)際上是用圖的形式給出了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.一般地，將函數(shù)y=f（x），x∈A中的自變量x和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，分別看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，則滿足條件的點(diǎn)（x，y）組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即F={（x，y）|y=f（x），x∈A）.這就是說(shuō)，如果F是函數(shù)y=f（x）的圖像，則圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足函數(shù)關(guān)系y=f（x）；反之，滿足函數(shù)關(guān)系y=f（x）的點(diǎn)（x，y）都在函數(shù)的圖像F上.用函數(shù)的圖像表示函數(shù)的方法稱為圖像法.從理論上來(lái)說(shuō)，要作出一個(gè)函數(shù)的圖像，只需描出所有點(diǎn)即可.但是，很多函數(shù)的圖像都由無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)組成，描出所有點(diǎn)并不現(xiàn)實(shí).因此，實(shí)際作圖時(shí)，經(jīng)常先描出函數(shù)圖像上一些有代表性的點(diǎn)，然后再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)作出函數(shù)圖像，這稱為描點(diǎn)作圖法.例如，我們知道，一次的數(shù)y=-x+1的圖像是一條直線，又易知圖像過(guò)點(diǎn)（0，1）和（1，0），所以容易作出其圖像如下圖所示.【典型例題】例4北京市自2014年5月1日起，居民用水實(shí)行階梯水價(jià)：年用水量不超過(guò)180m3的部分，水價(jià)為5元/m3；超過(guò)180m3但不超過(guò)260m3的部分，水價(jià)為7元/m3.如果北京市一居民年用水量為xm3，其要繳納的水費(fèi)為f（x）元。假設(shè)0≤x≤260，試寫(xiě)出f（x）的解析式，并作出f（x）的圖像.解如果x∈[0，180]，則f（x）=5x；如果x∈（180，260]，按照題意有f（x）=5×80+7（x-180）=7x-360.因此f（x）=5x，x∈[0，180]7x-360，x∈（180，260]注意到f（x）在不同的區(qū)間上，解析式都是一次函數(shù)的形式，因此y=f（x）在每個(gè)區(qū)間上的圖像都是直線的一部分，又因?yàn)閒（180）=5×180=900，f（260）=7×60-360=1460，由此可作出函數(shù)圖像如下所示.如果一個(gè)函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù).【嘗試與發(fā)現(xiàn)】函數(shù)D（x）=1，函數(shù)D（x）=1，x∈Q=0，x?Q被稱為秋利克雷函數(shù)，你能說(shuō)出這個(gè)函數(shù)的定義域、值域嗎？你能作出這個(gè)函數(shù)的圖像嗎？可以看出，狄利克雷函數(shù)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閧0，1}，但它的圖像不能形象地展示出來(lái)。例5設(shè)x為任意一個(gè)實(shí)數(shù)，y是不超過(guò)x的最大整數(shù)，判斷這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)。如果是，作出這個(gè)函數(shù)的圖像；如果不是，說(shuō)明理由。【嘗試與發(fā)現(xiàn)】依照題意填寫(xiě)下表，然后判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)。依照題意填寫(xiě)下表，然后判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)。解因?yàn)楫?dāng)n∈Z且x∈[n，n+1）時(shí)，有y=n，因?yàn)槿魏我粋€(gè)實(shí)數(shù)x，都必定在某個(gè)形如[n，n+1）的區(qū)間內(nèi).因此給定一個(gè)x，有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，所以這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)。由上可看出，在每一個(gè)區(qū)間[n，n+1）內(nèi)，函數(shù)的圖像是直線的一部分，由此可作出這個(gè)函數(shù)的圖像如下圖所示。例5中的函數(shù)通常稱為取整函數(shù)，記作y=[x]，其定義域是R，值域是Z這個(gè)函數(shù)早在18世紀(jì)就被“數(shù)學(xué)王子”高斯提出，因此也被稱為高斯取整函數(shù).在以后的學(xué)習(xí)中，我們還會(huì)碰到值域只有一個(gè)元素的函數(shù)，這類(lèi)函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù).也就是說(shuō)，常數(shù)函數(shù)中所有自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都相等.例如f（x）=7，x∈R是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，它的值域是{7}，圖像是一條垂直于y軸的直線.例6已知函數(shù)y=，指出這個(gè)函數(shù)的定義域、值域，并作出這個(gè)函數(shù)的圖像.解函數(shù)的定義域?yàn)閇0，+∞）.由y=在y≥0時(shí)有解可知，函數(shù)的值域?yàn)閇0，+∞）.通過(guò)描點(diǎn)作圖法，可以作出這個(gè)函數(shù)的圖像如下圖所示.由上可以看出，函數(shù)可以通過(guò)多種方式表示，而且函數(shù)的解析式也具有多種形式.在確定函數(shù)的解析式時(shí)，可以借助方程或方程組的知識(shí)，使用待定系數(shù)法完成，如例7所示.例7已知二次函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)（-1，4），（0，1），（1，2），求這個(gè)二次函數(shù)的解析式.解設(shè)函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），則a-b+c=4，c=1，a+b+c=2.由此可解得a=2，b=-1，c=1，因此所求函數(shù)解析式為y=2x2-x+1.例8已知f（x）=x2，求f（x-1）.【嘗試與發(fā)現(xiàn)】求出f（求出f（0），f（1），f（2）的值，再求出f（a），f（a-1）.解由已知可得f（x-1）=(x-1)2=x2-2x+1.例8中，如果設(shè)g（x）=f（x-1），則有g(shù)（x）=x2-2x+1，因此g（x）與f（x）是不同的函數(shù).【探索與研究】已知f（已知f（x-1）=x2，你能求出f（x）的解析式嗎？試總結(jié)f（x）與f（x-1）的關(guān)系.三、用信息技術(shù)作函數(shù)圖像