第一集：復(fù)合、抽象和對(duì)勾函數(shù)-1

第一集:復(fù)合、抽象和對(duì)勾函數(shù)1、復(fù)合函數(shù)函數(shù)值計(jì)算的步驟：求函數(shù)值遵循“由內(nèi)到外”的順序，一層層求出函數(shù)值。2、已知函數(shù)值求自變量的步驟：若已知函數(shù)值求的解，則遵循“由外到內(nèi)”的順序，一層層拆解直到求出的值。要想求出的根，則需要先將視為整體，先求出的值，再求對(duì)應(yīng)的解，這種思路也用來(lái)解決復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，先回顧零點(diǎn)的定義：3、復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的特點(diǎn)：考慮關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)，在解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要分為兩層來(lái)分析，第一層是解關(guān)于的方程，觀察有幾個(gè)的值使得等式成立；第二層是結(jié)合著第一層的值求出每一個(gè)被幾個(gè)對(duì)應(yīng)，將的個(gè)數(shù)匯總后即為的根的個(gè)數(shù).4、求解復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的技巧：（1）此類(lèi)問(wèn)題與函數(shù)圖象結(jié)合較為緊密，在處理問(wèn)題的開(kāi)始要作出的圖像（2）若已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的范圍，則先估計(jì)關(guān)于的方程中解的個(gè)數(shù)，再根據(jù)個(gè)數(shù)與的圖像特點(diǎn)，分配每個(gè)函數(shù)值被幾個(gè)所對(duì)應(yīng)，從而確定的取值范圍，進(jìn)而決定參數(shù)的范圍5、抽象函數(shù)若，則具有周期性；若，則具有對(duì)稱(chēng)性；“內(nèi)同表示周期性，內(nèi)反表示對(duì)稱(chēng)性”。結(jié)論1、圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)推論1、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)推論2、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)推論3、的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)結(jié)論2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)推論1、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)推論2、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)推論3、的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)6、對(duì)勾函數(shù)：對(duì)勾函數(shù)的定義域、值域等性質(zhì)定義域?qū)春瘮?shù)的單調(diào)性對(duì)于函數(shù)yXOy=axyXOy=ax軸和對(duì)勾函數(shù)的奇偶性對(duì)勾函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)典型例題例1：已知函數(shù)fx=2x?2?1,x≥0 A.2 B.23 C.1+3 解：當(dāng)gx≥0時(shí)，即解得x≤0或x≥2，當(dāng)gx<0時(shí)，即解得0<x<2，所以當(dāng)x≤0或x≥2時(shí)，fg即x2解得x=1+3或x=1?當(dāng)0<x<2時(shí)，fg所以函數(shù)fgx的所有零點(diǎn)之和是例2：當(dāng)x∈?∞,1時(shí)，不等式1+2x+ A.?∞,?34 B.?34,+∞ 解：解法一：因?yàn)閍2所以不等式1+2x+由1+2x+而函數(shù)y=1所以當(dāng)x∈?∞,1時(shí)，y所以?a<34，即解法二：因?yàn)閍2?a+1=a?122+所以不等式1+2x+4x①當(dāng)a≥0時(shí)，at2+t+1>0②當(dāng)a<0時(shí)，令ft=at2+t+1解得?3綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為a>?3例3：形如y=b|x|?cc>0,b>0的函數(shù)因其圖象類(lèi)似于漢字中的“囧”字，故我們把其生動(dòng)地稱(chēng)為“囧函數(shù)”．若函數(shù)fx=logax2+x+1a>0,a≠1有最小值，則當(dāng)c， A.1 B.2 C.4 D.6解：令u=x2+x+1，則fx=因?yàn)閡=x+122+所以a>1；x2所以c=b=1，這時(shí)“囧函數(shù)”為y=1|x|?1，它與函數(shù)y=log例4：在fm,n中，m，n，fm,n∈N?，且對(duì)任意m，n，都有f①f1,5②f5,1③f5,6其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是??A.3 B.2 C.1D.0解：因?yàn)閒m,n+1所以fm,n組成首項(xiàng)為fm,1，公差為所以fm,n又f1,1所以f1,5因?yàn)閒m+1,1所以fm,1組成首項(xiàng)為f1,1，公比為所以fm,1所以f5,1所以f5,6所以①②③都正確，故選A．例5：已知定義在R上的函數(shù)fx滿足ffx=xf A.0 B.1 C.2 D.4解：因?yàn)閒fx=xfx+1所以ffx0把x=0代入ffx=xfx+1代入ffx=xf即f1=1×1+1=2，與所以函數(shù)fx無(wú)零點(diǎn)，方程fx=0例6：已知奇函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)f?x<0在R恒成立，且x，y滿足不等式fxA.0,2B.0,22C.1,2解：因?yàn)楹瘮?shù)y=fx為奇函數(shù)，所以f由函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)f?x<0知函數(shù)y=fx為減函數(shù)，所以x即x?12故x2+y2的最小值為例7：如果函數(shù)fx=axax?3aA.0,23B.33,1 C.解：令t=ax，則y=t①當(dāng)0<a<1時(shí)，則0<ax≤1，欲使x∈即3a2+1≥2所以a≥33或②當(dāng)a>1時(shí)，則ax≥1．欲使只需3a2+12≤1綜上a的取值范圍是33例8：已知x，y滿足2≤y≤4?x，x≥1，則x2+ A.23 B.53 C.83解：不等式組2≤y≤4?x,x≥1表示的平面區(qū)域是以點(diǎn)1,2，1,3，2,2x2令y?1x+1=t，則t表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)故t∈13,1因?yàn)?t所以函數(shù)y=1t+t所以當(dāng)t=13時(shí)，x2例9：若函數(shù)fx=logax+ax?4（其中a>0且解：若fx的值域?yàn)镽，則x+axx+因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，x+即x>0時(shí)，x+ax的最小值為2結(jié)合a>0,a≠1，解得0<a<1?例10：若對(duì)滿足條件x+y+8=xy的正實(shí)數(shù)x，y都有x+y2?ax+y+1≥0恒成立，則實(shí)數(shù)解：由x+y+8=xy，和x+y≥2xy可得x+y24≥令t=x+y，t≥8，由x+y2可得a≤t+1t恒成立，即令ft=t+1所以ftmin=f例11：對(duì)于函數(shù)fx與gx，若存在λ∈x∈Rfx=0，μ∈x∈R?gx=0，使得λ?μ解：易知函數(shù)fx為增函數(shù)，且f所以函數(shù)fx=e則取λ=2，由∣2?μ∣≤1，知1≤μ≤3．由fx與gx互為“零點(diǎn)密切函數(shù)”知函數(shù)gx即方程x2?ax?x+4=0在所以a=x+4x?1，而函數(shù)a=x+4x所以當(dāng)x=2時(shí)，a取最小值3，且當(dāng)x=1時(shí)，a=4，當(dāng)x=3時(shí)，a=10所以amax所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是3,4．例12：已知函數(shù)fx=x+1x，gx=f2x?afx+2a有四個(gè)不同的零點(diǎn)解：因?yàn)榱顃=fx，則y=g因?yàn)間x=f2x?afx+2a有四個(gè)不同的零點(diǎn)故t2?at+2a=0有兩個(gè)根t1，t2，且t1+t2=a，t1t不妨令fx1=f2?f例13：設(shè)函數(shù)fx的定義域?yàn)镈，若存在非零實(shí)數(shù)l，使得對(duì)于任意x∈MM?D，有x+l∈D，且fx+l≥fx，則稱(chēng)fx為M上的l高調(diào)函數(shù)．如果定義域?yàn)?1,+∞的函數(shù)fx=x解：fx要使得f?1+m≥f?1=1，有恒有fx+2≥fx，故m≥2即可，即m例14．已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，且，則的值為（）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9解：分析把f（x）的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)，令，，可得方程有兩實(shí)根，，由判別式大于0解得a的范圍，再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，進(jìn)一步得到，，結(jié)合，可得，，，則可知，，則.解析：∴∴令，，則，∴令，解得∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；∴，，∴a﹣3∴.設(shè)關(guān)于t的一元二次方程有兩實(shí)根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由于，∴，（不妨設(shè)）.∵，可得，，.則可知，.∴.故選：A.小結(jié):本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查一元二次方程根的分布，屬難題.例15．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．解：分析畫(huà)出函數(shù)的圖象，使用換元法，令，并構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)的范圍，可得結(jié)果.解析：當(dāng)時(shí)，，則令，則令，則所以函數(shù)在遞增，在遞減，則，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象如圖，關(guān)于的方程有四個(gè)不等實(shí)根令，則①，所以②，由則函數(shù)一個(gè)根在，另外一個(gè)根在中所以綜上所述：故選：A小結(jié)：本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，學(xué)會(huì)使用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想以及換元法，考驗(yàn)分析能力以及邏輯推理能力，采用數(shù)型結(jié)合的方法，形象直觀，化繁為簡(jiǎn)，屬難題.例16：若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，，且，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則的值為_(kāi)__________解：分析通過(guò)換元法將方程變?yōu)?，其中；利用?dǎo)數(shù)可求得的大致圖象，從而確定其與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，將所求式子化為，利用韋達(dá)定理可求得結(jié)果.解析：由得：，設(shè)，則，，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，當(dāng)時(shí)，，可得大致圖像如下.要使關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，，，且.結(jié)合圖象可得關(guān)于的方程一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，且，，，則，..故答案為：.小結(jié)：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)個(gè)數(shù)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解例17：已知不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．解：分析設(shè)，，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，根據(jù)已知條件列出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.解析:設(shè)，其中，則，設(shè).①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于函數(shù)，該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，令，可得，列表如下：極小值所以，.（i）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，則，不合乎題意；（ii）當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，即.對(duì)于函數(shù)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，則對(duì)任意的恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.小結(jié)：結(jié)論小結(jié)：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.例18：設(shè)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，對(duì)，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．解：分析利用函數(shù)的單調(diào)性可得（為常數(shù)），再利用求出，而對(duì)恒成立即為對(duì)任意的恒成立，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：因?yàn)樵?/p>