2023-2024學(xué)年北京十三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京十三中高三（上）期中數(shù)學(xué)本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，第Ⅰ卷第1頁至第2頁；第Ⅱ卷第3頁至第6頁，答題紙第1頁至第3頁．共150分，考試時間120分鐘．請在答題紙上側(cè)密封線內(nèi)書寫班級、姓名、準(zhǔn)考證號．考試束后，將本試卷的答題紙交回．第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點坐標(biāo)是（）A. B. C. D.3.已知向量滿足，且，則（）A. B.3 C. D.14.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù)，且在上是減函數(shù) B.是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)C.是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) D.是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)5.已知的展開式中，的系數(shù)為80，則（）A. B. C. D.26.直線與圓相交于兩點，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.7.如圖，在正方體中，點是線段上任意一點，則的值不可能是（）A. B. C. D.8.已知均為第一象限的角，那么是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.隨著北京中軸線申遺工作的進(jìn)行，古建筑備受關(guān)注．故宮不僅是世界上現(xiàn)存規(guī)模最大、保存最為完整的木質(zhì)結(jié)構(gòu)古建筑之一，更是北京中軸線的“中心”．圖1是古建筑之首的太和殿，它的重檐廡（w?）殿頂可近似看作圖2所示的幾何體，其中底面題矩形，，四邊形是兩個全等的等腰梯形，是兩個全等的等腰三角形．若，則該幾何體的體積為（）（圖1）（圖2）A.90 B. C. D.13510.已知等差數(shù)列的公差為；集合，若，則（）A. B.0 C. D.1第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.直線的傾斜角的大小為_______．12.在數(shù)列中，，則______；的前項和______．13.近年來，踩踏事件時有發(fā)生，給人們的生命財產(chǎn)安全造成了巨大損失．在人員密集區(qū)域，人員疏散是控制事故的關(guān)鍵，而能見度（單位：米）是影響疏散的重要因素．在特定條件下，疏散的影響程度與能見度滿足函數(shù)關(guān)系：（是常數(shù)）如圖記錄了兩次實驗的數(shù)據(jù)，則根據(jù)上述函數(shù)模型和所得實驗數(shù)據(jù)可得______．（參考數(shù)據(jù)：）14.在平面直角坐標(biāo)系中，若，則滿足的一個的值可以是______．15.科技的發(fā)展改變了世界，造福了人類，我們生活中處處享受著科技帶來的“紅利”．例如主動降噪耳機(jī)讓我們在嘈雜的環(huán)境中享受一絲寧靜，它的工作原理是：先通過微型麥克風(fēng)采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成與噪聲振幅相同的反相位聲波來抵消噪聲（如圖所示）．已知某噪聲的聲波曲線，且經(jīng)過點．下述四個結(jié)論：①函數(shù)是奇函數(shù)；②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；③存在正整數(shù)，使得；④對于任意實數(shù)，存在常數(shù)使得．其中所有正確結(jié)論的編號是______．三、解答題：本大題共6小題，共85分．16.如圖，在四棱錐中，平面，，點為的中點．（1）證明平面；（2）求二面角的余弦值．17.已知函數(shù)，．在下列關(guān)于函數(shù)與圖像的三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)唯一確定，并求解下列問題．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對于，存在唯一的，使得，求的取值范圍．條件①：兩函數(shù)圖像在內(nèi)有且僅有兩個交點；條件②：兩函數(shù)圖像的相鄰兩交點的水平距離為；條件③：兩函數(shù)圖像最高點間的最小水平距離為．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分．18.某校工會開展健步走活動，要求教職工上傳3月1日至3月7日微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：（1）從3月1日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；（2）從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）如圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)，制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名分別為第68和第142，請指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖（結(jié)論不要求證明）19.已知橢圓過點，且離心率為．(I)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點．若直線上存在點，使得四邊形是平行四邊形，求的值．20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的零點個數(shù)；（3）若對于任意，恒成立，求的取值范圍．21.已知有窮數(shù)列中的每一項都是不大于的正整數(shù).對于滿足的整數(shù)，令集合.記集合中元素的個數(shù)為（約定空集的元素個數(shù)為0）.（1）若，求及；（2）若，求證：互不相同；（3）已知，若對任意的正整數(shù)都有或，求的值.

參考答案第Ⅰ卷（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．1.【答案】C【分析】根據(jù)題意先解出集合，再由集合的交集運(yùn)算求解即可.【詳解】依題意，則.故選：C.2.【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)除法計算出，從而得到，求出答案.【詳解】，則，解得，則，故共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo)為.故選：A3.【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律以及坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】因為，解得.故選：B.4.【答案】D【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)說明函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷.【詳解】函數(shù)定義域為，且，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.故選：D5.【答案】B【分析】利用二項展開式的通項，由指定項的系數(shù)，求的值.【詳解】展開式的通項為，當(dāng)，有，則展開式中的系數(shù)為，所以，解得.故選：B6.【答案】A【分析】由垂徑定理得到不等式，求出圓心到直線的距離的范圍，從而求出的取值范圍【詳解】的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，由垂徑定理得，因為，所以，解得，即，解得，故的取值范圍是.故選：A7.【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出范圍，進(jìn)而求出的范圍.【詳解】以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖：設(shè)棱長為1，則，設(shè)，所以，，，所以.下證：，即證，因為所以，要證，即證平方化簡得，即證，令,，則在上單調(diào)遞增，故,所以得證.對比各選項，C項不可能.故選：C8.【答案】D【詳解】均為第一象限的角，滿足，但，因此不充分；均為第一象限的角，滿足，但，因此不必要；所以選D.9.【答案】B【分析】將該五面體分割為四棱錐和三棱柱，結(jié)合棱柱和棱錐的體積公式求其體積．【詳解】過點作，，又，，平面，所以平面，過點作，，又，，平面，所以平面，因為底面，平面，平面平面，所以，同理，所以，，，，平面，平面，平面，平面，所以，，因為，與是全等的等腰三角形，由對稱性可得，，所以，連接點與的中點，則，所以，又，所以三棱柱的體積為，因為平面，平面，所以，又，，平面，，所以平面，又矩形的面積為，所以四棱錐的體積為，由對稱性可得四棱錐的體積為，所以五面體的體積為．故選：B10.【答案】B【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結(jié)合正弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答即可.【詳解】等差數(shù)列的公差為，，，最小正周期要使集合只有兩個元素,則，即，不妨取，則，，所以.故選:B.第Ⅱ卷（非選擇題共110分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.【答案】【分析】由直線一般式轉(zhuǎn)化為斜截式，得到斜率，再由傾斜角和斜率的關(guān)系得出結(jié)果.【詳解】由，得，得直線的斜率為，設(shè)其傾斜角為，則，得，故答案為：12.【答案】①.②.【分析】由題意可得數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)求出數(shù)列的通項公式，即可求出；再由等差數(shù)列的前項和公式求出.【詳解】由可得：，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以的前項和.故答案為：；13.【答案】【分析】代入兩點坐標(biāo)得到和，兩方程整理后作比即可求解.【詳解】當(dāng)時，有，即①當(dāng)時，有，即②①比②得，所以，則.故答案為：14.【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，對上式平方相加可得：，即可求出答案.【詳解】因為，所以，由可得：，則，對上式平方相加可得：，所以，故，即，所以或，所以或.令，的一個值可為.故答案為：（答案不唯一）15.【答案】①②④【分析】由經(jīng)過可求出的解析式，利用正弦函數(shù)的對稱性可判斷①；.利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷②；求的值，可判斷④，利用，分、、三種情況求的化簡式可判斷③.【詳解】因為經(jīng)過，所以，即，解得，又，所以，則.對于①，，故為奇函數(shù)，①正確；對于②，時，，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可知時，單調(diào)遞減，②正確；對于④，，所以恒為0，故④正確；對于③，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故③錯誤；故答案為：①②④.三、解答題：本大題共6小題，共85分．16.【答案】（1）證明見解析（2）．【分析】（1）由面面平行的判定定理、性質(zhì)定理證明即可；（2）以兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面法向量，由向量的夾角公式求解即可.【小問1詳解】證明：取的中點為，連接．因為，所以．因為平面，所以，，平面，平面，所以平面，因為點為的中點，所以．平面，平面，所以平面，平面，且，所以平面平面．又因為平面，所以平面．【小問2詳解】因為平面平面，所以，又因為為的中點，，所以，所以平面，，所以平面，所以兩兩互相垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題意可知．所以．顯然是平面的一個法向量．假設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，得，所以．所以，由圖可知二面角為鈍角，故所求二面角的余弦值為．17.【答案】（1）（2）．【分析】（1）選條件①：函數(shù)不確定；選條件②，設(shè)兩個相鄰的交點分別為，且，結(jié)合題意可得，即可求出；選條件③：設(shè)兩函數(shù)圖像最高點，由題意可得，結(jié)合題意可求出；將代入，由二倍角的正弦和余弦公式化簡；（2）由題意可得函數(shù)圖像的對稱軸有且僅有一條落在區(qū)間上，則，解不等式即可得出答案.【小問1詳解】選條件①：由兩函數(shù)圖象在內(nèi)有且僅有兩個交點，無法確定的周期，所以求不出，所以函數(shù)不確定．選條件②：（法一）因為，所以，所以，即，假設(shè)兩個相鄰的交點分別為，且．所以由題意可知，故．（法二）因為，所以，所以，即，假設(shè)兩個相鄰的交點分別為，且．所以由題意可知，故．選條件③：由題意可知，兩函數(shù)圖像最高點應(yīng)該滿足如下關(guān)系：，所以兩函數(shù)圖像最高點間的距離為又因為兩函數(shù)圖像最高點間的最小距離為，所以．由可知【小問2詳解】因為對于，存在唯一的，使得，所以函數(shù)圖像的對稱軸有且僅有一條落在區(qū)間上．因為，所以，因為圖像的對稱軸有且僅有一條落在區(qū)間上．所以，即．故的取值范圍為．18.【答案】（1）；（2）分布列見解析，；（3）3月3日.【分析】（1）根據(jù)古典概型求解即可；（2）的可能取值為0,1,2，分別求出每種情況的概率，再寫出分布列并求期望即可；（3）根據(jù)頻率分布直方圖算出每個步數(shù)區(qū)間內(nèi)的人數(shù)，再結(jié)合甲乙二人的排名，確定甲乙各自步數(shù)的范圍，進(jìn)而確定日期.【小問1詳解】設(shè)“職工甲和職工乙微信計步數(shù)都不低于10000”為事件從3月1日至3月7日這七天中，3月2日，3月5日，3月7日這三天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000，所以．【小問2詳解】由圖可知，7天中乙的步數(shù)不低于10000步的天數(shù)共4天.的所有可能取值為，，的分布列為012【小問3詳解】3月3日由直方圖知，微信記步數(shù)落在（單位：千步）區(qū)間內(nèi)的人數(shù)依次為，.由甲的排名為第68，可知當(dāng)天甲的微信步數(shù)在15000-20000之間，據(jù)折線圖知，這只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信記步數(shù)排名第142，可知當(dāng)天乙微信記步數(shù)在5000-10000之間，根據(jù)折線圖知，這只有3月3日和3月6日.所以只有3月3日符合要求．19.【答案】(1)(2)，或【詳解】試題分析：（Ⅰ）由橢圓過點，可得，再由離心率為結(jié)合，可求得，從而可得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，則，，由得，由韋達(dá)定理、弦長公式結(jié)合，可得，解方程即可求得的值.試題解析：（Ⅰ）由題意得，，所以．因為，所以，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）若四邊形是平行四邊形，則，且.所以直線的方程為，所以，．設(shè)，．由得，由，得．且，．所以.．因為，所以．整理得，解得，或．經(jīng)檢驗均符合，但時不滿足是平行四邊形，舍去．所以，或．20.【答案】（1）（2）有且僅有兩個零點（3）【分析】（1）把代入得切點坐標(biāo)，代入得切線斜率，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線在點處的切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)極值，求零點個數(shù)；（3）由函數(shù)的極小值，恒成立，當(dāng)時，可得恒成立；當(dāng)時，若，不成立，可得的取值范圍．【小問1詳解】函數(shù)，因為，所以切點為，由，得，即曲線在點處的切線斜率為0，所以曲線在點處的切線方程為．【小問2詳解】由（1）可知，因為，所以，令，則．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；又因為，，所以，由零點存在定理可知