【整合學(xué)案】11.3.3　平面與平面平行

高中數(shù)學(xué)精選資源2/211.3.3學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.掌握空間兩個平面的位置關(guān)系，并會判斷．(重點)2.掌握空間平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能應(yīng)用這兩個定理解決問題．(重點)3.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．(難點)1.通過學(xué)習(xí)空間兩平面的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2.借助兩平面平行的判定與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).1．兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖示表示法公共點個數(shù)兩平面平行α∥β0個兩平面相交α∩β＝l無數(shù)個點(共線)思考：如何從有無公共點的角度理解兩平面位置關(guān)系？[提示]如果兩個平面有一個公共點，那么由基本事實3可知：這兩個平面相交于過這個點的一條直線；如果兩個平面沒有公共點，那么就說這兩個平面相互平行．2．平面與平面平行的判定定理與推論語言敘述符號表示圖形表示如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面，那么這兩個平面平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?α，m?α,l∩m≠,l∥β，m∥β))?α∥β推論：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行．3．平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行符號語言α∥β，α∩γ＝l，β∩γ＝m?l∥m圖形語言推論：兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例．1．已知平面α∥平面β，過平面α內(nèi)的一條直線a的平面γ，與平面β相交，交線為直線b，則a，b的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．不確定A[由面面平行的性質(zhì)定理可知選項A正確．]2．底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，與平面BB1A．平面AA1D1D B．平面AA1B1BC．平面DD1C1A[根據(jù)圖形及平面平行的判定定理知，平面BB1C1C∥平面AA1D3．如果在兩個平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩個平面的位置關(guān)系一定是()A．平行B．相交C．平行或相交D．不能確定C[如圖所示，由圖可知C正確．]4．下列命題：①兩個平面有無數(shù)個公共點，則這兩個平面重合；②若l，m是異面直線，l∥α，m∥β，則α∥β.其中錯誤命題的序號為________．①②[對于①，兩個平面相交，則有一條交線，也有無數(shù)多個公共點，故①錯誤；對于②，借助于正方體ABCD-A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB與B1C1異面，而平面DCC1D1與平面AA1D1D平面與平面間的位置關(guān)系【例1】已知下列說法：①若兩個平面α∥β，aα，bβ，則a∥b；②若兩個平面α∥β，aα，bβ，則a與b是異面直線；③若兩個平面α∥β，aα，bβ，則a與b一定不相交；④若兩個平面α∥β，aα，bβ，則a與b平行或異面；⑤若兩個平面α∩β＝b，aα，則a與β一定相交．其中正確的是________(將你認為正確的序號都填上)．③④[①錯．a(chǎn)與b也可能異面；②錯．a(chǎn)與b也可能平行；③對．因為α∥β，所以α與β無公共點．又因為aα，bβ，所以a與b無公共點；④對．由已知及③知：a與b無公共點，那么a∥b或a與b異面；⑤錯．a(chǎn)與β也可能平行．]兩個平面的位置關(guān)系有兩種：平行和相交，沒有公共點則平行，有公共點則相交．熟練掌握這兩種位置關(guān)系，并借助圖形來說明，是解決本題的關(guān)鍵．1．已知a，b是兩條異面直線，平面α過a且與b平行，平面β過b且與a平行，則平面α與平面β的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或相交A[如圖，在b上任取一點P，設(shè)a與點P確定的平面為γ，γ∩β＝c，因為a∥β，所以a∥c，又aα，cα，所以c∥α，因為c∩b＝P，又c∥α，b∥α，cβ，bβ，所以α∥β.]平面與平面平行的判定【例2】已知正方形ABCD與菱形ABEF所在平面相交，求證：平面BCE∥平面ADF.[思路探究]由四邊形ABCD是正方形，證得BC∥平面ADF，由四邊形ABEF為菱形，證得BE∥平面ADF，即可利用面面平行的判定定理，證得平面BCE∥平面ADF.[證明]因為四邊形ABCD是正方形，所以BC∥AD.因為BC平面ADF，AD平面ADF，所以BC∥平面ADF.因為四邊形ABEF是菱形，所以BE∥AF.因為BE平面ADF，AF平面ADF，所以BE∥平面ADF.因為BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE＝B，所以平面BCE∥平面ADF.常見面面平行的判定方法(1)定義法：兩個平面沒有公共點．(2)判定定理法：轉(zhuǎn)化為線面平行．(3)平行平面的傳遞性：兩個平面都和第三個平面平行，則這兩個平面平行．(4)利用平面與平面平行的判定定理的推論：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線，則這兩個平面平行．即：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα，bα，a∩b＝P,a′β，b′β，a′∩b′＝P′,a∥a′，b∥b′))?α∥β.2.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形．點M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.[證明]因為PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP.又因為BP平面PBC，NQ平面PBC，所以NQ∥平面PBC.因為四邊形ABCD為平行四邊形．所以BC∥AD，所以MQ∥BC.又因為BC平面PBC，MQ平面PBC，所以MQ∥平面PBC.又因為MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC.面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用[探究問題]1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點．你能證明直線EG∥平面BDD1B1[提示]如圖，連接SB，∵E，G分別是BC，SC的中點，∴EG∥SB.又∵SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1.∴直線EG∥平面BDD1B1.2．上述問題中，條件不變，請證明平面EFG∥平面BDD1B1.[提示]連接SD.∵F，G分別是DC，SC的中點，∴FG∥SD.又∵SD平面BDD1B1，F(xiàn)G平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.又EG∥平面BDD1B1，且EG平面EFG，F(xiàn)G平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.【例3】如圖，已知平面α∥β，Pα，且Pβ，過點P的直線m與α，β分別交于A，C，過點P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD＝________.[思路探究]面面平行?線線平行?分線段比例相等．eq\f(24,5)[因為AC∩BD＝P，所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD，因為α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD).所以BD＝eq\f(24,5).]1．將本例改為：若點P位于平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長．[解]與本例同理，可證AB∥CD.所以eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，即eq\f(6,3)＝eq\f(BD－8,8)，所以BD＝24.2．將本例改為：已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點A，B，C與D，E，F(xiàn).已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，求AC.[解]由題圖可知eq\f(DE,DF)＝eq\f(AB,AC)?AC＝eq\f(DF,DE)·AB＝eq\f(5,2)×6＝15.應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟1．平面與平面平行的判定定理的理解(1)平面α內(nèi)兩條相交直線l，m，即lα，mα，l∩m≠?.(2)兩條相交直線l，m都與平面β平行，即l∥β，m∥β.這兩個條件缺一不可．2．三種平行關(guān)系可以任意轉(zhuǎn)化，其相互轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示：1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)沒有公共點的兩平面平行． ()(2)若兩個平面都平行于同一條直線，則這兩個平面平行． ()(3)若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行． ()[解析](1)由平面與平面平行的定義知正確．(2)若兩個平面都平行于同一條直線，兩平面可能平行，也可能相交，故錯誤．(3)兩平面可能相交．[答案](1)√(2)×(3)×2．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面，下列推理正確的是()A．若α與β相交，aα，bβ，則a與b一定相交B．若aα，bβ，a∥b，則α∥βC．a(chǎn)∥β，b∥β，aα，bα?α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥bD[A錯誤，a與b，可能平行也可能是異面直線；由平面與平面平行的判定定理知B、C錯誤；由平面與平面平行的性質(zhì)定理知，D正確．]3．已知點S是正三角形ABC所在平面外一點，點D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點，則平面DEF與平面ABC的位置關(guān)系是________．平行[由D，E，F(xiàn)分別是SA，SB，SC的中點，知EF是△SBC的中位線，所以EF∥BC.又因為BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC，又因為EF∩DE＝E，所以平面DEF∥平面ABC.]4．如