2023-2024學(xué)年北京一七一中高二（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京一七一中高二（上）期中數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（每小題4分，共40分）1.圓的圓心為（）．A. B. C. D.2.若直線：與：垂直，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.2 C.3 D.-13.若橢圓上一點(diǎn)P到橢圓一個焦點(diǎn)的距離為6，則P到另一個焦點(diǎn)的距離為（）A.3 B.4 C.5 D.64.已知空間向量，且，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.65.已知直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則實(shí)數(shù)（）A.1 B. C.或1 D.2或16.直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（）A. B.C. D.7.已知四面體的所有棱長都等于2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD靠近C的四等分點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.8.直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1，2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3，3)，則其斜率的取值范圍是（）A. B.∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪ D.(－∞，－1)∪9.直線：與：（其中，，），在同一坐標(biāo)系中的圖象是圖中的（）A. B. C. D.10.如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上運(yùn)動.當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，點(diǎn)的位置是（）A.線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn) B.線段的中點(diǎn)C.線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn) D.線段的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（每小題5分，共25分）11.直線的傾斜角為___________12.直線和直線的位置關(guān)系是______．13.已知為空間兩兩垂直的單位向量，且則數(shù)量積=_________________14.若直線與圓相離，則的取值范圍是__________．15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線l沿x軸正方向平移3個單位長度，沿y軸正方向平移5個單位長度，得到直線l1.再將直線l1沿x軸正方向平移1個單位長度，沿y軸負(fù)方向平移2個單位長度，又與直線l重合.若直線l與直線l1關(guān)于點(diǎn)（2，3）對稱，則直線l的方程是________________.三、解答題（本大題共6小題，滿分85分）16.如圖，在三棱柱中，平面，分別是的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.17.已知圓C經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)（4，0），且圓心在x軸上（1）求圓C的方程；（2）已知直線l：與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求所得弦長的值．18.設(shè)甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運(yùn)動員人數(shù)分別為27,9,18,先采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運(yùn)動員參加比賽.（I）求應(yīng)從這三個協(xié)會中分別抽取的運(yùn)動員人數(shù)；（II）將抽取的6名運(yùn)動員進(jìn)行編號,編號分別為,從這6名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2名參加雙打比賽.（i）用所給編號列出所有可能的結(jié)果;（ii）設(shè)A為事件“編號為的兩名運(yùn)動員至少有一人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率.19.如圖所示，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面ABCD，，，BE與平面ABCD所成角為60°.（1）求證：平面BDE；（2）求二面角的余弦值；（3）設(shè)點(diǎn)M是線段BD上的一個動點(diǎn)，試確定點(diǎn)M的位置，使得平面BEF，并證明你的結(jié)論.20.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其中右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，該橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，若的面積是，求直線l的方程．21.“曼哈頓幾何”也叫“出租車幾何”，是在19世紀(jì)由赫爾曼·閔可夫斯基提出來的．如圖是抽象的城市路網(wǎng)，其中線段是歐式空間中定義的兩點(diǎn)最短距離，但在城市路網(wǎng)中，我們只能走有路的地方，不能“穿墻”而過，所以在“曼哈頓幾何”中，這兩點(diǎn)最短距離用表示，又稱“曼哈頓距離”，即，因此“曼哈頓兩點(diǎn)間距離公式”：若，，則（1）①點(diǎn)，，求的值．②求圓心在原點(diǎn)，半徑為1的“曼哈頓單位圓”方程．（2）已知點(diǎn)，直線，求B點(diǎn)到直線的“曼哈頓距離”最小值；（3）設(shè)三維空間4個點(diǎn)為，，且，，．設(shè)其中所有兩點(diǎn)“曼哈頓距離”的平均值即，求最大值，并列舉最值成立時的一組坐標(biāo)．

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（每小題4分，共40分）1.【答案】A【分析】先將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可求出其圓心坐標(biāo).【詳解】由，得，所以圓心為，故選：A2.【答案】A【分析】根據(jù)兩直線垂直的條件，列式計算，即可求得答案.【詳解】由于直線：與：垂直，故，故選：A3.【答案】B【分析】根據(jù)橢圓的定義求解即可.【詳解】由橢圓，得，則．因?yàn)辄c(diǎn)P到橢圓一焦點(diǎn)的距離為6，所以由橢圓定義得點(diǎn)P到另一焦點(diǎn)到距離為.故選：B．4.【答案】A【分析】由，得到，列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，空間向量，因?yàn)?，可得，即，可得，解?故選：A.5.【答案】D【分析】對a分類討論，由截距相等列方程解出的值.【詳解】當(dāng)時，直線，此時不符合題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時，直線，在軸與軸上的截距均為0，符合題意；當(dāng)且，由直線可得：橫截距為，縱截距為.由，解得：.故的值是2或1.故選：D6.【答案】D【分析】曲線是一個半圓，畫出草圖，結(jié)合圖像分類討論即可.【詳解】，，曲線是一個半圓，如圖所示：當(dāng)直線與曲線相切時，可得，解得，由圖可知，此時滿足直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，當(dāng)直線在兩點(diǎn)之間運(yùn)動時，直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，，，綜上所述，或．故選：D7.【答案】D【分析】由空間向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義求.【詳解】因?yàn)镋是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD靠近C的四等分點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，，所以．故選：D.8.【答案】D【分析】先得出直線的點(diǎn)斜式方程，求得直線在x軸上的截距，建立不等式可得選項(xiàng)．【詳解】設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1－，則－3<1－<3，解得k>或k<－1.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線的橫截距的定義和應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.【答案】B【分析】首先將直線方程化為斜截式，再結(jié)合各選項(xiàng)一一判斷.【詳解】直線：，即，且與軸交于點(diǎn)，直線：，即，且與軸交于點(diǎn)，對于A：直線中，，直線中，，且，則，所以的傾斜角大于的傾斜角，不符合題意，故A錯誤；對于B：直線中，，直線中，，且，則，所以的傾斜角大于的傾斜角，符合題意，故B正確；對于C：直線中，，直線中，，矛盾，故C錯誤；對于D：直線中，，直線中，，矛盾，故D錯誤；故選：B10.【答案】B【分析】將問題轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到直線的距離最小時，確定點(diǎn)的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，通過坐標(biāo)運(yùn)算可知，即是動點(diǎn)到直線的距離，再由空間兩點(diǎn)間的距離公式求出后，利用二次函數(shù)配方可解決問題.【詳解】設(shè)正方體的棱長為1，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，的中點(diǎn)，，，則，設(shè)，，由與共線，可得，所以，所以，其中，因?yàn)?，，所以，所以，即是動點(diǎn)到直線的距離，由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得，所以當(dāng)時，取得最小值，此時為線段的中點(diǎn)，由于為定值，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，為線段的中點(diǎn).故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了空間兩點(diǎn)間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合法，考查了二次函數(shù)求最值，屬于基礎(chǔ)題.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題（每小題5分，共25分）11.【答案】##【分析】根據(jù)直線的方程可得出直線的傾斜角.【詳解】直線垂直于軸，故直線的傾斜角為.故答案為：.12.【答案】相交（不垂直）【分析】求得兩直線斜率，根據(jù)兩直線的斜率，即可判斷兩直線的位置關(guān)系.【詳解】由題意得直線的斜率為，直線的斜率為，由于且，即兩直線相交且不垂直，故答案為：相交（不垂直）13.【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算即可得出．【詳解】解：因?yàn)闉榭臻g兩兩垂直的單位向量，且則以為一組正交基底，所以，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，熟練掌握向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14.【答案】或【分析】根據(jù)直線與圓相離則圓心到直線的距離大于半徑可求解.【詳解】設(shè)圓心到直線的距離為,則,圓的半徑,因?yàn)橹本€與圓相離,所以,即,所以,解得或故答案為：m＞2或m＜-215.【答案】6x－8y＋1＝0【分析】根據(jù)平移得到l1：y＝k（x－3）＋5＋b和直線：y＝kx＋3－4k＋b，解得k＝，再根據(jù)對稱解得b＝，計算得到答案.【詳解】由題意知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋b，則直線l1：y＝k（x－3）＋5＋b，平移后的直線方程為y＝k（x－3－1）＋b＋5－2即y＝kx＋3－4k＋b，∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直線l的方程為y＝x＋b，直線l1為y＝x＋＋b取直線l上的一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)（2，3）的對稱點(diǎn)為，，解得b＝.∴直線l的方程是，即6x－8y＋1＝0.故答案為：6x－8y＋1＝0【點(diǎn)睛】本題考查了直線的平移和對稱，意在考查學(xué)生對于直線知識的綜合應(yīng)用.三、解答題（本大題共6小題，滿分85分）16.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由題設(shè)易證，，兩兩垂直，構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向空間坐標(biāo)系，根據(jù)已知確定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求直線方向向量與平面的法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求直線與平面所成角的正弦值；（2）應(yīng)用等體積法，由求到平面的距離.【詳解】（1）由平面，則在三棱柱中平面，由面，故，，又，∴，，兩兩垂直，故可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向空間坐標(biāo)系，∴，則，，，若是面的一個法向量，則，令，有，∴，故直線與平面所成角的正弦值為.（2）由，由（1）易知：，到面的距離為，若到平面的距離為，又，，則，∴，可得.∴點(diǎn)到平面的距離為.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出圓心和半徑，寫出圓的方程；（2）求出圓心到直線距離，進(jìn)而利用垂徑定理求出弦長.【小問1詳解】由題意可得，圓心為(2，0)，半徑為2．則圓的方程為；【小問2詳解】由（1）可知：圓C半徑為，設(shè)圓心（2，0）到l的距離為d，則，由垂徑定理得：．18.【答案】（Ⅰ）3,1,2;（Ⅱ）（ⅰ）見試題解析;（ⅱ）【詳解】試題分析：（I）由題意可得抽取比例，即可求出相應(yīng)的人數(shù)；（II）（i）列舉可得從名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取名的所有結(jié)果，共種；（ii）事件所包含的上述基本事件的個數(shù)為個，由概率的公式即可求解概率．試題解析：（I）應(yīng)從甲、乙、丙這三個協(xié)會中分別抽取的運(yùn)動員人數(shù)分別為3,1,2;（II）（i）從這6名運(yùn)動員中隨機(jī)抽取2名參加雙打比賽,所有可能的結(jié)果為,,,,,,,,,,,,,,,共15種（ii）編號為的兩名運(yùn)動員至少有一人被抽到的結(jié)果為,,,,,,,,,共9種,所以事件A發(fā)生的概率考點(diǎn)：古典概型及其概率的計算．19.【答案】（1）證明見解析（2）（3），證明見解析【分析】（1）由已知中平面ABCD，ABCD是邊長為3的正方形，我們可得，，結(jié)合線面垂直的判定定理可得平面BDE；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DE方向?yàn)閤，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BEF和平面BDE的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角的余弦值；（3）由已知中M是線段BD上一個動點(diǎn)，設(shè).根據(jù)平面BEF，則直線AM的方向向量與平面BEF法向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造關(guān)于t的方程，解方程，即可確定M點(diǎn)的位置.【小問1詳解】因?yàn)槠矫鍭BCD，所以.因?yàn)锳BCD是正方形，所以，，從而平面BDE【小問2詳解】因?yàn)镈A，DC，DE兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.因?yàn)锽E與平面ABCD所成角為600，即，所以.由，可知，.則，，，，，所以，.設(shè)平面BEF的法向量為，則，即.令，則.因?yàn)槠矫鍮DE，所以為平面BDE的法向量，.所以.因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為.【小問3詳解】點(diǎn)M是線段BD上一個動點(diǎn)，設(shè).則.因?yàn)槠矫鍮EF，所以，即，解得.此時，點(diǎn)M坐標(biāo)為，即當(dāng)時，平面BEF.20.【答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)題意利用焦點(diǎn)坐標(biāo)以及離心率求出，即可得橢圓方程；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，從而求得弦長的表達(dá)式，再求出點(diǎn)P到直線l的距離，即可得的面積表達(dá)式，列式即可求得參數(shù)的值，即可得所求.【小問1詳解】由題意知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，橢圓的離心率為，故設(shè)橢圓焦距為2c，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，故；當(dāng)直線l的斜率為0時，，此時，不合題意；故直線l的斜率不為0，且其斜率一定存在，否則中將有一點(diǎn)與P重合，不合題意；故設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，由于直線l過橢圓的焦點(diǎn)，則必有，設(shè)，則，故，而點(diǎn)到直線l的距離為，，即，解得（負(fù)值舍去），即得，故直線l的方程為，即或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答直線和橢圓的位置關(guān)系中的三角形面積問題，關(guān)鍵在于要利用弦長公式結(jié)合點(diǎn)到直線的距離求得三角形面積的表達(dá)式，解答時要注意計算比較復(fù)雜，計算量大，需要十分細(xì)心.21.【答案】（1）①7；②；（2）2；（3）2，，，，.【分析】（1）①②根據(jù)“曼哈頓距離”的定義求解即可；（2）設(shè)直線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為