微積分-經(jīng)管類-下冊(cè)-8.6 習(xí)題課

習(xí)題課級(jí)數(shù)的收斂、求和與展開三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)法一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法

第8章

求和展開(在收斂域內(nèi)進(jìn)行)基本問(wèn)題：判別斂散；求收斂域；求和函數(shù)；級(jí)數(shù)展開.為傅里葉級(jí)數(shù).為傅氏系數(shù))時(shí),時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);時(shí)為冪級(jí)數(shù);一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件不滿足發(fā)散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發(fā)散不定比較審斂法用它法判別積分審斂法部分和極限3.任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法為收斂級(jí)數(shù)Leibniz審斂法:若且則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂,概念:且余項(xiàng)若收斂,稱絕對(duì)收斂若發(fā)散,稱條件收斂例1.

若級(jí)數(shù)均收斂,且證明級(jí)數(shù)收斂.證:

則由題設(shè)收斂收斂收斂判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:提示:(1)據(jù)比較審斂法的極限形式,原級(jí)數(shù)發(fā)散.∴原級(jí)數(shù)發(fā)散故原級(jí)數(shù)收斂發(fā)散,收斂,用洛必達(dá)法則,原級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)收斂;時(shí),為p

級(jí)數(shù)時(shí)收斂;時(shí)發(fā)散.時(shí)發(fā)散.設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)和也收斂.法1

由題設(shè)根據(jù)比較審斂法的極限形式知結(jié)論正確.都收斂,證明級(jí)數(shù)法2

因故存在N>0,當(dāng)n>N時(shí)從而再利用比較法可得結(jié)論設(shè)級(jí)數(shù)收斂,且是否也收斂？說(shuō)明理由.但對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)卻不一定收斂.問(wèn)級(jí)數(shù)提示:

對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù),由比較判別法可知級(jí)數(shù)收斂,收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.例如,取討論下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性:提示:(1)p>1

時(shí),絕對(duì)收斂;0<p≤1

時(shí),條件收斂;p≤0

時(shí),發(fā)散.(2)故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.因單調(diào)遞減,且但對(duì)所以原級(jí)數(shù)僅條件收斂

.由Leibniz審斂法知級(jí)數(shù)收斂

;因所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.二、求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法?

標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù):先求收斂半徑R:再討論?非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式直接用比值法或根值法處的斂散性.求下列級(jí)數(shù)的斂散域:練習(xí):(自證)

解:當(dāng)因此級(jí)數(shù)在端點(diǎn)發(fā)散,時(shí),時(shí)原級(jí)數(shù)收斂.故收斂域?yàn)榻?

因故收斂域?yàn)榧?jí)數(shù)收斂;一般項(xiàng)不趨于0,級(jí)數(shù)發(fā)散;例2.解:

分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù)極限不存在∵原級(jí)數(shù)=∴其收斂半徑注意:此題?求部分和式極限三、冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法求和?

映射變換法逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分對(duì)和函數(shù)求積或求導(dǎo)難直接求和:直接變換,間接求和:轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和,再代值求部分和等?初等變換法:分解、套用公式（在收斂區(qū)間內(nèi)）?

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和例3.

求冪級(jí)數(shù)法1

易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)榉?先求出收斂區(qū)間則設(shè)和函數(shù)為練習(xí):解:(1)顯然x=0

時(shí)上式也正確,故和函數(shù)為而在x≠0求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)：級(jí)數(shù)發(fā)散,(4)x≠0顯然x=0

時(shí),級(jí)數(shù)收斂于0,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性,有x=1時(shí),級(jí)數(shù)也收斂.即得又練習(xí):解:

原式=的和.求級(jí)數(shù)例3四、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法?

直接展開法?間接展開法練習(xí):1)

將函數(shù)展開成

x

的冪級(jí)數(shù).—利用已知展式的函數(shù)及冪級(jí)