高考數(shù)學(xué)一輪難題復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)典型解答題(學(xué)生版+解析)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)一輪難題復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)典型解答題1．復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及運(yùn)算法則(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類(lèi)①z是實(shí)數(shù)?b＝0；②z是虛數(shù)?b≠0；③z是純虛數(shù)?a＝0且b≠0.(2)共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝a－bi.(3)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2).(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特別地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．(5)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則加減法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中a，b，c，d∈R))2．復(fù)數(shù)的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i.(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．3．復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量eq\o(OZ,\s\up14(→))所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角，我們規(guī)定在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz．r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．a(chǎn)＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)形式．特別提醒：(1)任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍．(2)復(fù)數(shù)0的輻角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz，且0≤argz＜2π.(4)兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．4.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟1先求復(fù)數(shù)的模.2決定輻角所在的象限.3根據(jù)象限求出輻角.4求出復(fù)數(shù)的三角形式.特別提醒：一般在復(fù)數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值，這使表達(dá)式簡(jiǎn)便，又便于運(yùn)算，但三角形式輻角不一定取主值.5．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算若復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，則(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1cosθ1＋isinθ1,r2cosθ2＋isinθ2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：（1）乘法法則：模相乘，輻角相加．（2）除法法則：模相除，輻角相減．（3）復(fù)數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角為n倍．6.復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫(huà)出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量eq\o(OZ1,\s\up14(→))，eq\o(OZ2,\s\up14(→))，然后把向量eq\o(OZ1,\s\up14(→))繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ2如果θ2＜0，就要把eq\o(OZ1,\s\up14(→))繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角|θ2|，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍，得到向量eq\o(OZ,\s\up14(→))，eq\o(OZ,\s\up14(→))表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.7．平面向量的概念名稱(chēng)定義記法零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量a＝b說(shuō)明，任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)．在平面上，兩個(gè)長(zhǎng)度相等且方向一致的有向線段表示同一個(gè)向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a∥b規(guī)定：零向量與任何向量都平行0∥a說(shuō)明：任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此，平行向量也叫有線向量8.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．9．向量a與b的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b.作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角．當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向．如果a與b的夾角是90°，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.10．平面向量的數(shù)量積(1)若a，b為非零向量，夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ.(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．11．兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.12．利用數(shù)量積求長(zhǎng)度(1)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).13．利用數(shù)量積求夾角設(shè)a，b為非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).14．三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則(1)O為△ABC的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).(2)O為△ABC的重心?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O為△ABC的垂心?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).(4)O為△ABC的內(nèi)心?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.例題1．設(shè)，且.（1）已知，求的值；（2）若，設(shè)集合，，求復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集表示的曲線的對(duì)稱(chēng)軸；（3）若，，是否存在，使得數(shù)列、、滿足（為常數(shù)，且）對(duì)一切正整數(shù)均成立？若存在，試求出所有的，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)一輪難題復(fù)習(xí)復(fù)數(shù)典型解答題1．復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及運(yùn)算法則(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的分類(lèi)①z是實(shí)數(shù)?b＝0；②z是虛數(shù)?b≠0；③z是純虛數(shù)?a＝0且b≠0.(2)共軛復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝a－bi.(3)復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2).(4)復(fù)數(shù)相等的充要條件a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特別地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．(5)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則加減法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中a，b，c，d∈R))2．復(fù)數(shù)的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i.(2)eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．3．復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模；θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量eq\o(OZ,\s\up14(→))所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角，我們規(guī)定在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz．r(cosθ＋isinθ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形式．a(chǎn)＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱(chēng)代數(shù)形式．特別提醒：(1)任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無(wú)限多個(gè)值，且這些值相差2π的整數(shù)倍．(2)復(fù)數(shù)0的輻角是任意的．(3)在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz，且0≤argz＜2π.(4)兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等．4.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟1先求復(fù)數(shù)的模.2決定輻角所在的象限.3根據(jù)象限求出輻角.4求出復(fù)數(shù)的三角形式.特別提醒：一般在復(fù)數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值，這使表達(dá)式簡(jiǎn)便，又便于運(yùn)算，但三角形式輻角不一定取主值.5．復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運(yùn)算若復(fù)數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，則(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1cosθ1＋isinθ1,r2cosθ2＋isinθ2)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：（1）乘法法則：模相乘，輻角相加．（2）除法法則：模相除，輻角相減．（3）復(fù)數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角為n倍．6.復(fù)數(shù)三角形式乘、除運(yùn)算的幾何意義兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫(huà)出與z1，z2對(duì)應(yīng)的向量eq\o(OZ1,\s\up14(→))，eq\o(OZ2,\s\up14(→))，然后把向量eq\o(OZ1,\s\up14(→))繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角θ2如果θ2＜0，就要把eq\o(OZ1,\s\up14(→))繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角|θ2|，再把它的模變?yōu)樵瓉?lái)的r2倍，得到向量eq\o(OZ,\s\up14(→))，eq\o(OZ,\s\up14(→))表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.7．平面向量的概念名稱(chēng)定義記法零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量0單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量a＝b說(shuō)明，任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)．在平面上，兩個(gè)長(zhǎng)度相等且方向一致的有向線段表示同一個(gè)向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量a∥b規(guī)定：零向量與任何向量都平行0∥a說(shuō)明：任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此，平行向量也叫有線向量8.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我們把不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．9．向量a與b的夾角已知兩個(gè)非零向量a和b.作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角．當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b反向．如果a與b的夾角是90°，我們說(shuō)a與b垂直，記作a⊥b.10．平面向量的數(shù)量積(1)若a，b為非零向量，夾角為θ，則a·b＝|a||b|cosθ.(2)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．11．兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則(1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.12．利用數(shù)量積求長(zhǎng)度(1)若a＝(x，y)，則|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x2＋y2).(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).13．利用數(shù)量積求夾角設(shè)a，b為非零向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為a與b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).14．三角形“四心”向量形式的充要條件設(shè)O為△ABC所在平面上一點(diǎn)，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，則(1)O為△ABC的外心?|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\f(a,2sinA).(2)O為△ABC的重心?eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O為△ABC的垂心?eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)).(4)O為△ABC的內(nèi)心?aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.例題1．設(shè)，且.（1）已知，求的值；（2）若，設(shè)集合，，求復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集表示的曲線的對(duì)稱(chēng)軸；（3）若，，是否存在，使得數(shù)列、