黑龍江省高三下學期第四次模擬考試數(shù)學

2023~2024學年度高三年級第四次模擬數(shù)學注意事項：1.本卷滿分150分，考試時間120分鐘.答題前，先將自己的姓名?準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.若，則的虛部為（）A.1B.1C.3D.33.佛蘭德現(xiàn)代藝術中心是比利時洛默爾市的地標性建筑，該建筑是一座全玻璃建筑，整體成圓錐形，它利用現(xiàn)代設計手法令空間與其展示的藝術品無縫交融，形成一個統(tǒng)一的整體，氣勢恢宏，美輪美央.佛蘭德現(xiàn)代藝術中心的底面直徑為，高為，則該建筑的側面積為（）A.B.C.D.4.現(xiàn)有紅色?黃色?藍色的小球各4個，從中任取3個小球，若這3個小球顏色不全相同，則不同取法有（）A.160種B.208種C.256種D.472種5.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.已知內(nèi)角的對邊分別為，動點位于線段上，則的最小值為（）A.0B.C.D.7.已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為，則（）A.4B.0C.2D.48.已知點是拋物線準線上的一點，過點作的兩條切線，切點分別為，則原點到直線距離的最大值為（）A.B.C.D.1二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，極差為，由這數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則對于所得新數(shù)據(jù)，下列說法一定正確的是（）A.平均數(shù)是B.中位數(shù)是C.方差是D.極差是10.加斯帕爾?蒙日（如圖1）是18~19世紀法國著名的幾何學家，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓則被稱為“蒙日圓”（如圖2）.已知矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說法正確的是（）A.橢圓的離心率為B.橢圓與橢圓有相同的焦點C.橢圓的蒙日圓方程為D.矩形的面積最大值為5011.已知函數(shù)是定義域為的可導函數(shù)，.若是奇函數(shù)，且的圖象關于直線對稱，則（）A.B.曲線在點處的切線的斜率為2C.是的導函數(shù)D.的圖象關于點對稱三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知，則__________.13.已知過點的動直線與圓交于兩點，為的中點，則直線的斜率的取值范圍是__________，為坐標原點的取值范圍為__________.14.如圖，中，分別是邊上的點，，將沿折起，點折起后的位置記為點，得到四棱錐，則四棱錐體積的最大值為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）已知等差數(shù)列的公差與的等差中項為5，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設求數(shù)列的前20項和.16.（15分）隨著經(jīng)濟的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識日益提升，越來越多的人走向公園?場館，投入健身運動中，成為一道美麗的運動風景線.某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時長情況，隨機抽取400人進行調(diào)査，得到如下表的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：周平均鍛煉時間少于5小時周平均鍛煉時間不少于5小時合計50歲以下8012020050歲以上（含50）50150200合計130270400（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為周平均鍛煉時長與年齡有關聯(lián)？（2）現(xiàn)從50歲以上（含50）的樣本中按周平均鍛煉時間是否少于5小時，用分層隨機抽樣法抽取8人做進一步訪談，再從這8人中隨機抽取3人填寫調(diào)査問卷.記抽取3人中周平均鍛煉時間不少于5小時的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.0250.010.0050.0015.0246.6357.87910.82817.（15分）如圖，在直三棱杜中，為的中點.（1）證明：平面；（2）若二面角的余弦值為，求點到平面的距離.18.（17分）已知雙曲線的一條漸近線方程為，點在上.（1）求雙曲線的方程；（2）過雙曲線的左焦點作互相垂直的兩條直線，且與交于兩點，與交于兩點，為線段的中點，為線段的中點，證明：直線過定點.19.（17分）若函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)，有恒成立，則稱函數(shù)為“增函數(shù)”.（1）求證：函數(shù)不是“增函數(shù)”；（2）若函數(shù)是“增函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；（3）設，若曲線在處的切線方程為，求的值，并證明函數(shù)是“增函數(shù)”.2023~2024學年度高三年級第四次模擬·數(shù)學參考答案?提示及評分細則1.C由題意得，則，則，故錯誤；，則，故B錯誤；又，故C正確；，故錯誤.2.A因為，所以，所以，所以，則的虛部為1.3.C由題知該建筑的母線長為，則其側面積為.4.B若取出的3個球顏色各不相同，不同的取法有種；若取出的2個球顏色不同，可能出現(xiàn)的取法有紅1黃2，紅1藍2，紅2黃1，紅2藍1，黃1藍2，黃2藍1，即144，故不同取法有種.（從中任取3個球共有種取法，3個球顏色全相同共有12種取法，則顏色不全相同的取法有種.）5.D因為，所以，因為函數(shù)在區(qū)間恰有3條對稱軸，所以，解得.6.C由題知，而，所以當時，有最小值為.7.A令，所以最大值和最小值分別為，又，故為奇函數(shù)，故的圖象關于原點對稱，故.8.D設，由題意可知的斜率存在且不為0，不妨設，聯(lián)立方程得，所以由直線與拋物線相切可得，解得，所以，又因為在直線上，所以有，同理可得，若，則，即的直線方程為，則到的距離為1；若，則，兩式聯(lián)立消得：，所以，所以，整理得，所以到直線距離，綜上，.9.BC的平均數(shù)是，中位數(shù)是，方差是，極差是.10.ABD由題知栯圓中，，所以，故A正確；橢圓中，，故焦點與橢圓相同，B正確；因為矩形的四邊均與橢圓相切，所以點，即在蒙日圓上，故半徑，可得橢圓的蒙日圓方程為，故錯誤；設矩形的邊長分別為，則有，所以矩形的面積等于50，當且僅當時取等號，故D正確.11.BC由題意有，令，有，故錯誤；，令得，故B正確；為奇函數(shù)，即，又因為，所以，所以，所以，即，故C正確；因為，所以，得，即關于對稱，所以，即關于對稱，故D錯誤.12.因為，而，因此，則，所以.13.（2分）（3分）設，直線的方程為.由，得，所以，解得；由，可得，所以，又若直線與圓相切于點，易得，當與重合時，取最大值，所以.14.當?shù)酌娴拿娣e一定時，當平面平面，即平面時，四棱錐的體積最大，設，則，令，則，令，解得或（舍），當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最大值，即四棱錐的體積最大值為.15.解：（1）因為為等差數(shù)列，與的等差中項為5，所以.又，解得或因為公差，所以，所以，所以，得，所以.（2）由（1）得：，則所以.16.解：（1）零假設周平均鍛煉時長與年齡無關聯(lián).由表格數(shù)據(jù)得：，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為周平均鍛煉時長與年齡有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01.（2）抽取的8人中，周平均鍛煉時長少于5小時的有人，不少于5小時的有人，則所有可能的取值為，所以；所以的分布列為：123所以數(shù)學期望.17.（1）證明：由直三棱柱的性質(zhì)可知，四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為正方形，所以.在直三棱柱中，平面平面，由得，因為平面平面，所以平面，因為平面，所以，因為平面平面，所以平面.（2）解：以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，.設為平面的一個法向量，則，即令，則，即，又平面的一個法向量為，設二面角的大小為，則，解得.則，平面的一個法向量由題意，.即點到平面的距離為.18.（1）解：由雙曲線的一條漸近線方程為，且點在上，有解得故雙曲線的方程為.（2）證明：由題意可知不與漸近線平行，當與坐標軸平行時，顯然直線與軸重合.當不與坐標軸平行時，左焦點為，不妨設直線的方程為，聯(lián)立消去并整理得，，設，則所以，所以.又直線互相垂直，用替換，則可得.當，即時，直線的方程為，直線過；當時，直線的斜率為，所以直線的方程為，令，所以直線過.綜