第7講分布列與數(shù)學期望(原卷版+解析)

第7講分布列與數(shù)學期望高考預測一：求概率及隨機變量的分布列的基本類型類型一：利用古典概型求概率1．10月1日，某品牌的兩款最新手機（記為型號，型號）同時投放市場，手機廠商為了解這兩款手機的銷售情況，在10月1日當天，隨機調(diào)查了5個手機店中這兩款手機的銷量（單位：部），得到如表手機店型號手機銷量6613811型號手機銷量1291364（Ⅰ）若在10月1日當天，從，這兩個手機店售出的新款手機中分別隨機抽取1部，求抽取的2部手機中至少有1部為型號手機的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從這5個手機店中任選3個舉行促銷活動，用表示其中型號手機銷量超過型號手機銷量的手機店的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）經(jīng)測算，型號手機的銷售成本（百元）與銷量（部滿足關系．若表中型號手機銷量的方差，試給出表中5個手機店的型號手機銷售成本的方差的值．（用表示，結(jié)論不要求證明）2．為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標和的數(shù)據(jù)，并制成如圖，其中“”表示服藥者，“”表示未服藥者．（1）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標的值小于60的概率；（2）從圖中，，，四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）試判斷這100名患者中服藥者指標數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標數(shù)據(jù)的方差的大?。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）3．已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望．類型二：利用相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率4．電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設所有電影是否獲得好評相互獨立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“”表示第類電影得到人們喜歡．“”表示第類電影沒有得到人們喜歡，2，3，4，5，．寫出方差，，，，，的大小關系．5．設甲、乙兩位同學上學期間，每天之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立．（1）設甲同學上學期間的三天中之前到校的天數(shù)為，求，，，時的概率，，，．（2）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在之前到校的天數(shù)比乙同學在之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．類型三：利用條件概率公式求概率6．如圖所示，質(zhì)點在正方形的四個頂點上按逆時針方向前進．現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字．質(zhì)點從點出發(fā)，規(guī)則如下：當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點前進一步（如由到；當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點前兩步（如由到，當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點前進三步（如由到．在質(zhì)點轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．（1）求點恰好返回到點的概率；（2）在點轉(zhuǎn)一圈恰能返回到點的所有結(jié)果中，用隨機變量表示點恰能返回到點的投擲次數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．7．根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量（單位：對工期的影響如下表：降水量工期延誤天數(shù)02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求：工期延誤天數(shù)的均值與方差；（Ⅱ）在降水量至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．類型四：利用統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)求概率8．某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫，，，，，，天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值？9．某貧困地區(qū)共有1500戶居民，其中平原地區(qū)1050戶，山區(qū)450戶．為調(diào)查該地區(qū)2017年家庭收入情況，從而更好地實施“精準扶貧”，采用分層抽樣的方法，收集了150戶家庭2017年年收入的樣本數(shù)據(jù)（單位：萬元）．（1）應收集多少戶山區(qū)家庭的樣本數(shù)據(jù)？（2）根據(jù)這150個樣本數(shù)據(jù)，得到2017年家庭收入的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，，，，，，，．如果將頻率視為概率，估計該地區(qū)2017年家庭收入超過1.5萬元的概率；（3）樣本數(shù)據(jù)中，有5戶山區(qū)家庭的年收入超過2萬元，請完成2017年家庭收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“該地區(qū)2017年家庭年收入與地區(qū)有關”？超過2萬元不超過2萬元總計平原地區(qū)山區(qū)5總計附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828高考預測二：超幾何分布和二項分布類型一：超幾何分布10．已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．（Ⅰ）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望；設為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件發(fā)生的概率．11．是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．日均值在35微克立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克立方米微克立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克立方米以上空氣質(zhì)量為超標．石景山古城地區(qū)2013年2月6日至15日每天的監(jiān)測數(shù)據(jù)如莖葉圖所示．（1）小陳在此期間的某天曾經(jīng)來此地旅游，求當天日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標的概率；（2）從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求的分布列及期望．類型二：二項分布12．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出一個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲得一等獎；若只有1個紅球，則獲得二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中或一等獎的次數(shù)為，求的分布列、數(shù)學期望和方差．13．近年來，空氣質(zhì)量成為人們越來越關注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照大小分為六級，為優(yōu)；為良；為輕度污染；為中度污染；為重度污染；大于300為嚴重污染．環(huán)保部門記錄了2017年某月哈爾濱市10天的的莖葉圖如下：（1）利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)；（按這個月總共30天計算）（2）現(xiàn)工作人員從這10天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的日子里隨機抽取2天進行某項研究，求抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率；（3）將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為，求的概率分布列和數(shù)學期望．高考預測三：概率與其他知識點交匯類型一：以其他知識為載體14．已知正四棱錐的側(cè)棱和底面邊長相等，在這個正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機變量的值：若這兩條棱所在的直線相交，則的值是這兩條棱所在直線的夾角大?。ɑ《戎疲?；若這兩條棱所在的直線平行，則；若這兩條棱所在的直線異面，則的值是這兩條棱所在直線所成角的大?。ɑ《戎疲?）求的值；（2）求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．15．從集合，2，3，4，5，6，7，8，中抽取三個不同的元素構(gòu)成子集，，．（1）求對任意的和，2，3，，2，3，滿足的概率；（2）若，，成等差數(shù)列，設其公差為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．類型二：構(gòu)造遞推關系求概率問題16．為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，，1，，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，2，，，其中，，．假設，．證明：，1，2，，為等比數(shù)列；求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．17．從原點出發(fā)的某質(zhì)點，按向量移動的概率為，按向量移動的概率為，設可到達點，，2，3，的概率為．（1）求和的值；（2）求證：；（3）求的表達式．類型三：利用導數(shù)研究概率問題18．某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點（即取最大值時對應的的值）．（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為3元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付28元的賠償費用若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用之和記為求；以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？19．某有機水果種植基地試驗種植的某水果在售賣前要成箱包裝，每箱80個，每一箱水果在交付顧客之前要按約定標準對水果作檢測，如檢測出不合格品，則更換為合格品．檢測時，先從這一箱水果中任取10個作檢測，再根據(jù)檢測結(jié)果決定是否對余下的所有水果作檢測．設每個水果為不合格品的概率都為，且各個水果是否為不合格品相互獨立．（Ⅰ）記10個水果中恰有2個不合格品的概率為，求取最大值時的值；（Ⅱ）現(xiàn)對一箱水果檢驗了10個，結(jié)果恰有2個不合格，以（Ⅰ）中確定的作為的值．已知每個水果的檢測費用為1.5元，若有不合格水果進入顧客手中，則種植基地要對每個不合格水果支付元的賠償費用．（?。┤舨粚υ撓溆嘞碌乃鳈z驗，這一箱水果的檢驗費用與賠償費用的和記為，求；（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，當種植基地要對每個不合格水果支付的賠償費用至少為多少元時，將促使種植基地對這箱余下的所有水果作檢驗？高考預測三：決策問題20．某公司計劃購買2臺機器，該種機器使用三年后即被淘汰，機器有一易損零件，在購買機器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個300元．在機器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機器時應同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得到下面柱狀圖．以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù)．（1）求的分布列；（2）若要求，試確定的最小值；（3）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應選用哪個？高考預測四：正態(tài)分布21．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸（單位：．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得，，其中為抽取的第個零件的尺寸，，2，，16．用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標準差作為的估計值，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計和（精確到．附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，．22．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如圖頻率分布直方圖：（1）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）由直方圖可以認為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差①利用該正態(tài)分布，求②某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)．利用①的結(jié)果，求附：，若，則，．第7講分布列與數(shù)學期望高考預測一：求概率及隨機變量的分布列的基本類型類型一：利用古典概型求概率1．10月1日，某品牌的兩款最新手機（記為型號，型號）同時投放市場，手機廠商為了解這兩款手機的銷售情況，在10月1日當天，隨機調(diào)查了5個手機店中這兩款手機的銷量（單位：部），得到如表手機店型號手機銷量6613811型號手機銷量1291364（Ⅰ）若在10月1日當天，從，這兩個手機店售出的新款手機中分別隨機抽取1部，求抽取的2部手機中至少有1部為型號手機的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從這5個手機店中任選3個舉行促銷活動，用表示其中型號手機銷量超過型號手機銷量的手機店的個數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）經(jīng)測算，型號手機的銷售成本（百元）與銷量（部滿足關系．若表中型號手機銷量的方差，試給出表中5個手機店的型號手機銷售成本的方差的值．（用表示，結(jié)論不要求證明）【解析】解：設事件為從店售出的手機中隨機抽取1部手機，抽取的手機為型號手機，設事件為從店售出的手機中隨機抽取1部手機，抽取的手機為型號手機，則事件，相互獨立，且，，抽取的2部手機中至少有1部為型號手機的概率為．由表格可知型號手機銷售量超過型號手機的店有2個，故的可能取值有0，1，2．且，，．的分布列為：012數(shù)學期望為．，，．2．為了研究一種新藥的療效，選100名患者隨機分成兩組，每組各50名，一組服藥，另一組不服藥．一段時間后，記錄了兩組患者的生理指標和的數(shù)據(jù)，并制成如圖，其中“”表示服藥者，“”表示未服藥者．（1）從服藥的50名患者中隨機選出一人，求此人指標的值小于60的概率；（2）從圖中，，，四人中隨機選出兩人，記為選出的兩人中指標的值大于1.7的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）試判斷這100名患者中服藥者指標數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標數(shù)據(jù)的方差的大小．（只需寫出結(jié)論）【解析】解：（1）由圖知：在50名服藥患者中，有15名患者指標的值小于60，答：從服藥的50名患者中隨機選出一人，此人指標小于60的概率為：．（2）由圖知：、兩人指標的值大于1.7，而、兩人則小于1.7，可知在四人中隨機選項出的2人中指標的值大于1.7的人數(shù)的可能取值為0，1，2，，，，的分布列如下：012答：．（3）答：由圖知100名患者中服藥者指標數(shù)據(jù)的方差比未服藥者指標數(shù)據(jù)的方差大．3．已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束．（1）求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用（單位：元），求的分布列和數(shù)學期望．【解析】解：（1）記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件，則（A）；（2）的可能取值為200，300，400，，，；所以的分布列為：200300400數(shù)學期望為．類型二：利用相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率4．電影公司隨機收集了電影的有關數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設所有電影是否獲得好評相互獨立．（Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；（Ⅲ）假設每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“”表示第類電影得到人們喜歡．“”表示第類電影沒有得到人們喜歡，2，3，4，5，．寫出方差，，，，，的大小關系．【解析】解：（Ⅰ）設事件表示“從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影”，總的電影部數(shù)為部，第四類電影中獲得好評的電影有：部，從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的頻率為：（A）．（Ⅱ）設事件表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，恰有1部獲得好評”，第四類獲得好評的有：部，第五類獲得好評的有：部，則從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率：（B）．（Ⅲ）由題意知，定義隨機變量如下：，則服從兩點分布，則六類電影的分布列及方差計算如下：第一類電影：100.40.6，．第二類電影：100.20.8，．第三類電影：100.150.85，．第四類電影：100.250.75，．第五類電影：100.20.8，．第六類電影：100.10.9，．方差，，，，，的大小關系為：．5．設甲、乙兩位同學上學期間，每天之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立．（1）設甲同學上學期間的三天中之前到校的天數(shù)為，求，，，時的概率，，，．（2）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在之前到校的天數(shù)比乙同學在之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．【解析】解：（1），，，．（2）設乙同學上學期間的三天中在之前到校的天數(shù)為，則，，，，．類型三：利用條件概率公式求概率6．如圖所示，質(zhì)點在正方形的四個頂點上按逆時針方向前進．現(xiàn)在投擲一個質(zhì)地均勻、每個面上標有一個數(shù)字的正方體玩具，它的六個面上分別寫有兩個1、兩個2、兩個3一共六個數(shù)字．質(zhì)點從點出發(fā)，規(guī)則如下：當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是1，質(zhì)點前進一步（如由到；當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是2，質(zhì)點前兩步（如由到，當正方體上底面出現(xiàn)的數(shù)字是3，質(zhì)點前進三步（如由到．在質(zhì)點轉(zhuǎn)一圈之前連續(xù)投擲，若超過一圈，則投擲終止．（1）求點恰好返回到點的概率；（2）在點轉(zhuǎn)一圈恰能返回到點的所有結(jié)果中，用隨機變量表示點恰能返回到點的投擲次數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望．【解析】解：（1）投擲一次正方體玩具，因每個數(shù)字在上底面出現(xiàn)是等可能的，故其概率．易知只投擲一次不可能返回到點．①若投擲兩次質(zhì)點就恰好能返回到點，則上底面出現(xiàn)的兩個數(shù)字，應依次為：、、三種結(jié)果，其概率為．②若投擲三次質(zhì)點恰能返回到點，則上底面出現(xiàn)的三個數(shù)字，應依次為：，1，、，2，、，1，三種結(jié)果，其概率為．③若投擲四次質(zhì)點恰能返回到點，則上底面出現(xiàn)的四個數(shù)字應依次為：，1，1，，其概率為．所以，質(zhì)點恰好返回到點的概率為：．（2）由（1）知，質(zhì)點轉(zhuǎn)一圈恰能返回到點的所有結(jié)果共有以上問題中的7種情況，且的可能取值為2，3，4．則，，，故的分布列為：234所以，．7．根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量（單位：對工期的影響如下表：降水量工期延誤天數(shù)02610歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于300，700，900的概率分別為0.3，0.7，0.9，求：工期延誤天數(shù)的均值與方差；（Ⅱ）在降水量至少是300的條件下，工期延誤不超過6天的概率．【解析】由題意，，，，的分布列為026100.30.40.20.1工期延誤天數(shù)的均值為3，方差為9.8；（Ⅱ），由條件概率可得．類型四：利用統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)求概率8．某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫，，，，，，天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學期望達到最大值？【解析】解：（1）由題意知的可能取值為200，300，500，，，，的分布列為：2003005000.20.40.4（2）由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，只需考慮，當時，若最高氣溫不低于25，則；若最高氣溫位于區(qū)間，，則；若最高氣溫低于20，則，，當時，若最高氣溫不低于20，則，若最高氣溫低于20，則，．時，的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元．9．某貧困地區(qū)共有1500戶居民，其中平原地區(qū)1050戶，山區(qū)450戶．為調(diào)查該地區(qū)2017年家庭收入情況，從而更好地實施“精準扶貧”，采用分層抽樣的方法，收集了150戶家庭2017年年收入的樣本數(shù)據(jù)（單位：萬元）．（1）應收集多少戶山區(qū)家庭的樣本數(shù)據(jù)？（2）根據(jù)這150個樣本數(shù)據(jù)，得到2017年家庭收入的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，，，，，，，，．如果將頻率視為概率，估計該地區(qū)2017年家庭收入超過1.5萬元的概率；（3）樣本數(shù)據(jù)中，有5戶山區(qū)家庭的年收入超過2萬元，請完成2017年家庭收入與地區(qū)的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“該地區(qū)2017年家庭年收入與地區(qū)有關”？超過2萬元不超過2萬元總計平原地區(qū)山區(qū)5總計附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【解析】解：（1）由已知可得每戶居民被抽取的概率為0.1，故應收集手機戶山區(qū)家庭的樣本數(shù)據(jù)．（2）由直方圖可知該地區(qū)2017年家庭年收入超過1.5萬元的概率約為．（3）樣本數(shù)據(jù)中，年收入超過2萬元的戶數(shù)為戶．而樣本數(shù)據(jù)中，有5戶山區(qū)家庭的年收入超過2萬元，故列聯(lián)表如下：超過2萬元不超過2萬元總計平原地區(qū)2580105山區(qū)54045總計30120150所以，有的把握認為“該地區(qū)2017年家庭年收入與地區(qū)有關”．高考預測二：超幾何分布和二項分布類型一：超幾何分布10．已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．（Ⅰ）應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望；設為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件發(fā)生的概率．【解析】解：（Ⅰ）單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．人數(shù)比為：，從中抽取7人現(xiàn)，應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，隨機變量的取值為：0，1，2，3，，，1，2，3．所以隨機變量的分布列為：0123隨機變量的數(shù)學期望；設為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，設事件為：抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人，事件為抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人，則：，且（B），（C），故（A）．所以事件發(fā)生的概率：．11．是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．日均值在35微克立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克立方米微克立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克立方米以上空氣質(zhì)量為超標．石景山古城地區(qū)2013年2月6日至15日每天的監(jiān)測數(shù)據(jù)如莖葉圖所示．（1）小陳在此期間的某天曾經(jīng)來此地旅游，求當天日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標的概率；（2）從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求的分布列及期望．【解析】解：（1）記“當天日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標”為事件，因為有天日均值在75微克立方米以下，故（A）．（2）的可能值為0，1，2，3．由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標，而其余4天都超標．，，，．的分布列如下表：0123．類型二：二項分布12．某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出一個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲得一等獎；若只有1個紅球，則獲得二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．（1）求顧客抽獎1次能獲獎的概率；（2）若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中或一等獎的次數(shù)為，求的分布列、數(shù)學期望和方差．【解析】解：（1）設顧客抽獎1次能中獎的概率為．，（2）設該顧客在一次抽獎中獲一等獎的概率為，，故而．，，，．故的分布列為0123數(shù)學期望，方差．13．近年來，空氣質(zhì)量成為人們越來越關注的話題，空氣質(zhì)量指數(shù)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照大小分為六級，為優(yōu)；為良；為輕度污染；為中度污染；為重度污染；大于300為嚴重污染．環(huán)保部門記錄了2017年某月哈爾濱市10天的的莖葉圖如下：（1）利用該樣本估計該地本月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)；（按這個月總共30天計算）（2）現(xiàn)工作人員從這10天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的日子里隨機抽取2天進行某項研究，求抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率；（3）將頻率視為概率，從本月中隨機抽取3天，記空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為，求的概率分布列和數(shù)學期望．【解析】解：（1）從莖葉圖中可發(fā)現(xiàn)該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)的天數(shù)為2，空氣質(zhì)量良的天數(shù)為4，故該樣本中空氣質(zhì)量優(yōu)良的頻率為，從而估計該月空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù)為（2）現(xiàn)工作人員從這10天中空氣質(zhì)量為優(yōu)良的日子里隨機抽取2天進行某項研究，基本事件總數(shù)，抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的對立事件是抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量都不是優(yōu)，抽取的2天中至少有一天空氣質(zhì)量是優(yōu)的概率：．（3）由（1）估計某天空氣質(zhì)量優(yōu)良的概率為，的所有可能取值為0，1，2，3，且，，，，，故的分布列為：0123，．高考預測三：概率與其他知識點交匯類型一：以其他知識為載體14．已知正四棱錐的側(cè)棱和底面邊長相等，在這個正四棱錐的8條棱中任取兩條，按下列方式定義隨機變量的值：若這兩條棱所在的直線相交，則的值是這兩條棱所在直線的夾角大小（弧度制）；若這兩條棱所在的直線平行，則；若這兩條棱所在的直線異面，則的值是這兩條棱所在直線所成角的大?。ɑ《戎疲?）求的值；（2）求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．【解析】解：（1）根據(jù)題意，該四棱錐的四個側(cè)面均為等邊三角形，底面為正方形，，為等腰直角三角形．的可能取值為：0，，，在這個正四棱錐的8條棱中任取兩條基本事件總數(shù)種情況，當時有2種，當時有種，當時有種．．（2）．，．隨機變量的分布列如下表：0．15．從集合，2，3，4，5，6，7，8，中抽取三個不同的元素構(gòu)成子集，，．（1）求對任意的和，2，3，，2，3，滿足的概率；（2）若，，成等差數(shù)列，設其公差為，求隨機變量的分布列與數(shù)學期望．【解析】解：（1）由題意知基本事件數(shù)為，而滿足條件，即取出的元素不相鄰，則用插空法有種，故所求事件的概率為；（2）分析，，成等差數(shù)列的情況：的情況有7種：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，，8，，的情況有5種：，3，，，4，，，5，，，6，，，7，．的情況有3種：，4，，，5，，，6，．的情況有1種：，5，．故的分布列如下：1234所以．類型二：構(gòu)造遞推關系求概率問題16．為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗．試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗．對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥．一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗．當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效．為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分．甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為．（1）求的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，，1，，表示“甲藥的累計得分為時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，2，，，其中，，．假設，．證明：，1，2，，為等比數(shù)列；求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性．【解析】（1）解：的所有可能取值為，0，1．，，，的分布列為：01（2）證明：，，由（1）得，，，．因此，2，，，故，即，又，，1，2，，為公比為4，首項為的等比數(shù)列；解：由可得，，，，．表示最終認為甲藥更有效的概率．由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理．17．從原點出發(fā)的某質(zhì)點，按向量移動的概率為，按向量移動的概率為，設可到達點，，2，3，的概率為．（1）求和的值；（2）求證：；（3）求的表達式．【解析】解：（1），（2）證明：點到達點有兩種情況①從點按向量移動②從點按向量移動問題得證．（3）數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列又因為．類型三：利用導數(shù)研究概率問題18．某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，求的最大值點（即取最大值時對應的的值）．（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為3元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付28元的賠償費用若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用之和記為求；以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？【解析】解：（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為，則，，令，得，當時，，當時，，的最大值點．（2）由（1）知，令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知，，即，．如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為600元，，應該對余下的產(chǎn)品不進行檢驗．19．某有機水果種植基地試驗種植的某水果在售賣前要成箱包裝，每箱80個，每一箱水果在交付顧客之前要按約定標準對水果作檢測，如檢測出不合格品，則更換為合格品．檢測時，先從這一箱水果中任取10個作檢測，再根據(jù)檢測結(jié)果決定是否對余下的所有水果作檢測．設每個水果為不合格品的概率都為，且各個水果是否為不合格品相互獨立．（Ⅰ）記10個水果中恰有2個不合格品的概率為，求取最大值時的值；（Ⅱ）現(xiàn)對一箱水果檢驗了10個，結(jié)果恰有2個不合格，以（Ⅰ）中確定的作為的值．已知每個水果的檢測費用為1.5元，若有不合格水果進入顧客手中，則種植基地要對每個不合格水果支付元的賠償費用．（ⅰ）若不對該箱余下的水果作檢驗，這一箱水果的檢驗費用與賠償費用的和記為，求；（ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，當種植基地要對每個不合格水果支付的賠償費用至少為多少元時，將促使種植基地對這箱余下的所有水果作檢驗？【解析】解：（Ⅰ）記10個水果中恰有2個不合格的概率為，則，，由，得．且當時，當時，，的最大值點．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．（?。┝畋硎居嘞碌?0個水果中的不合格數(shù)，依題意，．．（ⅱ）如果對余下的水果作檢驗，則這箱水果的檢驗費為120元，由，得，且