四川省眉山市仁壽第一中學(xué)南校區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

仁壽一中南校區(qū)2023級高一下半期考試數(shù)學(xué)科試題2024年4月24日第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列函數(shù)中，最小正周期為的奇函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出周期排除AC；判斷奇偶性即可得解.【詳解】函數(shù)、的最小正周期為，AC不是；函數(shù)是偶函數(shù)，D不是，是奇函數(shù)，且最小正周期為，B是.故選：B2.sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（）A. B.－ C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用兩角差的正弦公式可得答案.【詳解】sin53°cos23°－cos53°sin23°=.故選：A.3.點(diǎn)P滿足向量，則點(diǎn)P與AB的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)P在線段AB上B.點(diǎn)P在線段AB延長線上C.點(diǎn)P在線段AB反向延長線上D.點(diǎn)P在直線AB外【答案】C【解析】【分析】由題設(shè)條件得出，即可得出點(diǎn)P與AB的位置關(guān)系.【詳解】∴點(diǎn)P在線段AB反向延長線上故選：C.4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可比較，再利用與1的大小關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，故有，故選：D.5.計算（）．A.4 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】切化弦后根據(jù)二倍角公式及輔助角公式化簡即可求值.【詳解】．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等變形，涉及二倍角公式，兩角和差正弦、正切公式，切化弦的思想，屬于中檔題.6.在中，角所對的邊分別為，向量，若，則角的大小為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用向量平行坐標(biāo)運(yùn)算得，再利用正弦定理結(jié)合兩角和正弦公式進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，且，所以，由正弦定理可得：，即，即，又，，故，由，解?故選：C7.所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的基本定理，求得和的值，根據(jù)二倍角公式求解即可．【詳解】，，，又，，．故選：B．8.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，且在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用的奇偶性與單調(diào)性，結(jié)合換元法將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)槭窃谏系钠婧瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，由，得，所以，令，則，所以，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值，因?yàn)楹愠闪ⅲ?故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列關(guān)于平面向量的說法正確的是（）A.若，是共線的單位向量，則B.若，是相反向量，則C.若，則向量，共線D.若，則點(diǎn)，，，必在同一條直線上【答案】BC【解析】【分析】利用相反向量、共線向量的概念分析判斷各選項(xiàng)得解.【詳解】對于A，，是共線的單位向量，則或，A錯誤；對于B，若，是相反向量，則，B正確；對于C，，即，則向量，共線，C正確對于D，，點(diǎn)，，，可以不在同一直線上，D錯誤.故選：BC10.已知函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個單位得到，則（）A.的最小正周期為B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于直線對稱D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】AC【解析】【分析】先通過條件求出，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)對錯.【詳解】，向左平移個單位得，對于A：，A正確；對于B：當(dāng)時，，函數(shù)在上不單調(diào)，則在區(qū)間上不單調(diào)，B錯誤；對于C：，的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；對于D：，的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，D錯誤.故選：AC.11.已知，，，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系計算，和驗(yàn)證ABD選項(xiàng)；，由兩角和的正弦公式計算驗(yàn)證C選項(xiàng).【詳解】，則，，，故A錯誤，D正確；，故B選項(xiàng)正確；，故C選項(xiàng)正確；故選：BCD12.中，下列說法正確的是（）A.若，則為銳角三角形．B.若，則點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心．C.若為重心，則D.若點(diǎn)滿足，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)可確定角為銳角，但不一定為銳角三角形，可判定A；根據(jù)單位向量、共線向量的概念可判斷B；根據(jù)向量的加法運(yùn)算可確定C；根據(jù)向量的數(shù)量積以及向量模的運(yùn)算可確定D．【詳解】選項(xiàng)A：若，則，因此角為銳角，但不一定為銳角三角形，故A錯誤；選項(xiàng)B：因?yàn)榉謩e表示方向上的單位向量，所以的方向與的角平分線一致．若，則的方向與的角平分線一致，所以點(diǎn)的軌跡一定通過的內(nèi)心，故B正確；選項(xiàng)C：若為的重心，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，故C正確；選項(xiàng)D：設(shè)的中點(diǎn)為，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)為外心，于是有．又，則，故D正確．故選：BCD．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡上．13.函數(shù)的最大值為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得值域，即可求得最大值.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以的值域?yàn)?，所以最大值?故答案為：.14.已知與是兩個單位向量，且向量與夾角為，則向量在向量上的投影向量為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】向量在向量上投影向量為，故答案為：15.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若b＝，B＝,則2a+c的最大值為____．【答案】【解析】【詳解】分析：由正弦定理可得得，化為即可得出．詳解：由得，其中的最大值是．

故答案為．點(diǎn)睛：本題考查了正弦定理、兩角和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．16.在中，角，，所對邊分別為，，，，若表示的面積，則的最大值為__________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理將角化邊，由余弦定理可得，結(jié)合三角形面積公式求得的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得最大值，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，所以，由余弦定理得，所以，令，對于函?shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，即的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正切函數(shù)兩角和公式直接計算即可；（2）利用正弦和余弦的二倍角公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【小問1詳解】由題意得，解得.【小問2詳解】由題意得，分子分母同除得.故原式.18.已知向量滿足，，且.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）求與的夾角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算律及向量垂直的充要條件即可求解；（2）先數(shù)量積知識求出，的值，然后利用數(shù)量積的夾角公式求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋?，即，解得，若，則，即，即，解得.【小問2詳解】因?yàn)椋?，所以，即與的夾角的余弦值為.19.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，，，已知已知.（1）求角的大??；（2）若，，求的值；（3）若，判斷的形狀．【答案】（1）；（2）；（3）正三角形．【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.（2）代入給定等式計算作答.（3）根據(jù)已知條件可得，再結(jié)合（1）確定三角形的形狀作答.【小問1詳解】在中，由及余弦定理得，而，所以.【小問2詳解】由，及，得，所以.【小問3詳解】由及，得，則，由（1）知，所以為正三角形.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個單位后得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)減區(qū)間以及在區(qū)間上的最值.【答案】（1）.（2），最大值為，最小值為.【解析】【分析】（1）先利用兩角和與差的正弦公式、輔助角公式得出；再根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式即可求解.（2）先根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律得出函數(shù)的解析式；再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】，則函數(shù)的最小正周期為.【小問2詳解】根據(jù)圖象變換可得：.令，解得：，則的單調(diào)減區(qū)間為.令則.因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；且當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為.21.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，D為邊上的一點(diǎn)，，且______，求的面積．請在下列兩個條件中選擇一個作為條件補(bǔ)充在橫線上，并解決問題．①是的平分線；②D為線段的中點(diǎn)．（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答記分．）【答案】（1）（2）選擇①②，答案均為【解析】【分析】（1）由正弦定理和得到，求出；（2）選①，根據(jù)面積公式得到，結(jié)合余弦定理得到，求出面積；選②，根據(jù)數(shù)量積公式得到，結(jié)合余弦定理得到，求出，得到面積.【小問1詳解】由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵，∴．【小問2詳解】若選①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，聯(lián)立得，解得，（舍去），∴．若選②：因?yàn)?，所以，即，得，中，由余弦定理得，即，?lián)立，可得，∴．22.在△ABC中，已知，，，，Q為線段CA延長線上的一點(diǎn)，且.（1）當(dāng)且，設(shè)PQ與AB交于點(diǎn)M