江西省撫州市臨川區(qū)第二中學2023-2024學年高二下學期6月月考試題數(shù)學

臨川二中20232024學年度下學期高二年級第三次月考數(shù)學試卷考試時間：120分鐘；滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出切點坐標，切點處的導數(shù)值，然后寫出點斜式即可得到切線方程.【詳解】，切點為，，所以切線方程為，即故選：B2.某位同學家中常備三種感冒藥，分別為金花清感顆粒3盒、蓮花清瘟膠囊2盒、清開靈顆粒5盒．若這三類藥物能治愈感冒的概率分別為，他感冒時，隨機從這幾盒藥物里選擇一盒服用（用藥請遵醫(yī)囑），則感冒被治愈的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全概率公式計算可得；【詳解】記服用金花清感顆粒為事件，服用蓮花清瘟膠囊為事件，服用清開靈顆粒為事件，感冒被治愈為事件，依題意可得，，，，，，所以.故選：C3.在等比數(shù)列中，，則的值為（）A.48 B.72 C.147 D.192【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質即可求解.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，，故．故選：C．4.某班學生的一次數(shù)學考試成績（滿分：100分）服從正態(tài)分布：，且，，則（）A.0.14 B.0.22 C.0.2 D.0.26【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，結合題設條件，即可求解.【詳解】因為數(shù)學考試成績服從且，所以，又因為，所以．故選：B．5.已知函數(shù)，若有最小值，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出原函數(shù)的導函數(shù)，函數(shù)有最小值，則導函數(shù)在小于0有解，于是轉化為斜率問題求解得到答案.【詳解】根據(jù)題意，得，若有最小值，即在上先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設切點為，則切線方程為：，將代入切線方程得：，故切點為，切線的斜率為1，只需即可，解得：，故答案為C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的最值問題，導函數(shù)的幾何意義，意在考查學生的轉化能力，分析能力及計算能力，難度較大.6.已知是數(shù)列的前項和，若，數(shù)列的首項，則（）A. B. C.2023 D.【答案】A【解析】【分析】通過對二項展開式賦值求解出的值，然后通過所給的條件變形得到為等差數(shù)列，從而求解出的通項公式，進而即得.【詳解】令，得.又因為，所以.由，得，所以，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.7.已知等差數(shù)列的公差大于0且，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的通項公式，結合分母有理化及數(shù)列求和中的裂項相消法即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，,解得.故選：B．8.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數(shù)比較大小關系，構造比較的大小關系，先驗證，再相除并化簡式子，構造函數(shù)即可比較的大小關系，則可求得答案.【詳解】令，則，可得在單調遞減，故，即上恒成立，則，即，令，則，即在上單調遞減，所以，即得，，，令，則，令，則，，故使得，所以當時，，即在上為增函數(shù)，又，所以當時，，故，即單調遞減，又，所以,即，所以，則，變形可得，所以，故，綜上：，故選：A.二．多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知，則下列結論正確的是（）A.有三個零點B.有兩個極值點C.若方程有三個實數(shù)根，則D.曲線關于點對稱【答案】BC【解析】【分析】利用導函數(shù)討論單調性和極值即可判斷AB，再根函數(shù)的最值、單調性判斷C，再根據(jù)特例，利用點的對稱性判斷D.【詳解】，令解得，令解得或，所以在單調遞增，單調遞減，單調遞增，因為，極大值，且極小值，所以在有一個零點，共1個零點，A錯誤；由A知，函數(shù)有兩個極值點，故B正確；由A知，函數(shù)在單調遞增，單調遞減，單調遞增，且時，，時，，所以方程有三個實數(shù)根，需，即，故C正確；因為，所以點在函數(shù)圖象上，又點關于點的對稱點為，而，即不是函數(shù)圖象上的點，故函數(shù)不關于點對稱，故D錯誤.故選：BC.10.在等差數(shù)列中，．現(xiàn)從數(shù)列的前10項中隨機抽取3個不同的數(shù)，記取出的數(shù)為正數(shù)的個數(shù)為．則下列結論正確的是（）A.服從二項分布 B.服從超幾何分布C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質可得前10項中有6個正數(shù)，即可求解從而可判斷服從超幾何分布，即可判斷ABC,由超幾何分布的期望計算即可判斷D.【詳解】依題意，等差數(shù)列公差，則通項為，由得，即等差數(shù)列前10項中有6個正數(shù)，的可能取值為的事件表示取出的3個數(shù)中有個正數(shù)，（）個非正數(shù)，因此，不服從二項分布，服從超幾何分布，不正確，B正確；錯誤；由題正確．故選：．11.（多選題）數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利數(shù)學家萊昂納多斐波那契在他寫的算盤全數(shù)中提出的，所以它常被稱作斐波那契數(shù)列該數(shù)列的特點是：前兩個數(shù)都是1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它的前面兩個數(shù)的和．記斐波那契數(shù)列為，其前n項和為，則下列結論正確的有（）A.不一定是偶數(shù) B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A，先由特殊值進行歸納、猜想，可得答案；對于B，由題意，根據(jù)求和定義和數(shù)列特點，直接求和；對于C，先求前面幾個式子成立，可得規(guī)律，解得答案；對于D，由題意，根據(jù)裂項相消的原理，可得答案.【詳解】對于A選項，為奇數(shù)，，為偶數(shù)，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…，以此類推，觀察分析發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)列的數(shù)字是按照奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)這三個一組循環(huán)排列的，故A不正確；對于B選項，又，，故B正確；對于C選項，，，以此類推，故C正確；對于D選項，，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知、的對應值如下表所示：02468111若與線性相關，且回歸直線方程為，則_______．【答案】【解析】【分析】求出、，根據(jù)回歸直線方程經過樣本中心點，代入計算可得.【詳解】由表可知，，因為回歸直線方程經過樣本中心點，所以，解得．故答案為：．13.甲、乙兩名學生在學校組織的課后服務活動中，準備從①②③④⑤這5個項目中分別隨機選擇其中1個項目，記事件A:甲和乙選擇的項目不同，事件B:甲和乙恰好一人選擇①，則_______．【答案】##0.4【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出事件和事件含有的基本事件數(shù)，再借助古典概率公式計算即得.【詳解】依題意，事件含有的基本事件數(shù)為，事件含有的基本事件數(shù)為，所以.故答案為：14.已知不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由題意，將不等式化為，令，利用導數(shù)即可得出，令，利用導數(shù)即可求解.【詳解】由可得，即恒成立，令，則不等式可化：，令，則，所以，當時，，在上單調遞減；當時，，在上單調遞增.所以，故要使恒成立，只需，即，即，令，所以，令，則，所以時，，在上單調遞增，且當時，，時，，在上單調遞減，且當時，，所以，故.故答案為：【點睛】方法點睛：對于求不等式成立時的參數(shù)范圍問題，一般有三個方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件，.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結合法，將不等式轉化為兩個函數(shù)，通過兩個函數(shù)圖象確定條件.四．解答題:本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，且數(shù)列的前項和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先得，進一步由的關系得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由此即可求解；（2）由等差數(shù)列求和公式、錯位相減法求得表達式，進一步原問題等價于不等式恒成立，由此即可求解.【小問1詳解】因為，①當時可得，即.當時，，②由①②得，即，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】因為，所以，，兩式相減得，，即，則，故.由，得，即，依題意，不等式恒成立，因為隨著增大而減小，所以，即的取值范圍為.16.跑步是人們日常生活中常見的一種鍛煉方式，其可以提高人體呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機能，抑制人體癌細胞生長和繁殖.為了解人們是否喜歡跑步，某調查機構在一小區(qū)隨機抽取了40人進行調查，統(tǒng)計結果如下表.

喜歡不喜歡合計男12820女101020合計221840（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認為人們對跑步的喜歡情況與性別有關？附：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828（2）該小區(qū)居民張先生每天跑步或開車上班，據(jù)以往經驗，張先生跑步上班準時到公司的概率為，張先生跑步上班遲到的概率為.對于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準時到公司，當天就繼續(xù)跑步上班，否則，當天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司（無論周四是否準時到達公司）.設從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學期望.【答案】（1）沒有95%認為人們對跑步的喜歡情況與性別有關聯(lián)（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）由題中所給數(shù)據(jù)求出，然后利用獨立性檢驗的結論即可求解；（2）由題意可得的所有可能取值分別為1，2，3，4，然后計算出對應的概率，利用期望公式即可求解,【小問1詳解】假設：人們對跑步的喜歡情況與性別無關.根據(jù)題意，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，因為，所以沒有95%認為人們對跑步的喜歡情況與性別有關聯(lián).【小問2詳解】的所有可能取值分別為1，2，3，4.；；；，所以的概率分布為：1234所以.所以的數(shù)學期望為.17.已知函數(shù)．（1）討論的極值；（2）若，為整數(shù)，且當時，，求的最大值．【答案】（1）答案見解析（2）2【解析】【分析】（1）由，求出，然后根據(jù)變化時，，變化情況，得到的單調區(qū)間；（2）根據(jù)條件，參變量分離得，令，利用導數(shù)求最值，即可得到的最大值．【小問1詳解】的定義域為，，當時，則，在上單調遞增；當時，由，得．當變化時，，變化如下表：0單調遞減極小值單調遞增綜上，當時，無極值；當時，有極小值，極小值為，無極大值.【小問2詳解】，，故當時，等價于，令，則．由（1）知，函數(shù)在上單調遞增，而，在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．在的最小值為，由，可得，，故整數(shù)的最大值為2．18.已知函數(shù)，.（1）若，討論函數(shù)的單調性；（2）若，且，求證：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導后分和討論，當時又分為和討論即可；（2）求導后得到單調性找到零點，設，構造函數(shù)，求導分析單調性和零點，并設從而得到，再由單調性可證明結論.【小問1詳解】.①當時，令，解得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；在上單調遞減，在上單調遞增.②當時，令，解得或，當即時，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，當即時，在上單調遞增，當即時，在單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，綜上所述：當時，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】，恒成立，在上單調遞增，且，設，，設，，，令，解得，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，，，，不妨設，則，，，，在上單調遞增，，即.【點睛】方法點睛：對于極值點偏移問題，可根據(jù)所求不等式構造函數(shù)，求導分析單調性和零點，在實際問題中往往需要兩次構造，分析.19.已知數(shù)列的前項和為，若存在常數(shù)，使得對任意都成立，則稱數(shù)列具有性質．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質；（2）設數(shù)列的各項均為正數(shù)，且具有性質．①若數(shù)列是公比為等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②的最小值為4.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差，進而求出通項公式及前項和，再利用定義判斷即得.（2）①根據(jù)給定條件，可得，再按，探討，當時，，又按且討論得解；②由定義，消去結合基本不等式得，再迭代得，借助正項數(shù)列建