江西省撫州市臨川區(qū)第二中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月月考試題數(shù)學(xué)

臨川二中20232024學(xué)年度下學(xué)期高二年級(jí)第三次月考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出切點(diǎn)坐標(biāo)，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，然后寫出點(diǎn)斜式即可得到切線方程.【詳解】，切點(diǎn)為，，所以切線方程為，即故選：B2.某位同學(xué)家中常備三種感冒藥，分別為金花清感顆粒3盒、蓮花清瘟膠囊2盒、清開靈顆粒5盒．若這三類藥物能治愈感冒的概率分別為，他感冒時(shí)，隨機(jī)從這幾盒藥物里選擇一盒服用（用藥請遵醫(yī)囑），則感冒被治愈的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全概率公式計(jì)算可得；【詳解】記服用金花清感顆粒為事件，服用蓮花清瘟膠囊為事件，服用清開靈顆粒為事件，感冒被治愈為事件，依題意可得，，，，，，所以.故選：C3.在等比數(shù)列中，，則的值為（）A.48 B.72 C.147 D.192【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列，則，，故．故選：C．4.某班學(xué)生的一次數(shù)學(xué)考試成績（滿分：100分）服從正態(tài)分布：，且，，則（）A.0.14 B.0.22 C.0.2 D.0.26【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，結(jié)合題設(shè)條件，即可求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)學(xué)考試成績服從且，所以，又因?yàn)?，所以．故選：B．5.已知函數(shù)，若有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)有最小值，則導(dǎo)函數(shù)在小于0有解，于是轉(zhuǎn)化為斜率問題求解得到答案.【詳解】根據(jù)題意，得，若有最小值，即在上先遞減再遞增，即在先小于0，再大于0，令，得：，令，只需的斜率大于過的的切線的斜率即可，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為：，將代入切線方程得：，故切點(diǎn)為，切線的斜率為1，只需即可，解得：，故答案為C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的最值問題，導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力，難度較大.6.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，數(shù)列的首項(xiàng)，則（）A. B. C.2023 D.【答案】A【解析】【分析】通過對二項(xiàng)展開式賦值求解出的值，然后通過所給的條件變形得到為等差數(shù)列，從而求解出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而即得.【詳解】令，得.又因?yàn)?，所?由，得，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故選：A.7.已知等差數(shù)列的公差大于0且，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合分母有理化及數(shù)列求和中的裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，,解得.故選：B．8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)比較大小關(guān)系，構(gòu)造比較的大小關(guān)系，先驗(yàn)證，再相除并化簡式子，構(gòu)造函數(shù)即可比較的大小關(guān)系，則可求得答案.【詳解】令，則，可得在單調(diào)遞減，故，即上恒成立，則，即，令，則，即在上單調(diào)遞減，所以，即得，，，令，則，令，則，，故使得，所以當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，，故，即單調(diào)遞減，又，所以,即，所以，則，變形可得，所以，故，綜上：，故選：A.二．多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.有三個(gè)零點(diǎn)B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則D.曲線關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】BC【解析】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)討論單調(diào)性和極值即可判斷AB，再根函數(shù)的最值、單調(diào)性判斷C，再根據(jù)特例，利用點(diǎn)的對稱性判斷D.【詳解】，令解得，令解得或，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因?yàn)?，極大值，且極小值，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，共1個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；由A知，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；由A知，函數(shù)在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且時(shí)，，時(shí)，，所以方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，需，即，故C正確；因?yàn)?，所以點(diǎn)在函數(shù)圖象上，又點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，而，即不是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，故函數(shù)不關(guān)于點(diǎn)對稱，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.在等差數(shù)列中，．現(xiàn)從數(shù)列的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取3個(gè)不同的數(shù)，記取出的數(shù)為正數(shù)的個(gè)數(shù)為．則下列結(jié)論正確的是（）A.服從二項(xiàng)分布 B.服從超幾何分布C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得前10項(xiàng)中有6個(gè)正數(shù)，即可求解從而可判斷服從超幾何分布，即可判斷ABC,由超幾何分布的期望計(jì)算即可判斷D.【詳解】依題意，等差數(shù)列公差，則通項(xiàng)為，由得，即等差數(shù)列前10項(xiàng)中有6個(gè)正數(shù)，的可能取值為的事件表示取出的3個(gè)數(shù)中有個(gè)正數(shù)，（）個(gè)非正數(shù)，因此，不服從二項(xiàng)分布，服從超幾何分布，不正確，B正確；錯(cuò)誤；由題正確．故選：．11.（多選題）數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，是意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多斐波那契在他寫的算盤全數(shù)中提出的，所以它常被稱作斐波那契數(shù)列該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它的前面兩個(gè)數(shù)的和．記斐波那契數(shù)列為，其前n項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的有（）A.不一定是偶數(shù) B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對于A，先由特殊值進(jìn)行歸納、猜想，可得答案；對于B，由題意，根據(jù)求和定義和數(shù)列特點(diǎn)，直接求和；對于C，先求前面幾個(gè)式子成立，可得規(guī)律，解得答案；對于D，由題意，根據(jù)裂項(xiàng)相消的原理，可得答案.【詳解】對于A選項(xiàng)，為奇數(shù)，，為偶數(shù)，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…，以此類推，觀察分析發(fā)現(xiàn)，這個(gè)數(shù)列的數(shù)字是按照奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)這三個(gè)一組循環(huán)排列的，故A不正確；對于B選項(xiàng)，又，，故B正確；對于C選項(xiàng)，，，以此類推，故C正確；對于D選項(xiàng)，，所以，故D正確．故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知、的對應(yīng)值如下表所示：02468111若與線性相關(guān)，且回歸直線方程為，則_______．【答案】【解析】【分析】求出、，根據(jù)回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，代入計(jì)算可得.【詳解】由表可知，，因?yàn)榛貧w直線方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，所以，解得．故答案為：．13.甲、乙兩名學(xué)生在學(xué)校組織的課后服務(wù)活動(dòng)中，準(zhǔn)備從①②③④⑤這5個(gè)項(xiàng)目中分別隨機(jī)選擇其中1個(gè)項(xiàng)目，記事件A:甲和乙選擇的項(xiàng)目不同，事件B:甲和乙恰好一人選擇①，則_______．【答案】##0.4【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出事件和事件含有的基本事件數(shù)，再借助古典概率公式計(jì)算即得.【詳解】依題意，事件含有的基本事件數(shù)為，事件含有的基本事件數(shù)為，所以.故答案為：14.已知不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】由題意，將不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)即可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】由可得，即恒成立，令，則不等式可化：，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以，故要使恒成立，只需，即，即，令，所以，令，則，所以時(shí)，，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，所以，故.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于求不等式成立時(shí)的參數(shù)范圍問題，一般有三個(gè)方法，一是分離參數(shù)法，使不等式一端是含有參數(shù)的式子，另一端是一個(gè)區(qū)間上具體的函數(shù)，通過對具體函數(shù)的研究確定含參式子滿足的條件，.二是討論分析法，根據(jù)參數(shù)取值情況分類討論，三是數(shù)形結(jié)合法，將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)，通過兩個(gè)函數(shù)圖象確定條件.四．解答題:本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若都有不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先得，進(jìn)一步由的關(guān)系得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由此即可求解；（2）由等差數(shù)列求和公式、錯(cuò)位相減法求得表達(dá)式，進(jìn)一步原問題等價(jià)于不等式恒成立，由此即可求解.【小問1詳解】因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)可得，即.當(dāng)時(shí)，，②由①②得，即，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，，兩式相減得，，即，則，故.由，得，即，依題意，不等式恒成立，因?yàn)殡S著增大而減小，所以，即的取值范圍為.16.跑步是人們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷囊环N鍛煉方式，其可以提高人體呼吸系統(tǒng)和心血管系統(tǒng)機(jī)能，抑制人體癌細(xì)胞生長和繁殖.為了解人們是否喜歡跑步，某調(diào)查機(jī)構(gòu)在一小區(qū)隨機(jī)抽取了40人進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表.

喜歡不喜歡合計(jì)男12820女101020合計(jì)221840（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷能否有95%的把握認(rèn)為人們對跑步的喜歡情況與性別有關(guān)？附：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828（2）該小區(qū)居民張先生每天跑步或開車上班，據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，張先生跑步上班準(zhǔn)時(shí)到公司的概率為，張先生跑步上班遲到的概率為.對于下周（周一～周五）上班方式張先生作出如下安排：周一跑步上班，從周二開始，若前一天準(zhǔn)時(shí)到公司，當(dāng)天就繼續(xù)跑步上班，否則，當(dāng)天就開車上班，且因公司安排，周五開車去公司（無論周四是否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)公司）.設(shè)從周一開始到張先生第一次開車去上班前跑步上班的天數(shù)為，求的概率分布及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）沒有95%認(rèn)為人們對跑步的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián)（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）由題中所給數(shù)據(jù)求出，然后利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論即可求解；（2）由題意可得的所有可能取值分別為1，2，3，4，然后計(jì)算出對應(yīng)的概率，利用期望公式即可求解,【小問1詳解】假設(shè)：人們對跑步的喜歡情況與性別無關(guān).根據(jù)題意，由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，因?yàn)?，所以沒有95%認(rèn)為人們對跑步的喜歡情況與性別有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】的所有可能取值分別為1，2，3，4.；；；，所以的概率分布為：1234所以.所以的數(shù)學(xué)期望為.17.已知函數(shù)．（1）討論的極值；（2）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的最大值．【答案】（1）答案見解析（2）2【解析】【分析】（1）由，求出，然后根據(jù)變化時(shí)，，變化情況，得到的單調(diào)區(qū)間；（2）根據(jù)條件，參變量分離得，令，利用導(dǎo)數(shù)求最值，即可得到的最大值．【小問1詳解】的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，則，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得．當(dāng)變化時(shí)，，變化如下表：0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增綜上，當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，極小值為，無極大值.【小問2詳解】，，故當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，令，則．由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，在存在唯一的零點(diǎn)，故在存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．在的最小值為，由，可得，，故整數(shù)的最大值為2．18.已知函數(shù)，.（1）若，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且，求證：.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后分和討論，當(dāng)時(shí)又分為和討論即可；（2）求導(dǎo)后得到單調(diào)性找到零點(diǎn)，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性和零點(diǎn)，并設(shè)從而得到，再由單調(diào)性可證明結(jié)論.【小問1詳解】.①當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)時(shí)，令，解得或，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】，恒成立，在上單調(diào)遞增，且，設(shè)，，設(shè)，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，，不妨設(shè)，則，，，，在上單調(diào)遞增，，即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于極值點(diǎn)偏移問題，可根據(jù)所求不等式構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性和零點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往需要兩次構(gòu)造，分析.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在常數(shù)，使得對任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；（2）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．①若數(shù)列是公比為等比數(shù)列，且，求的值；②求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）①；②的最小值為4.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和，再利用定義判斷即得.（2）①根據(jù)給定條件，可得，再按，探討，當(dāng)時(shí)，，又按且討論得解；②由定義，消去結(jié)合基本不等式得，再迭代得，借助正項(xiàng)數(shù)列建