安安徽省安慶市示范高中高三聯(lián)考（三模）數(shù)學試題

安慶示范高中2024屆高三聯(lián)考數(shù)學試題2024.4命題單位：安慶一中審稿單位：太湖中學、野寨中學、石化一中考生注意：1．滿分150分，考試時間120分鐘．2．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知線段是圓的一條長為4的弦，則（）A.4 B.6 C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】取中點，連接,根據(jù)向量的相關計算性質計算即可.【詳解】取中點，連接，易知，所以.故選：C．2.復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，用復數(shù)的除法運算求，進而求即可.【詳解】由條件知，所以.故選：D．3.已知圓錐的軸截面是等邊三角形，則其外接球與內切球的表面積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)截面圖分析即可得半徑比，然后可得答案.【詳解】如圖，等邊三角形的內切圓和外接圓的半徑即為內切球和外接球的半徑，記內切球和外接球的半徑分別為和，則所以其外接球與內切球的表面積之比為.故選：A．4.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，另一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.若數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，其中，則的大小關系為（）A. B. C. D.的大小關系不確定【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義表示，結合已知列等式，作差比較即可.【詳解】由題意可知，，，于是，又，所以，所以，兩式相減得，所以.故選：B5.已知拋物線的焦點到其準線的距離為2，點是拋物線上兩個不同點，且，則（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】拋物線的焦點到其準線的距離為，又，進而利用得，從而可得的值.【詳解】因為拋物線的焦點到其準線的距離為2，所以，所以,即,由得，即，則，由焦半徑公式可得.故選：A.6.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則關于的不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象經(jīng)過點得到解析式，再由單調性和奇偶性化簡不等式即可求解.【詳解】由題意知，解得，所以，其在上單調遞增，又因，所以函數(shù)為奇函數(shù)，，所以不等式可化為，于是，即，解得或.故選：C．7.在正方體中，點分別為棱的中點，過點三點作該正方體的截面，則（）A.該截面多邊形是四邊形B.該截面多邊形與棱的交點是棱的一個三等分點C.平面D.平面平面【答案】B【解析】【分析】將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，連分別與棱交于，可判斷A；利用相似比可得，可判斷B；證明平面即可判斷C；通過證明平面，可判斷D.【詳解】對于A，將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，連分別與棱交于，得到截面多邊形是五邊形，A錯誤；對于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，所以，即，點是棱的一個三等分點，B正確；對于C，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證，因為平面，所以平面，因為平面與平面相交，所以與平面不垂直，C錯誤；對于D，易知，所以，又，所以平面，結合C結論，所以平面與平面不平行，D錯誤.故選：B．8.若項數(shù)均為的兩個數(shù)列滿足，且集合，則稱數(shù)列是一對“項緊密數(shù)列”．設數(shù)列是一對“4項緊密數(shù)列”，則這樣的“4項緊密數(shù)列”有（）對．A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可得，結合可得，，然后列舉出所有緊密數(shù)列對即可.【詳解】由條件知，于是，又，所以，于是“4項緊密數(shù)列”有；共有6對.故選：B．【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于對新定義的理解，根據(jù)定義求得，然后據(jù)此列舉出所有緊密數(shù)列對.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知集合，集合，若有且僅有3個不同元素，則實數(shù)的值可以為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】AB【解析】【分析】解一元二次不等式可得，結合指數(shù)函數(shù)性質可解出，結合交集性質即可得解.【詳解】由，解得，故，由，可得，，要使有且僅有3個不同元素，則，解得，故選：AB．10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)在上單調遞增C.函數(shù)的最大值為D.若方程在上有且僅有8個不同的實根，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項，由函數(shù)與的最小正周期的周期性即可；B選項，利用函數(shù)的單調性定義求解；C選項，由倍角公式化簡函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質求最大值；D選項，利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，數(shù)形結合求的取值范圍.【詳解】由條件可知，因，又函數(shù)與的最小正周期均為，所以函數(shù)最小正周期為，A選項正確；時，，，，，則函數(shù)在上不可能單調遞增，B選項錯誤；，當時，函數(shù)取最大值，C選項正確；，所以函數(shù)為偶函數(shù)，方程在上有且僅有8個不同的實根，則在上有四個根，此時，則，設令，得，令，得則在上和單調遞增，在和上單調遞減，又，，，如圖所示，若想方程在上有四個根，則，即，因此選項D正確.故選：ACD．11.直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，與的兩條漸近線分別交于兩點，從左到右依次排列，則（）A.線段與線段的中點必重合 B.C.線段的長度不可能成等差數(shù)列 D.線段的長度可能成等比數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】設出直線的方程，并分別與雙曲線的漸近線方程、雙曲線方程聯(lián)立，利用中點坐標公式判斷出線段和共中點，可判斷A；從而證得線段與線段的長度始終相等，可判斷B；由等差中項的性質可判斷C；由等比中項的性質可判斷D.【詳解】設直線，聯(lián)立得，于是，聯(lián)立得，于是，所以，因此線段與線段的中點必重合，A正確；設中點為，則，所以，B正確；假設線段的長度成等差數(shù)列，則，所以，于是，兩邊同時平方并整理得，于是，展開整理得，該方程有解，所以存在直線，使得線段的長度成等差數(shù)列，C錯誤；同上推理，當線段的長度相等時，線段，的長度成等比數(shù)列，D正確.故選：ABD．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，不含字母的項為_________．【答案】【解析】【分析】在的展開式的所有項中，若不含字母，則只能取2個與4個相乘，由此即可列式得解.【詳解】由條件可知不含字母的項為．故答案為：.13.一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1，2，3，4，4．現(xiàn)甲從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字后放回，乙再從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字，若摸出的球上所標數(shù)字大即獲勝（若所標數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為_________．【答案】【解析】【分析】設事件“甲獲勝”為事件，事件“乙摸到2號球”為事件，由古典概率公式求出，再由條件概率求解即可.【詳解】設事件“甲獲勝”為事件，事件“乙摸到2號球”為事件，則，，所以，故答案為：．14.由函數(shù)圖象上一點向圓引兩條切線，切點分別為點，連接，當直線的橫截距最大時，直線的方程為_________，此時_________．【答案】①.②.【解析】【分析】計算以線段為直徑的圓，并與圓相減可得直線，通過導數(shù)計算直線橫截距最大即可.【詳解】設點，圓的圓心為，如圖所示，則以線段為直徑的圓的方程為，整理得，與圓相交，兩個圓相減得：直線，令，則，構造函數(shù)，對其求導得，令，則，于是函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，故函數(shù)最大值為，此時直線的方程為，且,于是．故答案為：，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.隨著生活水平的不斷提高，老百姓對身體健康越來越重視，特別認識到“肥胖是禍不是?！保承Ｉ飳W社團在對人體的脂肪含量和年齡之間的相關關系研究中，利用簡單隨機抽樣的方法得到40組樣本數(shù)據(jù)，其中表示年齡，表示脂肪含量，并計算得到，作出散點圖，發(fā)現(xiàn)脂肪含量與年齡具有線性相關關系，并得到其線性回歸方程為．（1）請求出的值，并估計35歲的小趙的脂肪含量約為多少？（2）小趙將自己實際的脂肪含量與（1）中脂肪含量的估計值進行比較，發(fā)現(xiàn)自己的脂肪含量嚴重超標，于是他打算進行科學健身來降低自己的脂肪含量，來到健身器材銷售商場，看中了甲、乙兩款健身器材，并通過售貨員得到這兩款健身器材的使用年限（整年），如下表所示：甲款使用年限統(tǒng)計表使用年限5年6年7年8年合計臺數(shù)10403020100乙款使用年限統(tǒng)計表使用年限5年6年7年8年合計臺數(shù)30402010100如果小趙以使用年限的頻率估計概率，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計，小趙應選擇購買哪一款健身器材，才能使用更長久？【答案】（1）值為，估計35歲的小趙的脂肪含量約為19.317（2）應購買甲款健身器材【解析】【分析】（1）根據(jù)線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心求出，進而得到線性回歸直線方程，再進行預測即可；（2）分別列出甲，乙兩款健身器材使用年限的分布列，求出期望，再比較即可.【小問1詳解】因線性回歸直線方程經(jīng)過樣本中心，所以將代入，得到．于是，當時，．所以的值為，估計35歲的小趙的脂肪含量約為19.317．【小問2詳解】以頻率估計概率，設甲款健身器材使用年限為（單位：年），則的分布列為56780.10.40.30.2于是．設乙款健身器材使用年限為（單位：年），則的分布列為56780.3040.20.1于是．因，所以小趙應購買甲款健身器材才能使用更長久．16.如圖，在四棱錐中，，，連接．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角正弦值的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）已知條件利用余弦定理和勾股定理，求出，由勾股定理證明且，得證平面，結合面面垂直判定定理得平面平面．（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】因，所以，又，所以，根據(jù)余弦定理知，直角梯形中，，，，，，則，過點作，垂足為，則，,得，則有，得，，得，因，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小問2詳解】如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸，軸建立空間直角坐標系．則，于是，又，設平面的一個法向量為，于是，令，則，即，設直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．17.已知函數(shù)在點處的切線平行于直線．（1）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是函數(shù)的極值點，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)等于直線的斜率可得，然后參變分離，將恒成立問題轉化為求的最小值問題，利用導數(shù)求解即可；（2）求導，利用零點存在性定理判斷存在隱零點，利用隱零點方程代入化簡，結合隱零點范圍即可得證.【小問1詳解】的定義域為，，由題知，解得．由題意可知對任意的恒成立，即對任意的恒成立，只需，令，則，所以當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增．所以，于是，因此實數(shù)的取值范圍是．【小問2詳解】由條件知，對其求導得，函數(shù)在上單調遞增，且，所以存在，使，即，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增，于是是函數(shù)的極值點，所以，即得證．18.已知數(shù)列的首項等于3，從第二項起是一個公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的前項的和；（2）設數(shù)列滿足且，若數(shù)列的前項的和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助等差數(shù)列的性質，等比數(shù)列的性質與等差數(shù)列求和公式計算即可得；（2）可令，借助兩角差的正切公式可得，即可得，即可得.【小問1詳解】因成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以當時，，又不符合上式，所以數(shù)列的通項公式為，因此，當時，，又符合上式，所以當時，；【小問2詳解】由（1）知，令，所以，又，所以，因此，所以，于是.19.已知橢圓，圓．（1）點是橢圓的下頂點，點在橢圓上，點在圓上（點異于點），連，直線與直線的斜率分別記作，若，試判斷直線是否過定點？若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．（2）橢圓的左、右頂點分別為點，點（異于頂點）在橢圓上且位于軸上方，連分別交軸于點，點在圓上，求證：的充要條件為軸．【答案】（1）過定點，定點坐標為（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設，結合題設推出，從而求出直線的方程，化簡即可得結論；（2）設，設，利用橢圓和圓的方程推出，然后分充分性以及必要性兩方面，結合直線和圓錐曲線的位置關系，進行證明即可.【小問1詳解】設，則，于是，因點，所以，于是，整理得，又直線的方程為，即，所以直線過定點，定點坐標為