高考數(shù)學(xué)（北師大版文）練習(xí)第十二章　推理與證明算法復(fù)數(shù)第4講　復(fù)數(shù)

第4講復(fù)數(shù)一、選擇題1．(2015·福建卷)若(1＋i)＋(2－3i)＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數(shù)單位)，則a，b的值分別等于()A．3，－2B．3,2C．3，－3D．－1,4解析(1＋i)＋(2－3i)＝3－2i＝a＋bi，∴a＝3，b＝－2，故選A.答案A2．(2016·四川卷)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1＋i)2＝()A．0B．2C．2iD．2＋2i解析(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，故選C.答案C3．(2016·山東卷)若復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,1－i)，其中i為虛數(shù)單位，則eq\x\to(z)＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析∵z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，∴eq\x\to(z)＝1－i，故選B.答案B4．(2015·安徽卷)設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1－i)(1＋2i)＝()A．3＋3iB．－1＋3iC．3＋iD．－1＋i解析(1－i)(1＋2i)＝1＋2i－i－2i2＝3＋i.答案C5．復(fù)數(shù)eq\f(1－i,2－i)對應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析復(fù)數(shù)eq\f(1－i,2－i)＝eq\f(1－i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(3,5)－eq\f(1,5)i，∴其對應(yīng)的點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))，在第四象限，故選D.答案D6．(2017·北京東城綜合測試)若復(fù)數(shù)(m2－m)＋mi為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A．－1B．0C．1D．2解析因?yàn)閺?fù)數(shù)(m2－m)＋mi為純虛數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m＝0，,m≠0，))解得m＝1，故選C.答案C7．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋2i,2－i)(i為虛數(shù)單位)，則z的虛部為()A．－1B．0C．1D．i解析∵z＝eq\f(1＋2i,2－i)＝eq\f(1＋2i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(5i,5)＝i，故虛部為1.答案C8．設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A．若z2≥0，則z是實(shí)數(shù) B．若z2＜0，則z是虛數(shù)C．若z是虛數(shù)，則z2≥0 D．若z是純虛數(shù)，則z2＜0解析舉反例說明，若z＝i，則z2＝－1＜0，故選C.答案C9．(2015·全國Ⅰ卷)已知復(fù)數(shù)z滿足(z－1)i＝1＋i，則z等于()A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i解析由(z－1)i＝1＋i，兩邊同乘以－i，則有z－1＝1－i，所以z＝2－i.答案C10．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是()A．若|z1－z2|＝0，則eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，則eq\x\to(z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，則z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若|z1|＝|z2|，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)解析A中，|z1－z2|＝0，則z1＝z2，故eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2，成立．B中，z1＝eq\x\to(z)2，則eq\x\to(z)1＝z2成立．C中，|z1|＝|z2|，則|z1|2＝|z2|2，即z1eq\x\to(z)1＝z2eq\x\to(z)2，C正確．D不一定成立，如z1＝1＋eq\r(3)i，z2＝2，則|z1|＝2＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝－2＋2eq\r(3)i，zeq\o\al(2,2)＝4，zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2).答案D11．(2017·河北省三市聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z＝eq\f(a＋3i,i)＋a在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a可以是()A．－4 B．－3C．1 D．2解析因?yàn)閦＝eq\f(a＋3i,i)＋a＝(3＋a)－ai在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，所以a<－3，選A.答案A12．(2016·全國Ⅰ卷)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2解析由(1＋i)x＝1＋yi，得x＋xi＝1＋yi?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＝y(tǒng)))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))所以|x＋yi|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(2)，故選B.答案B二、填空題13．(2016·江蘇卷)復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，則z的實(shí)部是________．解析(1＋2i)(3－i)＝3＋5i－2i2＝5＋5i，所以z的實(shí)部為5.答案514．(2015·四川卷)設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)i－eq\f(1,i)＝________.解析i－eq\f(1,i)＝i－eq\f(i,i2)＝2i.答案2i15．(2015·江蘇卷)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2＝3＋4i(i是虛數(shù)單位)，則z的模為________．解析設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi，a，b∈R，則z2＝a2－b2＋2abi＝3＋4i，a，b∈R，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,2ab＝4))(a，b∈R)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－1，))則z＝±(2＋i)，故|z|＝eq\r(5).答案eq\r(5)16．若eq\f(3＋bi,1－i)＝a＋bi(a，b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝________.解析eq\f(3＋bi,1－i)＝eq\f(3＋bi1＋i,2)＝eq\f(1,2)[(3－b)＋(3＋b)i]＝eq\f(3－b,2)＋eq\f(3＋b,2)i.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3－b,2)，,b＝\f(3＋b,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝3.))∴a＋b＝3.答案317.若i為虛數(shù)單位，圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)eq\f(z,1＋i)的點(diǎn)是()A．E B．FC．G D．H解析由題圖知復(fù)數(shù)z＝3＋i，∴eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.∴表示復(fù)數(shù)eq\f(z,1＋i)的點(diǎn)為H.答案D18.eq\x\to(z)是z的共軛復(fù)數(shù)，若z＋eq\x\to(z)＝2，(z－eq\x\to(z))i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z等于()A．1＋iB．－1－iC．－1＋iD．1－i解析法一設(shè)z＝a＋bi，a，b為實(shí)數(shù)，則eq\x\to(z)＝a－bi.∵z＋eq\x\to(z)＝2a＝2，∴a＝1.又(z－eq\x\to(z))i＝2bi2＝－2b＝2，∴b＝－1.故z＝1－i.法二∵(z－eq\x\to(z))i＝2，∴z－eq\x\to(z)＝eq\f(2,i)＝－2i.又z＋eq\x\to(z)＝2，∴(z－eq\x\to(z))＋(z＋eq\x\to(z))＝－2i＋2，∴2z＝－2i＋2，∴z＝1－i.答案D19．(2014·全國Ⅰ卷)設(shè)z＝eq\f(1,1＋i)＋i，則|z|＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3),2)D．2解析∵z＝eq\f(1,1＋i)＋i＝eq\f(1－i,1＋i1－i)＋i＝eq\f(1－i,2)＋i＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)，故選B.答案B20．(2017·安徽師大附中月考)已知復(fù)數(shù)z＝(cosθ－isinθ)·(1＋i)，則“z為純虛數(shù)”的一個(gè)充分不必要條件是()A．θ＝eq\f(π,4)B．θ＝eq\f(π,2)C．θ＝eq\f(3π,4)D．θ＝eq\f(5π,4)解析因?yàn)閦＝(cosθ＋sinθ)＋(cosθ－sinθ)i，所以當(dāng)θ＝eq\f(3π,4)時(shí)，z＝－eq\r(2)i為純虛數(shù)，當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，θ＝kπ－eq\f(π,4).故選C.答案C21．(2017·哈爾濱六中期中)若復(fù)數(shù)z滿足i·z＝－eq\f(1,2)(1＋i)，則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部是()A．－eq\f(1,2)iB.eq\f(1,2)iC．－eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)解析i·z＝－eq\f(1,2)(1＋i)?z＝eq\f(－\f(1,2)1＋i,i)＝eq\f(－\f(1,2)1＋i·i,i·i)＝eq\f(1,2)(－1＋i)，則z的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)(－1－i)，其虛部是－eq\f(1,2).答案C22．(2017·陜西高三四校聯(lián)考)i是虛數(shù)單位，若eq\f(2＋i,1＋i)＝a＋bi(a，b∈R)，則lg(a＋b)的值是()A．－2B．－1C．0D.eq\f(1,2)解析∵eq\f(2＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(3－i,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i＝a＋bi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝－\f(1,2)，))∴l(xiāng)g(a＋b)＝lg1＝0.答案C23．下面是關(guān)于復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)的四個(gè)命題：p1：|z|＝2;p2：z2＝2i；p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i;p4：z的虛部為－1.其中真命題為()A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p解析∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，∴p1是假命題；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命題；∵eq\x\to(z)＝－1＋i，∴p3是假命題；∵z的虛部為－1，∴p4是真命題．其中真命題共有2個(gè)：p2，p4.答案C24．(2017·廣州綜合測試)若1－i(i是虛數(shù)單位)是關(guān)于x的方程x2＋2px＋q＝0(p，q∈R)的一個(gè)解，則p＋q＝()A．－3B．－1C．1D．3解析依題意得(1－i)2＋2p(1－i)＋q＝(2p＋q)－2(p＋1)i＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2p＋q＝0，,p＋1＝0，))解得p＝－1，q＝2，所以p＋q＝1，故選C.答案C25．復(fù)數(shù)(3＋i)m－(2＋i)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________．解析z＝(3m－2)＋(m－1)i，其對應(yīng)點(diǎn)(3m－2，m－1)在第三象限內(nèi)，故3m－2<0且m－1<0，∴m<eq\f(2,3).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))26．設(shè)f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈N＋)，則集合{f(n)}中元素的個(gè)數(shù)為________．解析f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3個(gè)元素．答案327．已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值為________．解析∵|z－2|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由圖可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).答案eq\r(3)28．定義運(yùn)算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(a),\s\do5(c))\o(\s\up7(b),\s\do5(d))))＝ad－bc.若復(fù)數(shù)x＝eq\f(1－i,1＋i)，y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\